測圓海鏡/卷04

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○底勾一十七問

或問：乙出南門東行，不知步數而立，甲出北門東行二百步見之，就乙斜行二百七十二步與乙相會。問答同前。法曰：二行差數乘甲東行，又四之為平方實。得全徑。

草曰：識別得二行相減餘七十二步，即乙出南門東行數也。以甲東行減於就乙斜行餘七十二步，以乘甲東行步，得一萬四千四百步，又四之得五萬七千六百步為實。以平方開之得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：乙從坤隅南行三百六十步，甲出北門東行二百步見之。問答同前。法曰：二行步相乘倍之為實，乙南行為從，一步常法。

草曰：立天元一為城徑，以減於二之甲東行步，得�為兩個小差。以乙南行步乘之，得�為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得�。以平方開之得二百四十步，即城徑也。合問。

又法：半之乙南行步乘甲東行為實，半乙南行為從，一步常法。得半徑。

草曰：立天元一為半城徑，減甲東行，得�為小差。乃半乙南行步，得一百八十步，以乘小差，得�為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式�。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙從坤隅東行一百九十二步而止，甲出北門東行二百步見乙。問答同前。法曰：兩行步相乘為實，甲東行為從，一為隅。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，減於乙東行，得�。以甲行步乘之，得�為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得�。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙出南門直行一百三十五步，甲出北門東行二百步見乙。問答同前。

法曰：以乙南行步乘甲東行冪，又四之為實，從空，乙南行為廉，一步常法。

草曰：立天元一為城徑，加乙南行得�為股率，其甲東行即勾率也。置乙南行�為小股，以勾率乘之得�太，合以股率除。今不受除，便以此為小勾（寄股率為母）。乃以甲東行步乘之，得�，又四之得二千一百六十萬於太極位，為一段城徑冪（寄股率分母。寄左）。然後以天元城徑自之，又以股率分母通之，得�為同數。與左相消，得下式�。以立方開之得二百四十步，即城徑也。合問。

又法：二行相乘，又以自乘為實，以二之東行乘南行冪為益方，南行冪為從，四之東行為益隅。立方開得小勾七十二。

草曰：立天元一為小勾，以南行為小股，以東行二百步為大勾也。置大勾內減天元，得�為中勾也，以小股乘之得�，以天元小勾除之，得�為中股即城徑也，以自之得�為城徑冪也（寄左）。又立天元小勾以乘大勾二百步，又四之得�為同數。與左相消得�，開立方得七十二步即小勾也，以乘大勾二百步為實。平方開得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

又法：求半徑：以南行步乘東行冪為實，從空，南行步為廉，二常法。

草曰：立天元一為半徑，以二之加南行步，得�為股率，以東行為勾率，以南行為小股也。置小股以勾率乘之，得�，以股率除之。不受除，隻寄股率分母，便以�此為小勾也。又以勾率乘之，得下式�為半徑冪（寄左）。再立天元半徑以自之，又以分母股率乘之，得�為同數，與左相消得�。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙出東門南行三十步而止，甲出北門東行二百步望見乙，與城參相直。問答同前。

法曰：以甲東行步乘乙南行冪為實，以乙南行冪為從，甲東行內減二之乙南行為益廉，一步為隅。得半徑。

草曰：立天元一為半城徑，減於甲東行步，得�為小勾。以天元加於乙南行步，得�為小股。乃以天元加東行步，得�為大勾。置大勾以小股乘之，得�，合以小勾除之。今不受除，便以此為大股（內帶小勾分母）。又置天元半徑以分母小勾乘之，得�，減於大股餘�，以乙南行步乘之，得�為半徑冪（內有小勾分母。寄左）。然後以天元為冪，又以小勾通之，得�為同數。與左相消，得下式�。以立方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問（翻法在記）。

又法：乙南行乘甲東行為平實，二數相減為從，一益隅。翻開，得半徑。

草曰：別得二數相並為大勾內少一虛股，其二數相減為小差弦也。立天元一為半徑，副置之。上位減於二百步，得�為勾圓差（即小差勾也）。下位加三十步，得�為小差股。勾股相乘得�為一段小差積（寄左）。再以小差勾減小差股，餘有�為一較也。又以此較減於小差弦�太，得下式�為一個弦較較。以天元乘之得下式�為同數，與左相消得�。開平方得一百二十步，即半城徑也。合問（翻法在記）。再立此法者，蓋從簡也。

或問：乙出東門南行不知步數而立，甲出北門東行二百步望見乙，複就乙斜行一百七十步與乙相會。問答同前。

法曰：以二行差乘甲東行為實，甲東行內減二行差為益方，一步常法。得半徑。

草曰：識別得二行相減餘三十步，即乙出東門南行步也（更不須用弦）。立天元一以為半城徑，加乙南行得�為小股。副置甲東行步，上位減天元得下式� 為小勾，下位加天元得�為大勾也。乃置大勾以小股乘之，得下式�，合以小勾除。不受除，便以此為大股（內帶小勾分母）。又倍天元以小勾乘之，得�，以減於大股得�，又倍之得�為兩個股圓差。合以勾圓差乘之，緣為其中已帶小勾分母，更不須乘，便以此為黃方冪（更無分母。寄左）。然後倍天元以自之為同數，與左相消得�。上下俱半之（俱半之者，蓋從簡也），得�。以平方開之得一百二十步，倍之即圓徑也。合問。

或問：乙出南門直行不知步數而止，甲出北門東行二百步見之，複就乙斜行四百二十五步與乙相會。問答同前。

法曰：倍兩行差，以乘二之甲東行為實，從空，四之甲東行於上，倍兩行差加上位為隅。得半徑。

草曰：識別得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也。立天元一以為半徑，便是小勾，其二行差便是小股。乃置甲東行步加天元，得�為大勾，以小股乘之得下式�，又以小勾除之，得�為大股。又倍天元以減之，得�為股圓差，又倍之得�為兩個股圓差於上。乃以天元減甲東行，得�為勾圓差，以乘上位，得下式�為城徑冪（寄左）。然後倍天元一以自之，與左相消得�。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

又法：並二數，以二數差乘之，開方得底股。複以甲東行二百步乘之為實，並二數而半之以為法。如法得二百四十步即城徑也。合問（此用股上容圓求之，比前法極為簡易）。

或問：乙從乾隅南行不知步數而止，甲出北門東行二百步望見之，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。

法曰：並二行以二行差乘之，內減二行差冪為實，並二行步及二行相減數為從，二步常法。得半徑。

草曰：識別得斜行六百八十步即大弦也。其二行相減餘四百八十步即半圓徑與大差共數也。立天元一為半城徑，副置之。上位加二行相減數，得�為大股也；下位加甲東行步，得�為大勾也。乃以大股自增乘，得�為大股冪（寄左）。乃並大勾、大弦得�於上，又以大勾減大弦，得�為大差，以乘上位得�為同數，與左相消得�。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

又法：求大差：

法曰：二行差自乘為實，置二之二行差於上，乃以甲東行步減二行差，又半之以減於上為益方。半步常法。

草曰：立天元一為大差，減於二行差，得�為半城徑，以自之得�為半徑冪（寄左）。乃以半城徑減於甲東行，得下式�為小差，又以天元乘之得�，又半之得�為同數與左相消，得下式�。以平方開之，得三百六十步，即大差也。合問。

或問：乙出東門不知步數而立，甲出北門東行二百步望見乙，複就乙斜行一百三十六步與乙相會。問答同前。

法曰：甲東行步內減二之二行差，餘以乘甲東行為實，一步常法。得半徑。

草曰：別得二行相減餘六十四步，即半徑為股之勾。立天元一為半城徑，就以為股率，其二行差即勾率也。乃置甲東行步加天元，得�為大勾，以天元股率乘之得�。合以勾率除之，不受除，便以此為大股（內帶勾率分母）。乃倍天元以勾率乘之，得�元，以減大股得�，為一個大差於上（內帶勾率分母）。乃以天元減甲東行，得�為小差，以乘上位得�為半段黃方冪（內寄勾率為母。寄左）。然後以天元自之，又以勾率乘之，又倍之，得�為同數與左相消，得下式�。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：乙出東門直行一十六步而止。甲出北門東行二百步望見乙，與城參相直。問答同前。

法曰：二行步相減餘以自乘，內減乙東行冪為實，二之甲東行為益從，一步隅法。得半徑。

草曰：立天元一以為半城徑，加乙行步，並以減於甲行步，得�為平勾率，其天元半徑即平股率也。乃置乙東行一十六步為小勾，以股率乘之得�元，合以勾率除之。今不受除，便以此為小股（內帶勾率分母）。又置乙東行加二天元，得�為大勾，以股率乘之得�，合以勾率除之。今不受除，便以此為大股（內寄勾率為母）。以此小股、大股相乘得�為半徑冪（內寄勾率冪為母。寄左）。然後以勾率冪乘天元冪，得�為同數，與左相消得�。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：甲乙二人同出北門，向東行至東北十字道口分路。乙折南行一百五十步而立，甲又向東行，甲前後通行了二百步，回望乙恰與城相直。問答同前。

法曰：以二行步相乘於上，又以南行步乘之為實；二行步相乘於上，又以乙南行減於甲東行，得數複以乙南行乘之，加上位共為法。得半徑。

草曰：立天元一為半城徑，副之。上位加甲行步得�為大勾也，下位減於甲行步餘�為小勾也。其乙折行即小股也。置大勾以小股乘之，得�，內寄小勾� 為母，便以為大股也。再置天元以母乘之，得�，減於大股餘�為半個矮梯底於上（內寄小勾為母）。再置乙折行步內減天元，得�為半個矮梯頭。以乘上位，得� 為半徑冪（寄左）。乃以小勾分母乘天元冪，得下式�為同數，與左相消得�。上法下實，如法而一，得一百二十步即城之半徑也。合問。

又法：法曰：二行步相乘為實，倍甲東行內減乙南行為法。

草曰：立天元一為半圓徑，副之。上位加甲東行得�為大勾，下位減甲東行得�為小勾。此小勾便是勾圓差也。其乙南行即小股也。置大勾以小股乘之，得下式�，內寄小勾�為母，便以為大股也。再置天元以二之，又以分母乘之，得�為全徑，以減於大股，餘得�為股圓差也。合以勾圓差乘之，緣內已有小勾分母，故不須更乘，便以此為兩段之半徑冪也，更無分母（寄左）。再置天元以自之，又二之得�為同數，與左相消得�。上法下實，得一百二十步即半城徑也。合問。

或問：見底勾二百步，明弦一百五十三步。問答同前。

法曰：半底勾乘明弦為平實，並二雲數而半之為從，五分常法。得明勾�。

草曰：立天元一為明勾，加明弦得�為高股也。又以天元減底勾而半之，得下式�為平勾也。股勾相乘得�為半徑冪（寄左）。然後以天元乘底勾得下式�元為同數，與左相消得�。開平方得七十二步，即明勾也。以明勾乘底勾為平方實，如法開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：見底勾二百步，叀弦三十四步。問答同前。

法曰：底勾、叀弦相減，餘倍之，內減去底勾，複以底勾乘之於上。又以叀弦冪乘上位為三乘方實；倍底勾以叀弦冪乘之為從；二雲數相減，餘以自之為第一廉；二雲數相減，餘又倍之為第二益廉；一步隅法。得叀股�。

草曰：立天元一為叀股，加叀弦得�為平勾。以平勾減底勾，餘�為平弦，以倍之得�為黃長弦也。此弦內卻減底勾，餘得下式�為明勾也。複以底勾乘之，得�於上。又叀弦自乘得一千一百五十六為分母，以乘上位得�為帶分半徑冪（寄左）。然後置黃長弦以天元乘之，得�，合以叀弦除之。不除，寄為母，便以此為全徑也。以半之得�為半徑（內帶叀弦分母），以自之得�為同數，與左相消得�。開三乘方得三十步，即叀股也。餘各依數求之，合問。

又法：底勾內減二叀弦，複以底勾乘之，複以叀弦冪乘之，為三乘方實。餘廉、從並與前同。

草曰：識別得二數相減餘一百六十六為平勾、虛勾共，又為平弦、叀股共；於此餘數內又去半徑即叀和也。叀和、叀弦相並即勾圓差也，相減則叀黃方也。又倍叀弦加叀黃亦得勾圓差也。底勾內減叀股餘即小差弦也。立天元一為叀股，減於雲數相減數，得�為平弦；以平弦減底勾得�，即平勾。以平勾減於雲數相減數，得�即虛弦；以天元又減虛弦，得�即明勾也。乃置平弦以天元乘之，得�，合叀弦除。不除，寄為母，便以此為平股也（即半徑）。平股自之，得�為半徑冪（內帶叀弦冪分母。寄左）。然後置底勾以明勾乘之，得�，又以叀弦冪一千一百五十六通之，得下式�為同數，與左相消得�。廉從一一如上。

或問：見底勾二百步，平弦一百三十六步。問答同前。法曰：倍平弦內減底勾，複以底勾乘之，開平方得半徑。

草曰：立天元為半徑，先倍平弦內減底勾，餘�為明勾，複以底勾乘之，得�為半徑冪（寄左）。然後以天元冪為同數，與左相消得�。開平方得一百二十步，又倍之即城徑也。合問。

或問：底勾二百步，高弦二百五十五步。問答同前。

法曰：底勾冪乘高弦為立實，底勾冪為從，高弦為廉，一為隅。得半徑。

草曰：識別得高弦即皇極股也。立天元一為半徑，副之。上位加高弦，得�即底股也；下位減於高弦，得�即明股也。置明股以底勾乘之，得�，合以底股除。不除寄為母，便以此為明勾；又以底勾乘之，得�為半徑冪（內帶底股分母。寄左）。然後以天元冪乘底股得�，與左相消得�。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：底勾二百步，叀勾、叀弦和五十步。問答同前。

法曰：以二雲數相減餘加底勾，複以減餘乘之，半之於上。以減餘自之減上位為實，並雲數半之為法。得叀股�。

草曰：別得二數相減，餘�為小差股。立天元一為叀股，減於小差股，得�即半徑也。又以天元減半徑，得�為虛股於上；又以半徑加底勾，得下�為通勾於下；上、下相乘得�，折半得�為半徑冪（寄左）。然後以半徑自之，得下式�為同數，與左相消得�。上法下實，得三十步即叀股也。合問。

或問：見底勾二百步，明股、明弦和二百八十八步。問答同前。

法曰：二數相減又半之，得數又減於底勾，餘為泛率。以泛率自之又倍之於上位。又二數相減而半之，以乘和步，所得減於上位為實。倍泛率於上位，又半底勾減和步加上位為法。得明勾�。

草曰：別得和步得明勾為大差也。大差得底勾為二中差。立天元一為明勾，加和步得�為股圓差也（即大差）。內又加底勾得�，折半得�，即通勾通股差也（此即中差）。置大差減中差得下�即小差也。大、小差相乘得�為半段圓徑冪（寄左）。乃置底勾內減小差，得�為半徑，以自之，得�，倍之得下式�為同數，與左相消得�。上法下實得七十二步，即明勾也。合問。

法曰：和步乘底勾又以和步乘之為實，倍底勾加和步又以和步乘之為從，倍和步內減底勾為廉，一常法。開立方得明勾�。

草曰：底股、底弦和內減和步，即黃長股弦和也。底勾得明勾即黃長弦也，黃長股即圓徑，明弦上三事和即大差。立天元一為明勾，以和步乘底勾得�，以明勾除之得�為底股底弦和也，內減和步餘�為黃長股弦和也。以天元加底勾得�為黃長弦，以減黃長股弦和，餘�為圓徑。倍底勾內減圓徑，得�為兩個小差於上；以和步加天元，得�為一個大差於下。上、下相乘得下式�為圓徑冪（寄左）。然後以天元乘底勾，又四之得�為同數，與寄左相消得下式�。開立方得七十二步，即明勾也。合問。