測圓海鏡/卷06
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○大勾一十八問
或問：乙從東門直行一十六步，甲從乾隅東行三百二十步，望乙與城參相直。問答同前。
法曰：甲東行內減二之乙東行，複以乘甲東行為實，四之甲東行內減二之乙東行為從，四益隅。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以二之加乙東行得■為中勾，以中勾減於甲東行得■為勾率也。其天元半徑即股率也。置甲東行為大勾，以股率乘之得■元，合以勾率除之，不受除，便以此為大股（內帶勾率分母）。再置天元以二之，以勾率乘之得■，減於大股餘■為股圓差於上（內有勾率分母）。又以二之天元減甲東行，得 ■為小差，以乘上位得■為半段黃方冪（內有勾率分母。寄左）。然後以天元自之，又以勾率乘之，又就分倍之，得■為同數，與左相消得■。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出東門南行三十步而立，甲從乾隅東行三百二十步，望乙與城參相直。問答同前。法曰：甲乙相乘為實，甲東行為從，二虛法。平開得半徑。
草曰：識別具見大股第二問中。立天元為半徑，內減乙南行得■為虛股，以乘通勾甲東行，得■為半段城徑冪（寄左）。然後以天元自之，又就分二之得■為同數，與左相消得■。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出南門直行一百三十五步而立，甲從乾隅東行三百二十步望見乙。問答同前。
法曰：以乙南行乘甲東行冪為實，二之乙南行乘甲東行為從方，廉空，二步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，以二之加於乙南行得■為股率，以天元減甲東行得■為勾率。乃置乙南行以勾率乘之得■，合股率除，不除便以此為小勾，此即半梯之頭（內帶股率分母）。又以勾率乘之，得■為半徑冪（內帶股率分母。寄左）。乃以股率乘天元冪，得■為同數，與左相消得■。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙出南門東行七十二步，甲從西北隅取直東行三百二十步見乙。問答同前。法曰：二行相乘為實，以乙東行為從，一步常法。得半徑。
草曰：立天元一為半城徑，以減甲東行步，得■為梯底，以乙東行七十二步為梯頭，以乘之得■為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得■。以平方開之得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：乙從西南隅直東行一百九十二步，甲從西北隅直東行三百二十步望見乙。問答同前。法曰：二行步相乘為實，二行相並為法。得半徑。
草曰：立天元一為半徑，副置之。上以減於乙東行得■為梯頭於上，下位減於甲東行得■為梯底，以乘上位得■為半徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得■。上法下實即半徑也。合問。
或問：乙從坤隅直南行三百六十步而止，甲從乾隅直東行三百二十步望見乙。問答同前。
法曰：二行步相乘倍之為實，二之甲東行為從，一步常法。得城徑。
草曰：立天元一以為城徑，加乙南行得■為股，二行步相並得六百八十步為弦，甲東行為勾。勾股相乘得■，又倍之得■為二直積（寄左）。然後以勾股弦相並得■為三事和，以天元乘之得■為同數，與左相消得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：東門南不知遠近有樹，甲從乾隅東行三百二十步，望樹與城參相直，複就樹斜行一百七十步至樹。問答同前。
法曰：兩段東行步冪內減兩段東行斜行相乘數為實，二之東行為從，一益隅。
草曰：別得東行步即大勾，斜行步即小弦也。乃立天元一為城徑，減東行步得■勾圓差也（今為小勾）。置東行步以斜步乘之得■，合以小勾除之。今不受除，便以此為大弦（內帶小勾分母）。再置東行步以小勾乘之，得■為大勾，以減大弦得■為大差。合以小差乘之（緣內帶小差分母），更不須乘，便以此為半段黃方冪（更無分母）。又二之得■為一段黃方冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
依前問：假令乙出東門南行不知步數而止，甲從乾東行三百二十步，望乙與城相直，複就乙斜行一百七十步。
法曰：以甲東行乘二行差冪為實，以甲東行乘二之二行差為益方，二之二行差為隅法。
草曰：識別得二行相減餘一百五十即半城徑與乙南行共數也。得此數更不須用斜。立天元一為半徑，減於二行差得■即半梯頭也。又以二天元減甲東行步得 ■為勾率，又以一百五十為股率。乃置甲東行以股率乘之，得■，合勾率除，不除便以此為大股（內寄勾率分母）。再置天元以勾率乘之得■，以減於大股得■為半梯底也。頭、底相乘得下■為半徑冪也（內帶勾率分母。寄左）。然後以勾率乘天元冪，得■為同數，與左相消得■。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：南門東不知遠近有樹，甲從乾隅東行三百二十步見樹，複向樹斜行二百七十二步至樹。問答同前。
法曰：二之二行差乘二之甲東行為實，並二之二行差及二之甲東行為從，二步益隅。
草曰：別得二行相減餘四十八步即虛積之勾也。立天元一為城徑，內減二之二行差，得■為梯頭於上。再置甲東行步以二之，內減天元得■為梯底，以乘上位得■為城徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問（翻法在記）。
或問：甲從乾隅東行三百二十步而止，乙出南門直行不知步數望見甲，複就甲斜行四百二十五步與甲相會。問答同前。
法曰：二行步相減以乘東行步，得數，又以半之東行步乘之為實；以半之東行步乘東行步於上，以二行步相減餘乘東行步減上位為從；二之東行步為益廉，一步常法。得半徑。
草曰：識別得二行相減是高積上勾股較（此勾即半徑也）。又別得是高弦不及股圓差數乃立天元為半城徑，以減東行步得■為中勾，其斜行步即中弦也。又置半城徑以斜步乘之得■元，合以中勾除之，不受除，便以此為高弦（內寄中勾為母）。又以二行步相減，餘一百五步為高弦不及股圓差數，置此數以中勾乘之，得 ■，加入高弦得■為大差於上（內帶中勾分母）。又倍天元減東行步得■為小差，又半之得■，以乘上位得■為半徑冪（內有中勾分母。寄左）。乃以天元自乘，又以中勾乘之得■為同數，與左相消得■。以立方開得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：甲乙二人俱在乾隅，乙直南行不知步數而立，甲直東行三百二十步望見乙，複就乙斜行六百八十步與乙相會。問答同前。
法曰：以二行差乘甲東行步，又二之為實，以二之二行差為從，一步常法。
草曰：別得二行步相減餘三百六十步，即股圓差也。乃立天元一為圓徑，以減於甲東行步，得■為小差，以東行斜行差三百六十步乘之，得■，又倍之得■為一段城徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：東門外不知遠近有樹，甲從乾隅東行三百二十步，望樹與城參相直，複就樹斜行一百三十六步至樹。問答同前。
法曰：倍二行相減數，內減甲東行，得數複以乘甲東行為實，倍二行差為從，二步虛常法。得半徑。
草曰：識別得斜行步乃樹至城心步也。立天元一為半徑，加斜行步得■即樹至城西門之步也。乃以減於甲東行得下■為小勾率，其天元半徑即小股率，其斜步即小弦數也。再置甲東行步內減天元得■為梯底於上。又置梯底內減二之小勾率，得■，以乘上位得■為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得下式■。以平方開之，得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：南門外不知步數有槐樹一株，甲從乾隅直東行至柳樹下，望見槐樹，複斜行至槐樹下，甲自雲：“我共行了七百四十五步。”乙從坤隅南行望見槐柳與城參相直，複斜行至槐樹下，乙自雲：“我南行步多於斜行步一百五步。”
法曰：甲東行減於甲斜行，以乘甲東行，得數複以乘二之甲東行為實；半之甲東行，以乘二之東行於上，甲東行減於甲斜行，餘複以乘甲東行，又倍之，減上位為從方；二之甲東行為益廉，五分隅法。
草曰：識別得一百五步是大差多於高弦數，又為高弦上勾股差數。又別得是甲斜行多於東行數也。乃副置甲共行七百四十五步在地，其上位加一百五步而半之，得四百二十五步即甲斜行也。其下位減一百五步而半之，得三百二十步即甲東行也。乃立天元一為圓徑，以半之減於甲東行步，得■為中勾，其甲斜行四百二十五步即中弦也。再置天元以半之為小勾，以中弦乘之得■，合以中勾除，不除便以為高弦於上（內帶中勾分母）。別置乙多步一百五步，以中勾乘之得■為大差多於高弦數也。以加入上位得下式■為一個大差也。置甲東行以天元減之，又倍之得■為兩個小差，以乘大差得下■為一段黃方冪（內帶中勾分母。寄左）。然後置天元冪以中勾通之，得■，與左相消得■。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。
或問：出南門直行，不知步數有槐樹一株；出南門東行，不知步數有柳樹一株；槐柳斜相距一百五十三步。甲從乾東行三百二十步，望槐、柳與城參相直。問答同前。
法曰：二行相乘訖，又以乘甲東行冪為實；斜行乘甲東行冪，又三之為從方；甲東行冪內減兩段二行相乘數為第一廉，二之甲東行為益二廉，二步常法。開三乘方，得半徑。
草曰：立天元一為半徑，以二之減於甲東行，得■為小差，以自之得■，加於甲東行冪，複半之得■為大弦（內帶小差分母）。又置斜相距步，以大勾乘之得 ■太，合大弦除，不除便以此為小勾（內帶大弦分母）。乃以天元減甲東行數，得■為半梯底，以乘小勾半梯頭，得■為半徑冪於上，此半徑冪內有大弦分母，此大弦分母元帶小差分母，故先用小差分母以乘上半徑冪，得■為半徑冪也，內隻帶本大弦分母（寄左）。然後以大弦乘天元冪，得■為同數，與左相消得下■。開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。
或問：甲從乾隅東行三百二十步而止，丙出東門南行，乙出東門直行各不知步數而立，甲回望乙、丙悉與城參相直，既而乙就丙斜行三十四步相會。問答同前。
法曰：甲東行再自之於上，以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實，兩段東行冪內減兩段東行、斜行相乘數為益從，以甲東行加五為從廉，五分虛隅。得全徑。
草曰：立天元一為城徑，以減於甲東行步，得■為小差，以自之得■為小差冪也。乃置甲東行冪內加小差冪而半之，得■為大弦也（內帶小差分母）。又置甲東行冪內減小差冪而半之，得■為大股也（內帶小差分母）。乃置斜行步在地，以大股乘之得■，合以大弦除之，不除而又倍之得■為梯頭也（即兩個小股內寄大弦為母。權寄）。乃置天元圓徑以半之，以小差分母通之，得■，以減於大股，餘得■元，又倍之得■元為梯底也（即兩個邊股，內亦有小差分母）。以乘權寄得■為城徑冪也（內寄大弦及小差分母。寄左）。然後以天元自之為冪，以大弦通之，又以小差通之得■為同數，與左相消得■。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。
依前問：假令東門外有樹，乙出東門南行，不知步數而立（隻雲樹去城步少於乙南行步）。甲從乾隅向東行三百二十步，望乙與樹悉與城參相直，乙複就樹斜行三十四步到樹。問答同前。
法曰：甲東行自之，又以斜步乘之為立方實；以斜行乘甲東行於上，以半段甲東行冪內減上位為從；廉空，半步常法。得勾圓差。
草曰：別得乙斜行即Ａ１弦也，Ａ１弦得小勾股即大股弦較也。乃立天元一為勾圓差，以自之為冪，副之，上以加於甲東行冪而半之，得■為大弦也（寄小差分母）。下以減於甲東行冪而半之，得■為大股也（寄小差分母）。乃置斜步以大股乘之，得■，合大弦除，不除便以此為小股（寄大弦分母）。又置斜步以甲東行乘之得■太，合大弦除，不除便以此為小勾，而又以通母分通之得■元為同分小勾也（寄大弦分母。注：大股乘時有小差分母，今大勾無母，故又以齊同之）。又置斜步以大弦通之得■為同分小弦也。三位相並得■為勾圓差也（寄左）。然後置天元以大弦通之，得■為同數，與左相消得■。開立方得八十步，即勾圓差也。以勾圓差減於甲東行步，餘二百四十即城徑也。合問。
或問：南門外不知步數有樹，甲從乾東行三百二十步而立，乙出西門便南行，望樹及甲與城參相直，卻就樹斜行二百五十五步至樹。問答同前。
法曰：二行相乘於上，以半之甲東行乘之為實；二行相乘於上，又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從；甲東行為從廉，一步虛法。開立方得半徑。
草曰：立天元一為半徑，便以為小勾，其斜行即小弦也。乃以甲東行為大勾，以小弦乘之，複以天元除之得■即大弦也。又倍天元減東行餘■為小差，以減大弦，餘■為大股也。又倍天元以減股，餘■為大差也。卻以半小差■乘之得下式■為半徑冪（寄左）。乃以天元冪與左相消，得下式■。開立方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。
或問：南門外不知步數有槐樹一株，東門外不知步數有柳樹一株。槐柳相距二百八十九步，甲從乾東行三百二十步，斜望槐柳與城參相直。問答同前。
法曰：二行相乘，得數又自增乘為實；斜步冪乘甲東行，又倍之為益從；兩行相乘又倍之為益廉，二之斜步為第二廉，二步常法。開三乘方得柳至城心步。
草曰：別得柳至城心步即甲立處至柳樹步也。立天元一為柳至城心步，加斜步得■為底弦，以天元乘之得■，合斜步除，不除便以此為底勾（寄斜步分母）。乃再置通勾以斜步乘之得■太為帶母通勾，內減底勾餘式■為半徑，以自之得■為半徑冪，內帶斜步冪分母（寄左）。乃以天元減斜步得■為明弦，以天元乘之得 ■，合斜步除，不除便以此為半梯頭（寄斜步為母）。複以底勾半梯底乘之，得■為同數，與左相消得■。開三乘方得一百三十六步，即柳至城心步也。合問。
或問：甲從乾隅東行三百二十步而立，乙出城東行，丙出城南行，三人相望俱與城相直。乙丙共行了一百五十一步。問答同前。
法曰：以甲東行為冪，折半，又以自之為三乘方實；倍共步加甲東行，以乘半段甲行冪為從方；甲行乘共數為從廉，甲東行加五為第二益廉，二分五厘常法。得小差。
草曰：別得乙丙共行步即明股Ａ１勾共也。立天元一為小差，以自之，副置二位。上位減於甲東行冪，以天元除之，又折半得■即大股也。下位加甲行冪，以天元除之，又折半得■為大弦也。其甲東行即大勾也。並大勾、大股得■即大和也。再立天元以減甲東行步，得■即圓徑也。以圓徑加共步，得■即皇極和也（即小和，又為高弦平弦共數）。又倍之得■即黃長弦、黃廣弦共也，內減大弦得下式■為皇極內小黃方也（亦為虛弦）。再置大和■以小黃方乘之，得下式■，合以小和除之，不除便以此為城徑，內寄小和為母（寄左）。然後以天元減甲東行得■為大黃方，以小和乘之得■為同數，與左相消得■。開三乘方得八十步即小差也。以小差減甲東行，餘二百四十步，即城徑也。合問。
或問：丙出南門東行，乙出東門南行，各不知步數而立。甲從乾隅東行三百二十步，望乙、丙悉與城參相直。乙就丙斜行一百二步相會。問答同前。
法曰：甲東行自之於上，倍斜行步乘之為立方實；倍斜行步乘甲東行於上，加兩段甲東行冪為從；四之甲東行為益廉，四為隅法。得半城徑。
草曰：別得斜步即小虛弦，減於全徑即小和也。乃立天元一為半徑，以二之減於甲東行得■為小差也。以自之得■為小差冪也。置甲東行冪內加小差冪而半之，得下■為大弦（內帶小差分母）。置甲東行冪內減小差冪而半之，得■為大股也，內亦帶小差為母。又以小差乘大勾得■，並入大股得■為大和也（帶小差母）。乃先以小弦乘大和得下■（寄左）。次以斜步減於二天元得■為小和，以乘大弦得下式■為同數，與左相消得■。開立方得一百二十步，即半城徑也。合問。
依前問：假令乙出東門南行，丙出南門東行，各不知步數而立（隻雲丙行步多於乙行步）。甲從乾隅東行三百二十步，望乙、丙與城參相直。其乙、丙共行了一百二步。問答同前。
法曰：倍共步以乘甲東行冪為立方實；共步乘甲東行於上，又以甲東行自之，加上位為益從；甲東行為從廉，五分虛常法。得城徑。
草曰：別得共步便為小弦，得小勾、小股即與圓徑同。立天元為城徑，以減甲東行得■為小差，以自之得■為小差冪也。乃置甲東行以自之為冪，副之。上以加小差冪而半之，得■為大弦也（內寄小差分母）。下以減小差冪而半之，得下■為大股也（內寄小差分母）。乃置共步在地，以大股乘之得■，合大弦除，不除便以此為小股也（寄大弦分母。）又置共步，以甲東行乘之得■，合以大弦除，不除便以此為小勾，而又以元分母小差乘之，得■為同分小勾也（隻寄大弦分母。注：其大弦內元帶小差分母，其大勾內卻無分母。故今乘過，複以小差通之，齊同其分母也）。又置共步以大弦通之，得■，同分小弦也。三位相並得■為城徑也（內有大弦分母。寄左）。然後置天元城徑，以大弦分母通之，得■為同數，與左相消得■。開立方得二百四十步，即城徑也。合問。