測圓海鏡/卷02

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正率一十四問

假令有圓城一所，不知周徑。四面開門，門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭定為乾地，其東北十字道頭定為艮地，其東南十字道頭定為巽地，其西南十字道頭定為坤地。所有測望雜法，一一設問如後。

或問：甲乙二人俱在乾地，乙東行三百二十步而立，甲南行六百步望見乙。問徑幾里。答曰：城徑二百四十步。

法曰：此為勾股容圓也。以勾股相乘，倍之為實。並勾股冪以求弦，複加入勾股共以為法。

草曰：置甲南行六百步在地。以乙東行三百二十步乘之，得一十九萬二千步，倍之得三十八萬四千步為實。以乙東行步自之，得一十萬零二千四百步為勾冪；以甲南行步自之，得三十六萬步為股冪；二冪相並，得四十六萬二千四百步為弦方實。以平方開之，得六百八十步則弦也。以弦加勾股共，共得一千六百步以為法。如法而一，得二百四十步則城徑也。合問。

或問：甲乙二人俱在西門，乙東行二百五十六步，甲南行四百八十步望見乙。問答同前。

法曰：此為勾上容圓也。以勾股相乘，倍之為實。並勾股冪以求弦，加入股以為法。

草曰：置甲南行四百八十步在地，以乙東行二百五十六步乘之，得一十二萬二千八百八十步，倍之得二十四萬五千七百六十步為實。以乙東行步自之，得六萬五千五百三十六步為勾冪；以甲南行步自之，得二十三萬零四百步為股冪；勾股冪相並，得二十九萬五千九百三十六步為弦方實。以平方開之，得五百四十四步為弦也。以加入甲南行步，共得一千零二十四步以為法。如法而一，得二百四十步則城徑也。合問。

或問：甲乙二人俱在北門，乙東行二百步而止，甲南行三百七十五步望見乙。問答如前。

法曰：此為股上容圓也。以勾股相乘，倍之為實。以勾股冪求弦，加入勾以為法。

草曰：置甲南行三百七十五步，以乙東行二百步乘之，得七萬五千步，倍之得一十五萬步為實。以乙東行自之，得四萬步為勾冪；以甲南行自之，得一十四萬 零六百二十五步為股冪；勾、股冪相並，得一十八萬零六百二十五步為弦方實。如平方而一，得四百二十五步則弦也。加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法，以法除之，得二百四十步則城徑也。合問。

或問：甲乙二人俱在圓城中心而立，乙穿城向東行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望見乙。問答同前。

法曰：此為勾股上容圓也。以勾股相乘，倍之為實。並勾股冪，如法求弦以為法。

草曰：以二行步相乘得三萬四千六百八十步，倍之得六萬九千三百六十步為實。置乙東行自之，得一萬八千四百九十六步為勾冪；又以甲南行自之，得六萬五千零二十五步為股冪；二冪相並，得八萬三千五百二十一步為弦方實。以平方開之，得二百八十九步即弦也，便以為法。如法除實，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：甲乙二人同立於乾地，乙東行一百八十步遇塔而止。甲南行三百六十步，回望其塔正居城徑之半。問答同前。

法曰：此為弦上容圓也。以勾股相乘，倍之為實，以勾股和為法。

草曰：以二行步相乘得六萬四千八百步，倍之得一十二萬九千六百步為實。並二行步，得五百四十步以為法。以法除實，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：甲乙二人俱在坤地，乙東行一百九十二步而止，甲南行三百六十步，望乙與城參相直。問答同前。

法曰：此為勾外容圓也。以勾股相乘，倍之為實，以弦較共為法。

草曰：以二行步相乘，得六萬九千一百二十步，倍之得一十三萬八千二百四十步為實。置乙東行自之，得三萬六千八百六十四步為勾冪；又置南行自之，得一十二萬九千六百步為股冪；二冪相並，得一十六萬六千四百六十四步為弦方實。以平方開之，得四百零八步即弦也。又置甲南行步，內減乙東行步，餘一百六十八步即較也。以較加弦，共得五百七十六步以為法。實如法而一，得二百四十步為城徑也。合問。

或問：甲乙二人同立於艮地，甲南行一百五十步而止，乙東行八十步，望甲與城參相直。問答同前。

法曰：此為股外容圓也。以勾股相乘，倍之為實，以弦較較為法。

草曰：二行步相乘得一萬二千，倍之得二萬四千步為實。以甲南行自之，得二萬二千五百步為股冪；又以乙東行步自之，得六千四百步為勾冪；勾股冪相並，得二萬八千九百步為弦方實。以平方開之，得一百七十步即弦也。以二行步相減，餘七十步為勾股較也。以此較又減弦，餘一百步即弦較較也，便以為法。實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：甲乙二人同立於巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙與城參相直。問答同前。法曰：此為弦外容圓也。勾股相乘，倍之為實，以弦和較為法。

草曰：以二行步相乘，得四千三百二十步，倍之得八千六百四十步為實。以甲北行自之，得八千一百步為股冪；又以乙西行自之，得二千三百零四步為勾冪；二冪共得一萬零四百零四步為弦方實。以平方開之，得一百零二步為弦也。又並二行步得一百三十八步為和，以弦減和餘三十六步，得黃方以為法。實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：甲乙二人俱在南門，乙東行七十二步而止，甲南行一百三十五步，望乙與城參相直。問答同前。

法曰：此為勾外容圓半也。以勾股相乘，倍之為實，以大差為法。

草曰：以二行步相乘，得九千七百二十步，倍之得一萬九千四百四十步為實。又以乙東行自之，得五千一百八十四步為勾冪；又以甲南行自之，得一萬八千二百二十五步為股冪；二冪相並，得二萬三千四百零九步為弦方實。以平方開之，得一百五十三步即弦也。以乙東行七十二步為勾，以減弦，餘八十一步即勾弦差也，便以為法。實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：甲乙二人俱在東門，甲南行三十步而止，乙東行一十六步，回望甲與城參相直。問答同前。

法曰：此為股外容圓半也。以勾股相乘，倍之為實，以小差為法。

草曰：以二行步相乘，得四百八十步，倍之得九百六十步為實。又以乙東行自之，得二百五十六步為勾冪；又以甲南行自之，得九百步為股冪；二冪相並，得一千一百五十六步為弦方實。以平方開之，得三十四步即弦也。以甲南行三十步為股，以減弦，餘四步以為法。以法除實，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：甲出西門南行四百八十步而止，乙出東門南行三十步望見甲。問答同前。

法曰：此為半矮梯也。以二行步相乘為實，如平方而一，得半徑。

草曰：以二行步相乘，得一萬四千四百步為實。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

又問：甲乙二人。乙出南門折而東行七十二步而止，甲出北門折而東行二百步望見乙。問答同前。法曰：以二行步相乘，得數四之為實。如平方而一，得城徑。

草曰：二行步相乘得一萬四千四百步，又四之，得五萬七千六百步為實。以平方開之，得二百四十步即城徑也。合問。

又假令：乙出南門折東行二十步，甲出北門折東行七百二十步。如此之類，亦同上法（以上三問俱是以半矮梯求之）。

或問：甲乙二人。乙在艮地東行八十步而立，甲在坤地南行三百六十步望見乙。問答同前。

法曰：此為兩差求黃方也。以二行步相乘，倍之為實，以平方開之得城徑。

草曰：二行步相乘得二萬八千八百步，倍之得五萬七千六百步為實。以平方開之，得二百四十步即城徑也。合問。別得甲南行即股圓差也，乙東行即勾圓差也。

或問：甲出東門四十八步而立，乙出南門四十八步見之。問答同前。法曰：此當以方五斜七求之，每出門二步，管徑十步。

草曰：置出門步在地，以五之，得二百四十步即城徑也。據此法，合置出門步在地，以十之，二而一。以二數相折，故五因便是。合問。

或問：出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問答同前。

法曰：以二行步相乘為實，二行步相並為從，一步常法。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，置南行步在地，內減天元半徑，得�為股圓差。又置乙東行步在地，內減天元，得下式�為勾圓差。以勾圓差增乘股圓差，得�為半段黃方冪，即城冪之半也（寄左）。又置天元冪以倍之，得�，亦為半段黃方冪，與左相消得�。如法開之，得半徑。合問。

又法：識別得二行並即大弦也，立天元一為半徑。置甲南行步加天元一，得�為大股。又置乙東行步加天元，得�為大勾也。勾股相乘，得�為一個大直積。以天元除之，得下式�，為三事和也（寄左。黃方除倍積得三事和。今以半黃方除直積，亦為三事和也）。然後並二行步，又並入勾股共，得�為同數，與左相消得 �。以平方開之，得一百二十步，倍之得全徑也。合問。