测圆海镜/卷04

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○底勾一十七问

或问：乙出南门东行，不知步数而立，甲出北门东行二百步见之，就乙斜行二百七十二步与乙相会。问答同前。法曰：二行差数乘甲东行，又四之为平方实。得全径。

草曰：识别得二行相减馀七十二步，即乙出南门东行数也。以甲东行减于就乙斜行馀七十二步，以乘甲东行步，得一万四千四百步，又四之得五万七千六百步为实。以平方开之得二百四十步，即城径也。合问。

或问：乙从坤隅南行三百六十步，甲出北门东行二百步见之。问答同前。法曰：二行步相乘倍之为实，乙南行为从，一步常法。

草曰：立天元一为城径，以减于二之甲东行步，得�为两个小差。以乙南行步乘之，得�为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。以平方开之得二百四十步，即城径也。合问。

又法：半之乙南行步乘甲东行为实，半乙南行为从，一步常法。得半径。

草曰：立天元一为半城径，减甲东行，得�为小差。乃半乙南行步，得一百八十步，以乘小差，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：乙从坤隅东行一百九十二步而止，甲出北门东行二百步见乙。问答同前。法曰：两行步相乘为实，甲东行为从，一为隅。得半径。

草曰：立天元一为半径，减于乙东行，得�。以甲行步乘之，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：乙出南门直行一百三十五步，甲出北门东行二百步见乙。问答同前。

法曰：以乙南行步乘甲东行幂，又四之为实，从空，乙南行为廉，一步常法。

草曰：立天元一为城径，加乙南行得�为股率，其甲东行即勾率也。置乙南行�为小股，以勾率乘之得�太，合以股率除。今不受除，便以此为小勾（寄股率为母）。乃以甲东行步乘之，得�，又四之得二千一百六十万于太极位，为一段城径幂（寄股率分母。寄左）。然后以天元城径自之，又以股率分母通之，得�为同数。与左相消，得下式�。以立方开之得二百四十步，即城径也。合问。

又法：二行相乘，又以自乘为实，以二之东行乘南行幂为益方，南行幂为从，四之东行为益隅。立方开得小勾七十二。

草曰：立天元一为小勾，以南行为小股，以东行二百步为大勾也。置大勾内减天元，得�为中勾也，以小股乘之得�，以天元小勾除之，得�为中股即城径也，以自之得�为城径幂也（寄左）。又立天元小勾以乘大勾二百步，又四之得�为同数。与左相消得�，开立方得七十二步即小勾也，以乘大勾二百步为实。平方开得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又法：求半径：以南行步乘东行幂为实，从空，南行步为廉，二常法。

草曰：立天元一为半径，以二之加南行步，得�为股率，以东行为勾率，以南行为小股也。置小股以勾率乘之，得�，以股率除之。不受除，只寄股率分母，便以�此为小勾也。又以勾率乘之，得下式�为半径幂（寄左）。再立天元半径以自之，又以分母股率乘之，得�为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：乙出东门南行三十步而止，甲出北门东行二百步望见乙，与城参相直。问答同前。

法曰：以甲东行步乘乙南行幂为实，以乙南行幂为从，甲东行内减二之乙南行为益廉，一步为隅。得半径。

草曰：立天元一为半城径，减于甲东行步，得�为小勾。以天元加于乙南行步，得�为小股。乃以天元加东行步，得�为大勾。置大勾以小股乘之，得�，合以小勾除之。今不受除，便以此为大股（内带小勾分母）。又置天元半径以分母小勾乘之，得�，减于大股馀�，以乙南行步乘之，得�为半径幂（内有小勾分母。寄左）。然后以天元为幂，又以小勾通之，得�为同数。与左相消，得下式�。以立方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问（翻法在记）。

又法：乙南行乘甲东行为平实，二数相减为从，一益隅。翻开，得半径。

草曰：别得二数相并为大勾内少一虚股，其二数相减为小差弦也。立天元一为半径，副置之。上位减于二百步，得�为勾圆差（即小差勾也）。下位加三十步，得�为小差股。勾股相乘得�为一段小差积（寄左）。再以小差勾减小差股，馀有�为一较也。又以此较减于小差弦�太，得下式�为一个弦较较。以天元乘之得下式�为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，即半城径也。合问（翻法在记）。再立此法者，盖从简也。

或问：乙出东门南行不知步数而立，甲出北门东行二百步望见乙，复就乙斜行一百七十步与乙相会。问答同前。

法曰：以二行差乘甲东行为实，甲东行内减二行差为益方，一步常法。得半径。

草曰：识别得二行相减馀三十步，即乙出东门南行步也（更不须用弦）。立天元一以为半城径，加乙南行得�为小股。副置甲东行步，上位减天元得下式� 为小勾，下位加天元得�为大勾也。乃置大勾以小股乘之，得下式�，合以小勾除。不受除，便以此为大股（内带小勾分母）。又倍天元以小勾乘之，得�，以减于大股得�，又倍之得�为两个股圆差。合以勾圆差乘之，缘为其中已带小勾分母，更不须乘，便以此为黄方幂（更无分母。寄左）。然后倍天元以自之为同数，与左相消得�。上下俱半之（俱半之者，盖从简也），得�。以平方开之得一百二十步，倍之即圆径也。合问。

或问：乙出南门直行不知步数而止，甲出北门东行二百步见之，复就乙斜行四百二十五步与乙相会。问答同前。

法曰：倍两行差，以乘二之甲东行为实，从空，四之甲东行于上，倍两行差加上位为隅。得半径。

草曰：识别得二行差二百二十五步即半径为勾之股也。立天元一以为半径，便是小勾，其二行差便是小股。乃置甲东行步加天元，得�为大勾，以小股乘之得下式�，又以小勾除之，得�为大股。又倍天元以减之，得�为股圆差，又倍之得�为两个股圆差于上。乃以天元减甲东行，得�为勾圆差，以乘上位，得下式�为城径幂（寄左）。然后倍天元一以自之，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又法：并二数，以二数差乘之，开方得底股。复以甲东行二百步乘之为实，并二数而半之以为法。如法得二百四十步即城径也。合问（此用股上容圆求之，比前法极为简易）。

或问：乙从干隅南行不知步数而止，甲出北门东行二百步望见之，复就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。

法曰：并二行以二行差乘之，内减二行差幂为实，并二行步及二行相减数为从，二步常法。得半径。

草曰：识别得斜行六百八十步即大弦也。其二行相减馀四百八十步即半圆径与大差共数也。立天元一为半城径，副置之。上位加二行相减数，得�为大股也；下位加甲东行步，得�为大勾也。乃以大股自增乘，得�为大股幂（寄左）。乃并大勾、大弦得�于上，又以大勾减大弦，得�为大差，以乘上位得�为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又法：求大差：

法曰：二行差自乘为实，置二之二行差于上，乃以甲东行步减二行差，又半之以减于上为益方。半步常法。

草曰：立天元一为大差，减于二行差，得�为半城径，以自之得�为半径幂（寄左）。乃以半城径减于甲东行，得下式�为小差，又以天元乘之得�，又半之得�为同数与左相消，得下式�。以平方开之，得三百六十步，即大差也。合问。

或问：乙出东门不知步数而立，甲出北门东行二百步望见乙，复就乙斜行一百三十六步与乙相会。问答同前。

法曰：甲东行步内减二之二行差，馀以乘甲东行为实，一步常法。得半径。

草曰：别得二行相减馀六十四步，即半径为股之勾。立天元一为半城径，就以为股率，其二行差即勾率也。乃置甲东行步加天元，得�为大勾，以天元股率乘之得�。合以勾率除之，不受除，便以此为大股（内带勾率分母）。乃倍天元以勾率乘之，得�元，以减大股得�，为一个大差于上（内带勾率分母）。乃以天元减甲东行，得�为小差，以乘上位得�为半段黄方幂（内寄勾率为母。寄左）。然后以天元自之，又以勾率乘之，又倍之，得�为同数与左相消，得下式�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：乙出东门直行一十六步而止。甲出北门东行二百步望见乙，与城参相直。问答同前。

法曰：二行步相减馀以自乘，内减乙东行幂为实，二之甲东行为益从，一步隅法。得半径。

草曰：立天元一以为半城径，加乙行步，并以减于甲行步，得�为平勾率，其天元半径即平股率也。乃置乙东行一十六步为小勾，以股率乘之得�元，合以勾率除之。今不受除，便以此为小股（内带勾率分母）。又置乙东行加二天元，得�为大勾，以股率乘之得�，合以勾率除之。今不受除，便以此为大股（内寄勾率为母）。以此小股、大股相乘得�为半径幂（内寄勾率幂为母。寄左）。然后以勾率幂乘天元幂，得�为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：甲乙二人同出北门，向东行至东北十字道口分路。乙折南行一百五十步而立，甲又向东行，甲前后通行了二百步，回望乙恰与城相直。问答同前。

法曰：以二行步相乘于上，又以南行步乘之为实；二行步相乘于上，又以乙南行减于甲东行，得数复以乙南行乘之，加上位共为法。得半径。

草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲行步得�为大勾也，下位减于甲行步馀�为小勾也。其乙折行即小股也。置大勾以小股乘之，得�，内寄小勾� 为母，便以为大股也。再置天元以母乘之，得�，减于大股馀�为半个矮梯底于上（内寄小勾为母）。再置乙折行步内减天元，得�为半个矮梯头。以乘上位，得� 为半径幂（寄左）。乃以小勾分母乘天元幂，得下式�为同数，与左相消得�。上法下实，如法而一，得一百二十步即城之半径也。合问。

又法：法曰：二行步相乘为实，倍甲东行内减乙南行为法。

草曰：立天元一为半圆径，副之。上位加甲东行得�为大勾，下位减甲东行得�为小勾。此小勾便是勾圆差也。其乙南行即小股也。置大勾以小股乘之，得下式�，内寄小勾�为母，便以为大股也。再置天元以二之，又以分母乘之，得�为全径，以减于大股，馀得�为股圆差也。合以勾圆差乘之，缘内已有小勾分母，故不须更乘，便以此为两段之半径幂也，更无分母（寄左）。再置天元以自之，又二之得�为同数，与左相消得�。上法下实，得一百二十步即半城径也。合问。

或问：见底勾二百步，明弦一百五十三步。问答同前。

法曰：半底勾乘明弦为平实，并二云数而半之为从，五分常法。得明勾�。

草曰：立天元一为明勾，加明弦得�为高股也。又以天元减底勾而半之，得下式�为平勾也。股勾相乘得�为半径幂（寄左）。然后以天元乘底勾得下式�元为同数，与左相消得�。开平方得七十二步，即明勾也。以明勾乘底勾为平方实，如法开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：见底勾二百步，叀弦三十四步。问答同前。

法曰：底勾、叀弦相减，馀倍之，内减去底勾，复以底勾乘之于上。又以叀弦幂乘上位为三乘方实；倍底勾以叀弦幂乘之为从；二云数相减，馀以自之为第一廉；二云数相减，馀又倍之为第二益廉；一步隅法。得叀股�。

草曰：立天元一为叀股，加叀弦得�为平勾。以平勾减底勾，馀�为平弦，以倍之得�为黄长弦也。此弦内却减底勾，馀得下式�为明勾也。复以底勾乘之，得�于上。又叀弦自乘得一千一百五十六为分母，以乘上位得�为带分半径幂（寄左）。然后置黄长弦以天元乘之，得�，合以叀弦除之。不除，寄为母，便以此为全径也。以半之得�为半径（内带叀弦分母），以自之得�为同数，与左相消得�。开三乘方得三十步，即叀股也。馀各依数求之，合问。

又法：底勾内减二叀弦，复以底勾乘之，复以叀弦幂乘之，为三乘方实。馀廉、从并与前同。

草曰：识别得二数相减馀一百六十六为平勾、虚勾共，又为平弦、叀股共；于此馀数内又去半径即叀和也。叀和、叀弦相并即勾圆差也，相减则叀黄方也。又倍叀弦加叀黄亦得勾圆差也。底勾内减叀股馀即小差弦也。立天元一为叀股，减于云数相减数，得�为平弦；以平弦减底勾得�，即平勾。以平勾减于云数相减数，得�即虚弦；以天元又减虚弦，得�即明勾也。乃置平弦以天元乘之，得�，合叀弦除。不除，寄为母，便以此为平股也（即半径）。平股自之，得�为半径幂（内带叀弦幂分母。寄左）。然后置底勾以明勾乘之，得�，又以叀弦幂一千一百五十六通之，得下式�为同数，与左相消得�。廉从一一如上。

或问：见底勾二百步，平弦一百三十六步。问答同前。法曰：倍平弦内减底勾，复以底勾乘之，开平方得半径。

草曰：立天元为半径，先倍平弦内减底勾，馀�为明勾，复以底勾乘之，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，又倍之即城径也。合问。

或问：底勾二百步，高弦二百五十五步。问答同前。

法曰：底勾幂乘高弦为立实，底勾幂为从，高弦为廉，一为隅。得半径。

草曰：识别得高弦即皇极股也。立天元一为半径，副之。上位加高弦，得�即底股也；下位减于高弦，得�即明股也。置明股以底勾乘之，得�，合以底股除。不除寄为母，便以此为明勾；又以底勾乘之，得�为半径幂（内带底股分母。寄左）。然后以天元幂乘底股得�，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

或问：底勾二百步，叀勾、叀弦和五十步。问答同前。

法曰：以二云数相减馀加底勾，复以减馀乘之，半之于上。以减馀自之减上位为实，并云数半之为法。得叀股�。

草曰：别得二数相减，馀�为小差股。立天元一为叀股，减于小差股，得�即半径也。又以天元减半径，得�为虚股于上；又以半径加底勾，得下�为通勾于下；上、下相乘得�，折半得�为半径幂（寄左）。然后以半径自之，得下式�为同数，与左相消得�。上法下实，得三十步即叀股也。合问。

或问：见底勾二百步，明股、明弦和二百八十八步。问答同前。

法曰：二数相减又半之，得数又减于底勾，馀为泛率。以泛率自之又倍之于上位。又二数相减而半之，以乘和步，所得减于上位为实。倍泛率于上位，又半底勾减和步加上位为法。得明勾�。

草曰：别得和步得明勾为大差也。大差得底勾为二中差。立天元一为明勾，加和步得�为股圆差也（即大差）。内又加底勾得�，折半得�，即通勾通股差也（此即中差）。置大差减中差得下�即小差也。大、小差相乘得�为半段圆径幂（寄左）。乃置底勾内减小差，得�为半径，以自之，得�，倍之得下式�为同数，与左相消得�。上法下实得七十二步，即明勾也。合问。

法曰：和步乘底勾又以和步乘之为实，倍底勾加和步又以和步乘之为从，倍和步内减底勾为廉，一常法。开立方得明勾�。

草曰：底股、底弦和内减和步，即黄长股弦和也。底勾得明勾即黄长弦也，黄长股即圆径，明弦上三事和即大差。立天元一为明勾，以和步乘底勾得�，以明勾除之得�为底股底弦和也，内减和步馀�为黄长股弦和也。以天元加底勾得�为黄长弦，以减黄长股弦和，馀�为圆径。倍底勾内减圆径，得�为两个小差于上；以和步加天元，得�为一个大差于下。上、下相乘得下式�为圆径幂（寄左）。然后以天元乘底勾，又四之得�为同数，与寄左相消得下式�。开立方得七十二步，即明勾也。合问。