测圆海镜/卷06
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○大勾一十八问
或问：乙从东门直行一十六步，甲从干隅东行三百二十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：甲东行内减二之乙东行，复以乘甲东行为实，四之甲东行内减二之乙东行为从，四益隅。得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之加乙东行得■为中勾，以中勾减于甲东行得■为勾率也。其天元半径即股率也。置甲东行为大勾，以股率乘之得■元，合以勾率除之，不受除，便以此为大股（内带勾率分母）。再置天元以二之，以勾率乘之得■，减于大股馀■为股圆差于上（内有勾率分母）。又以二之天元减甲东行，得 ■为小差，以乘上位得■为半段黄方幂（内有勾率分母。寄左）。然后以天元自之，又以勾率乘之，又就分倍之，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门南行三十步而立，甲从干隅东行三百二十步，望乙与城参相直。问答同前。法曰：甲乙相乘为实，甲东行为从，二虚法。平开得半径。
草曰：识别具见大股第二问中。立天元为半径，内减乙南行得■为虚股，以乘通勾甲东行，得■为半段城径幂（寄左）。然后以天元自之，又就分二之得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门直行一百三十五步而立，甲从干隅东行三百二十步望见乙。问答同前。
法曰：以乙南行乘甲东行幂为实，二之乙南行乘甲东行为从方，廉空，二步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以二之加于乙南行得■为股率，以天元减甲东行得■为勾率。乃置乙南行以勾率乘之得■，合股率除，不除便以此为小勾，此即半梯之头（内带股率分母）。又以勾率乘之，得■为半径幂（内带股率分母。寄左）。乃以股率乘天元幂，得■为同数，与左相消得■。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门东行七十二步，甲从西北隅取直东行三百二十步见乙。问答同前。法曰：二行相乘为实，以乙东行为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以减甲东行步，得■为梯底，以乙东行七十二步为梯头，以乘之得■为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙从西南隅直东行一百九十二步，甲从西北隅直东行三百二十步望见乙。问答同前。法曰：二行步相乘为实，二行相并为法。得半径。
草曰：立天元一为半径，副置之。上以减于乙东行得■为梯头于上，下位减于甲东行得■为梯底，以乘上位得■为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。上法下实即半径也。合问。
或问：乙从坤隅直南行三百六十步而止，甲从干隅直东行三百二十步望见乙。问答同前。
法曰：二行步相乘倍之为实，二之甲东行为从，一步常法。得城径。
草曰：立天元一以为城径，加乙南行得■为股，二行步相并得六百八十步为弦，甲东行为勾。勾股相乘得■，又倍之得■为二直积（寄左）。然后以勾股弦相并得■为三事和，以天元乘之得■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：东门南不知远近有树，甲从干隅东行三百二十步，望树与城参相直，复就树斜行一百七十步至树。问答同前。
法曰：两段东行步幂内减两段东行斜行相乘数为实，二之东行为从，一益隅。
草曰：别得东行步即大勾，斜行步即小弦也。乃立天元一为城径，减东行步得■勾圆差也（今为小勾）。置东行步以斜步乘之得■，合以小勾除之。今不受除，便以此为大弦（内带小勾分母）。再置东行步以小勾乘之，得■为大勾，以减大弦得■为大差。合以小差乘之（缘内带小差分母），更不须乘，便以此为半段黄方幂（更无分母）。又二之得■为一段黄方幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
依前问：假令乙出东门南行不知步数而止，甲从乾东行三百二十步，望乙与城相直，复就乙斜行一百七十步。
法曰：以甲东行乘二行差幂为实，以甲东行乘二之二行差为益方，二之二行差为隅法。
草曰：识别得二行相减馀一百五十即半城径与乙南行共数也。得此数更不须用斜。立天元一为半径，减于二行差得■即半梯头也。又以二天元减甲东行步得 ■为勾率，又以一百五十为股率。乃置甲东行以股率乘之，得■，合勾率除，不除便以此为大股（内寄勾率分母）。再置天元以勾率乘之得■，以减于大股得■为半梯底也。头、底相乘得下■为半径幂也（内带勾率分母。寄左）。然后以勾率乘天元幂，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：南门东不知远近有树，甲从干隅东行三百二十步见树，复向树斜行二百七十二步至树。问答同前。
法曰：二之二行差乘二之甲东行为实，并二之二行差及二之甲东行为从，二步益隅。
草曰：别得二行相减馀四十八步即虚积之勾也。立天元一为城径，内减二之二行差，得■为梯头于上。再置甲东行步以二之，内减天元得■为梯底，以乘上位得■为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问（翻法在记）。
或问：甲从干隅东行三百二十步而止，乙出南门直行不知步数望见甲，复就甲斜行四百二十五步与甲相会。问答同前。
法曰：二行步相减以乘东行步，得数，又以半之东行步乘之为实；以半之东行步乘东行步于上，以二行步相减馀乘东行步减上位为从；二之东行步为益廉，一步常法。得半径。
草曰：识别得二行相减是高积上勾股较（此勾即半径也）。又别得是高弦不及股圆差数乃立天元为半城径，以减东行步得■为中勾，其斜行步即中弦也。又置半城径以斜步乘之得■元，合以中勾除之，不受除，便以此为高弦（内寄中勾为母）。又以二行步相减，馀一百五步为高弦不及股圆差数，置此数以中勾乘之，得 ■，加入高弦得■为大差于上（内带中勾分母）。又倍天元减东行步得■为小差，又半之得■，以乘上位得■为半径幂（内有中勾分母。寄左）。乃以天元自乘，又以中勾乘之得■为同数，与左相消得■。以立方开得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在干隅，乙直南行不知步数而立，甲直东行三百二十步望见乙，复就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。
法曰：以二行差乘甲东行步，又二之为实，以二之二行差为从，一步常法。
草曰：别得二行步相减馀三百六十步，即股圆差也。乃立天元一为圆径，以减于甲东行步，得■为小差，以东行斜行差三百六十步乘之，得■，又倍之得■为一段城径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：东门外不知远近有树，甲从干隅东行三百二十步，望树与城参相直，复就树斜行一百三十六步至树。问答同前。
法曰：倍二行相减数，内减甲东行，得数复以乘甲东行为实，倍二行差为从，二步虚常法。得半径。
草曰：识别得斜行步乃树至城心步也。立天元一为半径，加斜行步得■即树至城西门之步也。乃以减于甲东行得下■为小勾率，其天元半径即小股率，其斜步即小弦数也。再置甲东行步内减天元得■为梯底于上。又置梯底内减二之小勾率，得■，以乘上位得■为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得下式■。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：南门外不知步数有槐树一株，甲从干隅直东行至柳树下，望见槐树，复斜行至槐树下，甲自云：“我共行了七百四十五步。”乙从坤隅南行望见槐柳与城参相直，复斜行至槐树下，乙自云：“我南行步多于斜行步一百五步。”
法曰：甲东行减于甲斜行，以乘甲东行，得数复以乘二之甲东行为实；半之甲东行，以乘二之东行于上，甲东行减于甲斜行，馀复以乘甲东行，又倍之，减上位为从方；二之甲东行为益廉，五分隅法。
草曰：识别得一百五步是大差多于高弦数，又为高弦上勾股差数。又别得是甲斜行多于东行数也。乃副置甲共行七百四十五步在地，其上位加一百五步而半之，得四百二十五步即甲斜行也。其下位减一百五步而半之，得三百二十步即甲东行也。乃立天元一为圆径，以半之减于甲东行步，得■为中勾，其甲斜行四百二十五步即中弦也。再置天元以半之为小勾，以中弦乘之得■，合以中勾除，不除便以为高弦于上（内带中勾分母）。别置乙多步一百五步，以中勾乘之得■为大差多于高弦数也。以加入上位得下式■为一个大差也。置甲东行以天元减之，又倍之得■为两个小差，以乘大差得下■为一段黄方幂（内带中勾分母。寄左）。然后置天元幂以中勾通之，得■，与左相消得■。开立方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：出南门直行，不知步数有槐树一株；出南门东行，不知步数有柳树一株；槐柳斜相距一百五十三步。甲从乾东行三百二十步，望槐、柳与城参相直。问答同前。
法曰：二行相乘讫，又以乘甲东行幂为实；斜行乘甲东行幂，又三之为从方；甲东行幂内减两段二行相乘数为第一廉，二之甲东行为益二廉，二步常法。开三乘方，得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之减于甲东行，得■为小差，以自之得■，加于甲东行幂，复半之得■为大弦（内带小差分母）。又置斜相距步，以大勾乘之得 ■太，合大弦除，不除便以此为小勾（内带大弦分母）。乃以天元减甲东行数，得■为半梯底，以乘小勾半梯头，得■为半径幂于上，此半径幂内有大弦分母，此大弦分母元带小差分母，故先用小差分母以乘上半径幂，得■为半径幂也，内只带本大弦分母（寄左）。然后以大弦乘天元幂，得■为同数，与左相消得下■。开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：甲从干隅东行三百二十步而止，丙出东门南行，乙出东门直行各不知步数而立，甲回望乙、丙悉与城参相直，既而乙就丙斜行三十四步相会。问答同前。
法曰：甲东行再自之于上，以二之斜行步乘甲东行幂减上位为立方实，两段东行幂内减两段东行、斜行相乘数为益从，以甲东行加五为从廉，五分虚隅。得全径。
草曰：立天元一为城径，以减于甲东行步，得■为小差，以自之得■为小差幂也。乃置甲东行幂内加小差幂而半之，得■为大弦也（内带小差分母）。又置甲东行幂内减小差幂而半之，得■为大股也（内带小差分母）。乃置斜行步在地，以大股乘之得■，合以大弦除之，不除而又倍之得■为梯头也（即两个小股内寄大弦为母。权寄）。乃置天元圆径以半之，以小差分母通之，得■，以减于大股，馀得■元，又倍之得■元为梯底也（即两个边股，内亦有小差分母）。以乘权寄得■为城径幂也（内寄大弦及小差分母。寄左）。然后以天元自之为幂，以大弦通之，又以小差通之得■为同数，与左相消得■。开立方得二百四十步，即城径也。合问。
依前问：假令东门外有树，乙出东门南行，不知步数而立（只云树去城步少于乙南行步）。甲从干隅向东行三百二十步，望乙与树悉与城参相直，乙复就树斜行三十四步到树。问答同前。
法曰：甲东行自之，又以斜步乘之为立方实；以斜行乘甲东行于上，以半段甲东行幂内减上位为从；廉空，半步常法。得勾圆差。
草曰：别得乙斜行即Ａ１弦也，Ａ１弦得小勾股即大股弦较也。乃立天元一为勾圆差，以自之为幂，副之，上以加于甲东行幂而半之，得■为大弦也（寄小差分母）。下以减于甲东行幂而半之，得■为大股也（寄小差分母）。乃置斜步以大股乘之，得■，合大弦除，不除便以此为小股（寄大弦分母）。又置斜步以甲东行乘之得■太，合大弦除，不除便以此为小勾，而又以通母分通之得■元为同分小勾也（寄大弦分母。注：大股乘时有小差分母，今大勾无母，故又以齐同之）。又置斜步以大弦通之得■为同分小弦也。三位相并得■为勾圆差也（寄左）。然后置天元以大弦通之，得■为同数，与左相消得■。开立方得八十步，即勾圆差也。以勾圆差减于甲东行步，馀二百四十即城径也。合问。
或问：南门外不知步数有树，甲从乾东行三百二十步而立，乙出西门便南行，望树及甲与城参相直，却就树斜行二百五十五步至树。问答同前。
法曰：二行相乘于上，以半之甲东行乘之为实；二行相乘于上，又半之甲东行以乘甲东行加上位为益从；甲东行为从廉，一步虚法。开立方得半径。
草曰：立天元一为半径，便以为小勾，其斜行即小弦也。乃以甲东行为大勾，以小弦乘之，复以天元除之得■即大弦也。又倍天元减东行馀■为小差，以减大弦，馀■为大股也。又倍天元以减股，馀■为大差也。却以半小差■乘之得下式■为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得下式■。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：南门外不知步数有槐树一株，东门外不知步数有柳树一株。槐柳相距二百八十九步，甲从乾东行三百二十步，斜望槐柳与城参相直。问答同前。
法曰：二行相乘，得数又自增乘为实；斜步幂乘甲东行，又倍之为益从；两行相乘又倍之为益廉，二之斜步为第二廉，二步常法。开三乘方得柳至城心步。
草曰：别得柳至城心步即甲立处至柳树步也。立天元一为柳至城心步，加斜步得■为底弦，以天元乘之得■，合斜步除，不除便以此为底勾（寄斜步分母）。乃再置通勾以斜步乘之得■太为带母通勾，内减底勾馀式■为半径，以自之得■为半径幂，内带斜步幂分母（寄左）。乃以天元减斜步得■为明弦，以天元乘之得 ■，合斜步除，不除便以此为半梯头（寄斜步为母）。复以底勾半梯底乘之，得■为同数，与左相消得■。开三乘方得一百三十六步，即柳至城心步也。合问。
或问：甲从干隅东行三百二十步而立，乙出城东行，丙出城南行，三人相望俱与城相直。乙丙共行了一百五十一步。问答同前。
法曰：以甲东行为幂，折半，又以自之为三乘方实；倍共步加甲东行，以乘半段甲行幂为从方；甲行乘共数为从廉，甲东行加五为第二益廉，二分五厘常法。得小差。
草曰：别得乙丙共行步即明股Ａ１勾共也。立天元一为小差，以自之，副置二位。上位减于甲东行幂，以天元除之，又折半得■即大股也。下位加甲行幂，以天元除之，又折半得■为大弦也。其甲东行即大勾也。并大勾、大股得■即大和也。再立天元以减甲东行步，得■即圆径也。以圆径加共步，得■即皇极和也（即小和，又为高弦平弦共数）。又倍之得■即黄长弦、黄广弦共也，内减大弦得下式■为皇极内小黄方也（亦为虚弦）。再置大和■以小黄方乘之，得下式■，合以小和除之，不除便以此为城径，内寄小和为母（寄左）。然后以天元减甲东行得■为大黄方，以小和乘之得■为同数，与左相消得■。开三乘方得八十步即小差也。以小差减甲东行，馀二百四十步，即城径也。合问。
或问：丙出南门东行，乙出东门南行，各不知步数而立。甲从干隅东行三百二十步，望乙、丙悉与城参相直。乙就丙斜行一百二步相会。问答同前。
法曰：甲东行自之于上，倍斜行步乘之为立方实；倍斜行步乘甲东行于上，加两段甲东行幂为从；四之甲东行为益廉，四为隅法。得半城径。
草曰：别得斜步即小虚弦，减于全径即小和也。乃立天元一为半径，以二之减于甲东行得■为小差也。以自之得■为小差幂也。置甲东行幂内加小差幂而半之，得下■为大弦（内带小差分母）。置甲东行幂内减小差幂而半之，得■为大股也，内亦带小差为母。又以小差乘大勾得■，并入大股得■为大和也（带小差母）。乃先以小弦乘大和得下■（寄左）。次以斜步减于二天元得■为小和，以乘大弦得下式■为同数，与左相消得■。开立方得一百二十步，即半城径也。合问。
依前问：假令乙出东门南行，丙出南门东行，各不知步数而立（只云丙行步多于乙行步）。甲从干隅东行三百二十步，望乙、丙与城参相直。其乙、丙共行了一百二步。问答同前。
法曰：倍共步以乘甲东行幂为立方实；共步乘甲东行于上，又以甲东行自之，加上位为益从；甲东行为从廉，五分虚常法。得城径。
草曰：别得共步便为小弦，得小勾、小股即与圆径同。立天元为城径，以减甲东行得■为小差，以自之得■为小差幂也。乃置甲东行以自之为幂，副之。上以加小差幂而半之，得■为大弦也（内寄小差分母）。下以减小差幂而半之，得下■为大股也（内寄小差分母）。乃置共步在地，以大股乘之得■，合大弦除，不除便以此为小股也（寄大弦分母。）又置共步，以甲东行乘之得■，合以大弦除，不除便以此为小勾，而又以元分母小差乘之，得■为同分小勾也（只寄大弦分母。注：其大弦内元带小差分母，其大勾内却无分母。故今乘过，复以小差通之，齐同其分母也）。又置共步以大弦通之，得■，同分小弦也。三位相并得■为城径也（内有大弦分母。寄左）。然后置天元城径，以大弦分母通之，得■为同数，与左相消得■。开立方得二百四十步，即城径也。合问。