几何原本/卷六

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几何原本 卷六

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西洋利玛窦译

卷六之首

界说六则

第一界

凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为 　相似之形

　甲乙丙丁戊己两角形之甲角与丁角等乙与戊丙 　与己各等其甲角旁之甲乙与甲丙 　两线之比例若丁角旁之丁戊与 　丁己两线而甲乙与乙丙若丁戊与 　戊己甲丙与丙乙若丁己与己戊则 　此两角形为相似之形依显凡平边 　形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱 　平边角形其各角俱等而各边之比例亦等者是也 　四边五边以上诸形俱仿此

第二界

两形之各两边线互为前后率相与为比例而等为互 　相视之形

　甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙 　乙丙边与戊己己庚边相与为比例 　等而彼此互为前后如甲乙与戊己 　若己庚与乙丙也则此两形为互相 　视之形依显壬癸子丑寅卯两角形 　之壬子与丑寅若丑卯与壬癸或壬癸与丑寅若丑 　卯与壬子亦互相视之形也

第三界

理分中末线者一线两分之其全与大分之比例若大 　分与小分之比例

甲乙线两分之于丙而甲乙与大分甲丙之比 例若大分甲丙与小分丙乙此为理分中末线 其分法见本卷三十题而与二卷十一题理同 　名异此线为用甚广至量体尤所必须十三卷诸题 　多赖之古人目为神分线也

第四界

度各形之高皆以垂线之亘为度 甲乙丙角形从甲顶向乙丙底作甲庚垂 线即甲庚为甲乙丙之高又丁戊己角形 作丁辛垂线即丁辛为丁戊己之高若两 　形相视两垂线等即两形之高必等如上两形在两 　平行线之内者是也若以丙己为顶以甲乙丁戊为 　底则不等自馀诸形之度高俱仿此

　凡度物高以顶底为界以垂线为度盖物之定度止 　有一不得有二自顶至底垂线一而己偏线无数也

第五界

比例以比例相结者以多比例之命数相乘除而结为 　一比例之命数

　此各比例不同理而相聚为一比例者则用相结之 　法合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为 　比例之命数谓大几何所倍于小几何若干或小几 　何在大几何内若干也如大几何四倍于小或小几 　何为大四分之一即各以四为命比例之数也〈五卷界说〉 　　　　　　　　　〈三〉今言以彼多比例之命数相 　　　　　　　　　乘除而结为此一比例之命数 　　　　　　　　　者如十二倍之此比例则以彼 　　　　　　　　　二倍六倍两比例相结也二六 　　　　　　　　　相乘为十二故也或以彼三倍 　　　　　　　　　四倍两比例相结也三四相乘 　　　　　　　　　亦十二故也又如三十倍之此 　　　　　　　　　比例则以彼二倍三倍五倍三 　　　　　　　　　比例相结也二乘三为六六乘 　五为三十故也

　其曰相结者相结之理盖在中率凡中率为前比例 　之后后比例之前故以二比例合为一比例则中率 　为辏合之因如两爿合此为之胶如两襟合此为之 　纽矣第五卷第十界言数几何为同理之比例则第 　一与第三为再加之比例再加者以前中二率之命 　数再加为前后二率之命数亦以中率为纽也但彼 　所言者多比例同理故止以第一比例之命数累加 　之此题所言则不同理之多比例不得以第一比例 　之命数累加之故用此乘除相结之理于不同理之 　中求其同理别为累加之法其纽结之义颇相类焉 　下文仍发明借象之术以需后用也

　五卷言多比例同理者第一与第三为再加与第四 　为三加与第五为四加以至无穷今此相结之理亦 　　　　　　　　　　以三率为始三率则两比例 　　　　　　　　　　相乘除而中率为纽也若四 　　　　　　　　　　率则先以前三率之两比例 　　　　　　　　　　相乘除而结为一比例复以 　　　　　　　　　　此初结之比例与第三比例 　乘除相结为一比例也若五率则先以前三率之两 　比例乘除相结复以此再结之比例与第三比例乘 　除相结又以三结之比例与第四比例乘除相结为 　一比例也或以第一第二第三率之两比例乘除相 　结以第三第四第五之两比例乘除相结又以此二 　所结比例乘除相结而为一比例也自六以上仿此 　以至无穷

　设三几何为二比例不同理而合为一比例则以第 　一与二第二与三两比例相结也如上图三几何二 　比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁 与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六 倍大二乘三为六也若以小不等戊己 　为第一甲乙为第三三乘二亦六则戊己与甲乙为 　反六倍大也

　甲乙与丙丁既二倍大试以甲乙二平分之为甲庚 　庚乙必各与丙丁等丙丁与戊己既三倍大而甲庚 　庚乙各与丙丁等即甲庚亦三倍大于戊己庚乙亦 　三倍大于戊己而甲乙必六倍大于戊己 又如上图三几何二比例前以大不等 后以小不等者中率小子前后两率也

　其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大 　〈反二倍大者丙丁得戊己之半〉即甲乙与戊己为等带半三乘半得 　等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反推之半 　除三为反等带半也

又如上图三几何二比例前以小不等 后以大不等者中率大于前后二率也 　其甲乙与丙丁为反二倍大〈甲乙得丙丁之半〉丙丁与戊己 　为等带三分之一即甲乙与戊己为反等带半〈甲乙得戊〉 　〈己三分之二〉何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己 　当三是甲乙二戊己当三也

　后増其乘除之法则以命数三带得数一为四以半 　除之得二二比三为反等带半也若以戊己为第一 　甲乙为第三三比二为等带半也

设四几何为三比例不同理而合为一 比例则以第一与二第二与三第三与 四三比例相结也如上图甲乙丙丁四 　几何三比例先依上论以甲与乙乙与丙二比例相 　结为甲与丙之比例次以甲与丙丙与丁相结即得 　甲与丁之比例也如是递结可至无穷也

　或用此图申明本题之旨曰甲与乙之命数为丁乙 　与丙之命数为戊即甲与丙之命数 　为己何者三命数以一丁二戊相乘 　得三己即三比例以一甲与乙二乙 　与丙相乘得三甲与丙 　后増若多几何各带分而多寡不等者当用通分法 　如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大 　带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数 　从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八 　通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为 　十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二 　倍大带三之二也

　曷谓借象之术如上所说三几何二比例者皆以中 　率为前比例之后后比例之前乘除相结略如连比 　例之同用一中率也而不同理别有二比例异中率 　者是不同理之断比例也无法可以相结当于其所 　设几何之外别立三几何二比例而同中率者乘除 　相结作为仪式以彼异中率之四几何二比例依仿 　求之即得故谓之借象术也假如所设几何十六为 　　　　　　　　　　　　首十二为尾却云十六 　　　　　　　　　　　　与十二之比例若八与 　　　　　　　　　　　　三及二与四之比例八 　　　　　　　　　　　　为前比例之前四为后 　　　　　　　　　　　　比例之后三与二为前 　　　　　　　　　　　　之后后之前此所谓异 　中率也欲以此二比例乘除相结无法可通矣用是 　别立三几何二比例如其八与三二与四之比例而 　务令同中率如三其八得二十四为前比例之前三 　其三得九为前比例之后即以九为后比例之前又 　求九与何数为比例若二与四得十八为后比例之 　后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四 　也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之 　比例矣是用借象之术变异中率为同中率乘除相 　结而合二比例为一比例也其三比例以上亦如上 　方所说展转借象递结之　详见本卷二十三题筭 　家所用借象金法双金法俱本此

第六界

平行方形不满一线为形小于线若形有馀线不足为 　形大于线

　甲乙线其上作甲戊丁丙平行方形不满甲乙线而 　丙乙上无形即作己乙线与丁丙平行次引戊丁线 遇己乙于己是为甲戊己乙满甲乙线平 行方形则甲丁为依甲乙线之有阙平行 方形而丙己平行方形为甲丁之阙形又 　甲丙线上作甲戊己乙平行方形其甲乙边大于元 　设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之 　甲丁形则甲己为依甲丙线之带馀平行方形而丙 　己平行方形为甲己之馀形

卷六

西洋利玛窦撰

第一题

等高之三角形，方形自相与为比例，与其底之比例等。

解曰：甲乙丙、丁戊己两角形等高，其底乙丙、戊己。丙庚、戊辛两方形等高，其底乙丙、戊己。题言甲乙丙与丁戊己之比例、丙庚与戊辛之比例，皆若乙丙与戊己。

论曰：试置四形于庚辛、子寅两平行线内〈凡形自顶至底作垂线，即本形之高，故等高者必在平行线内，见本卷界说四〉于乙子线内，作数底线，各与乙丙等，为乙壬、壬癸、癸子。于己寅线内，作数底线，各与戊己等，为己丑、丑寅。次，从甲从丁，作甲壬、甲癸、甲子、丁丑、丁寅诸线，其甲乙丙、甲乙壬、

甲壬癸、甲癸子四三角形既等底，而在平行线内，即等〈一卷三八〉。依显丁戊己、丁己丑、丁丑寅三三角形亦等，则子丙底线大于乙丙若干倍，而甲子丙角形大于甲乙丙亦若干倍。依显戊寅之倍戊己，亦若丁戊寅之倍丁戊己〈底线分数与形之分数等故〉。即用三试法：若子丙底大于戊寅底，则甲子丙形亦大于丁戊寅形也；若等亦等；若小亦小也〈一卷三八〉。则一乙丙所倍之子丙、三甲乙丙所倍之甲子丙与二戊己所倍之戊寅、四丁戊己所倍之丁戊寅等大小，皆同类也，而一乙丙底与二戊己底之比例，若三甲乙丙与四丁戊己矣〈五卷六界〉。又丙庚、戊辛两方形，各倍大于甲乙丙、丁戊己两角形〈一卷卅三〉，而甲乙丙与丁戊己之比例既若乙丙与戊己，即丙庚与戊辛两方形之比例，亦若乙丙与戊己两底矣〈五卷十五〉。或从壬癸子及丑寅各作直线，与庚乙、辛己平行，即依上论推显

增题：凡两角形两方形各等底，其自相与为比例，若两形之高之比例。

解曰：甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙

丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊 己等题言甲乙丙与丁戊己两角形之 比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之 比例皆若甲壬与丁癸两高

论曰：试作子壬底线与乙丙等作丑癸

底线与戊己等次作甲子丁丑两线其甲壬子与 甲乙丙两角形等底又等高即等依显丁癸丑与 甲乙丙两角形等底又等高即等依显丁癸丑与 　　丁戊己两角形亦等〈一卷三八〉即甲乙丙与丁戊己之 比例若甲壬子与丁癸丑也〈五卷七〉今以甲壬丁癸 为底即甲壬子与丁癸丑两角形之比例若甲壬 与丁癸两底也〈本篇一〉而甲乙丙与丁戊乙之比例 亦若甲壬与丁癸矣又甲乙丙与丁戊己两角形 之比例既以倍大故若甲庚乙丙与丁戊己辛两 　　方形之比例〈五卷十五〉即两方形之比例亦若甲壬与 　　丁癸两底也〈五卷十一〉若作庚子辛丑两线亦依前论 推显

第二题〈二支〉

三角形任依一边作平行线即此线分两馀边以为比 　例必等三角形内有一线分两边以为比例而等即 　此线与馀边为平行

先解曰：甲乙丙角形内如作丁戊线与乙

丙平行题言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊 　以为比例必等者甲丁与丁乙若甲戊与戊丙也

论曰：试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两角形同

　以丁戊为底同在两平行线内即等〈一卷三七〉而甲戊丁 　与丁戊乙两角形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣〈五卷〉 　〈七〉夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内〈若干〉 　〈戊点上作一线与甲乙平行即两形在其内〉则甲戊丁与丁戊乙两角形 　之比例若甲丁与丁乙两底也〈本篇一〉依显甲戊与戊 　丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也〈两形〉 　〈亦在两平行线内故〉是甲丁与丁乙两线之比例甲戊与戊丙 　两线之比例皆若甲戊丁与丁戊乙也或与丁戊丙 　也〈丁戊乙与丁戊丙等〉则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也〈五卷〉 　〈十一〉

后解曰：甲乙丙角形内有丁戊线分甲乙甲丙于丁

　于戊以为比例而等题言丁戊与乙丙为平行线

论曰：试作丁丙戊乙两线其甲丁与丁乙两底之比

　例若甲戊丁与丁戊乙两角形也〈在两平行线内故见本篇一〉而 　甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙即甲戊丁与丁 　戊乙之比例亦若甲戊与戊丙也〈五卷十一〉又甲戊与戊 　丙两底之比例既若甲戊丁与丁戊丙〈在两平行线内故见本篇〉 〈一〉则甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊 丁与丁戊丙也〈五卷十一〉而丁戊乙与丁戊丙 两角形等矣〈五卷九〉两角形同以丁戊为底 　而等则在两平行线内〈一卷卅九〉

第三题〈二支〉

三角形任以直线分一角为两平分而分对角边为两 　分则两分之比例若馀两边之比例三角形分角之 　线所分对角边之比例若馀两边则所分角为两平 　分

先解曰：甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角为两平

分题言乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲 　丙

论曰：试作乙戊线与甲丁平行次于丙甲线引长之

　至戊其甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角 　等外角丁甲丙与内角戊亦等〈一卷廿九〉今乙甲丁与丁 　甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等也而甲戊与甲 　乙两腰亦等矣〈一卷六〉则戊甲与甲丙之比例若乙甲 　与甲丙也〈五卷七〉夫戊甲与甲丙之比例若乙丁与丁 　丙也〈本篇二〉则乙甲与甲丙之比例亦若乙丁与丁丙 　也〈五卷十一〉后解曰乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙 　题言甲丁线分乙甲丙角为两平分

论曰：依前作乙戊线与甲丁平行而引丙

甲线至戊其乙甲与甲丙之比例既若乙 　丁与丁丙甲丁线又与戊乙边平行而乙丁与丁丙 　之比例若戊甲与甲丙〈本篇二〉即乙甲与甲丙之比例 　亦若戊甲与甲丙〈五卷十一〉是戊甲与乙甲两线等矣〈五卷〉 　〈九〉则甲乙戊角与戊角亦等也〈一卷五〉夫甲乙戊与乙 　甲丁为平行线相对之两内角等而外角丁甲丙与 　内角戊亦等〈一卷廿九〉则乙甲丁丁甲丙两角必等

第四题

凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例 　必等而对等角之边为相似之边

解曰：甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙

丙与丁丙戊甲丙乙与丁戊丙乙甲丙与 丙丁戊每相当之各角俱等也题言甲乙 与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲 　丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁戊与丙戊而每 　对等角之边各相似相似者谓各前各后率各对本 　形之相当等角论曰试并置两角形令乙丙丙戊两 　底为一直线而丁丙戊为甲乙丙之外角其甲乙丙 　甲丙乙两角既小于两直角〈一卷廿七〉丁戊丙与甲丙乙 两角又等即乙戊两角亦小于两直角而 乙甲戊丁两线引出之必相遇〈一卷界说十一〉即 作两线令遇于己其丁丙戊外角与甲乙 丙内角既等即丁丙与己乙为平行线〈一卷〉 　〈廿八〉依显甲丙乙外角与丁戊丙内角既等即甲丙与 　己戊亦平行线〈一卷廿八〉而甲己丁丙为平行线方行则 　甲己与丁丙两线等也甲丙与己丁两线等也〈一卷卅四〉 　夫乙戊己角形内之甲丙线既与己戊边平行即甲 　乙与等甲己之丁丙之比例若乙丙与丙戊也〈本篇二〉 　更之即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也〈五卷十六〉又乙戊 　己角形内之丁丙线既与己乙边平行即乙丙与丙 　戊之比例若等己丁之甲丙与丁戊也〈本篇二〉更之即 　乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也〈五卷十六〉甲乙与乙丙既 　若丁丙与丙戊而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊平 　之即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也〈五卷廿二〉 　一系凡角形内之直线与一边平行而截一分为角 形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁 戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊 　角形必与甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角与甲 　乙丙内角等甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等〈一卷廿九〉 　甲角又同即两形相似而各等角旁两边之比例等 　〈本题〉

増题：凡角形之内任依一边作一平行线于此边

任取一点向对角作直线则所分两平行线比例 　　等

解曰：甲乙丙角形内作丁戊线与乙

　丙平行次于乙丙边任取己点向甲 　角作直线分丁戊于庚题言乙己与 　己丙之比例若丁庚与庚戊

论曰：甲己乙甲庚丁两角形既相似〈本系〉即甲己与

己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲 　　庚若己乙与庚丁也〈五卷十六〉依显甲己与甲庚若己 丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也 　　〈五卷十一〉更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也〈五卷十六〉

又论曰：甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两

角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与 庚甲也〈本系〉依显甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也 平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也〈五卷廿二〉

第五题

两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对 　各相似边之角各等

解曰：甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙

　与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲 　丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对 各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等

论曰：试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与

丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲 角等〈一卷三二〉是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲 　乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也〈本篇四〉甲乙与乙丙元 　若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也〈五卷十一〉 　而丁戊与庚戊两线必等〈五卷九〉又乙丙与甲丙之比例若 　戊己与庚己〈本篇四〉而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊 　己与庚己亦若戊己与丁己也〈五卷十一〉而丁己与庚己两线 　必等〈五卷九〉夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己 　同底即丁角与庚角亦等〈一卷八〉其馀庚戊己与丁戊己庚己 　戊与丁己戊各相当之角俱等〈一卷四〉而庚角与甲角既等即 　丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等

第六题

两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形 　为等角形而对各相似边之角各等

解曰：甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙

　丙之比例若丁戊与戊己题言馀角丙与己甲与丁俱等

论曰：试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与

丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显 甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比 例若庚戊与戊己也〈本篇四〉甲乙与乙丙元若丁 　戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也〈五卷十一〉而 　丁戊与庚戊两线必等〈五卷九〉夫丁戊庚戊两边既等戊 　己同边庚戊己角与丁戊己角又等〈丁戊己角与乙角等而己戊庚亦与〉 　〈乙等故〉即其馀各相当之角俱等〈一卷四〉而庚角既与甲 　角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊 　己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣

第七题

两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比 　例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直 　角即两形为等角形而对各相似边之角各等

解曰：甲乙丙丁戊己两角形其一甲角与一丁角等

而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙 乙两边偕丁己戊两旁之丁己己戊两边 比例等其第三相当角如乙与戊或俱小 于直角或俱不小于直角题言两形等角 者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等 先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然 　而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙 　角宜与戊等〈一卷卅二〉甲庚丙与丁戊己为等角形矣即 　甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊〈本篇四〉而先设 　甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若 　甲丙与丙乙也〈五卷十一〉是庚丙与乙丙两线等也〈五卷九〉 　丙庚乙与丙乙庚两角亦等也〈一卷五〉夫乙既小于直 　角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚 　甲必大于直角也〈丙庚甲丙庚乙两角等于两直角见一卷十三〉而丙庚甲 　既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角 　何由得小于直角也

后论：乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论

　乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙 　庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角 　〈一卷十七〉何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其馀 　乙与戊角等矣〈一卷卅二〉

第八题

直角三边形从直角向对边作一垂线分本形为两直 　角三边形即两形皆与全形相似亦自相似

解曰：甲乙丙直角三边形从乙甲丙直角作

甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两三边 形皆与全形相似亦自相似

论曰：甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为

　直角而丙角又同即其馀甲乙丙丁甲丙两角必等 　〈一卷三〉则甲乙丙甲丁丙两形必为等角形而等角旁 　之各两边比例必等等者谓乙丙与甲丙若甲丙与 　丙丁也甲丙与甲乙若丙丁与甲丁也乙丙与甲乙 　若甲丙与甲丁也即甲丁丙角形与甲乙丙全形相 　似矣〈本篇四〉依显甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似 　也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其 　馀甲丙乙丁甲乙两角必等〈一卷卅二〉甲乙丙甲丁乙两 　形必为等角形而等角旁之各两边比例必等故也 　依显甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各 　与全形相似即两形自相似〈五卷十一〉 　系从直角作垂线即此线为两分对边线比例之中 　率而直角旁两边各为对角全边与同方分边比例 　之中率何者丙丁与丁甲之比例若丁甲与丁乙也 　故丁甲为丙丁丁乙两分边比例之中率也又乙丙与 　丙甲之比例若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁 　之中率也乙丙与乙甲之比例若乙甲与乙丁也故 　乙甲为乙丙乙丁之中率也

第九题

一直线求截所取之分

法曰：甲乙直线求截取三分之一先从甲任

作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作 所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也 次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即 　甲庚为甲乙三分之一

论曰：甲乙己角形内之丁庚线既与乙己边平行即

　己丁与丁甲之比例若乙庚与庚甲也〈本篇二〉合之己 　甲与甲丁若乙甲与庚甲也〈五卷十八〉而甲丁既为己甲 　三分之一即庚甲亦为乙甲三分之一也

注曰：甲乙线欲截取十一分之四先作甲

丙线为丙甲乙角从甲向丙任平分十一 分至丁次作丁乙线末从甲取四分得戊 作戊己线与丁乙平行即甲己为十一分 甲乙之四何者依上论丁甲与戊甲之比 　例若乙甲与己甲也反之甲戊与甲丁若甲己与甲 　乙也〈五卷四〉甲戊为甲丁十一分之四则甲己亦甲乙 　十一分之四矣依此可推不尽分之数盖四不为十 　一之尽分故

第十题

一直线求截各分如所设之截分

法曰：甲乙线求截各分如所设甲丙任分

之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲 丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相联 　于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相联末从丁从戊 　作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己 　于庚若甲丙之分于丁于戊

论曰：甲丁与丁戊之比例既若甲己与己庚〈本篇二〉即

　甲己与己庚亦若甲丁与丁戊也更作丁辛线与甲 　乙平行而分戊庚于壬即丁戊与戊丙若丁壬与壬 　辛也亦若等丁壬之己庚〈一卷卅四〉与等壬辛之庚乙也 　〈本篇二〉则己庚与庚乙亦若丁戊与戊丙也 　从此题作一用法平分一直线为若干分如甲乙线求 五平分即从甲任作甲丙线为丙甲乙角 次从甲向丙任作五平分为甲丁丁戊戊 己己庚庚辛次作辛乙直线相聨末作丁 壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即 　壬癸子丑分甲乙为五平分其理依前论推显 　又一简法如甲乙线求五平分即从丙任作丙乙线 　为丙乙甲角次于乙丙任取一点为丁作丁戊线与 　甲乙平行次从丁向戊任作五平分 　为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸 　线令小于甲乙次从甲过癸作甲子 　线遇乙丙于子末从子作子壬子辛 　子庚子己四线各引长之而分甲乙 于丑于寅于卯于辰为五平分

论曰：丁戊与甲乙既平行即子壬癸与子丑甲两

　　角子癸壬与子甲丑两角各等〈一卷廿九〉而甲子丑同 角即甲子丑癸子壬两角形相似矣则子癸与癸 壬之比例若子甲与甲丑也〈本篇四〉依显子壬与壬 辛若子丑与丑寅也又癸壬与壬辛等即子壬与 壬癸若子壬与壬辛也〈五卷七〉则子丑与丑甲亦若 　　子丑与丑寅也而甲丑丑寅两线等矣〈五卷十一〉依显 寅卯卯辰辰乙俱与甲丑等则甲乙线为五平分 又一简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲 丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分 　次用元度从甲作壬癸子丑四平分 　末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨 　即分甲乙于己于辰于卯于寅为五 　平分

论曰：辛庚与壬癸既平行相等即辛

　壬与庚癸亦平行〈一卷卅三〉依显己子戊 　丑俱平行而甲丑既为四平分则甲 　己亦四平分〈本题〉依显乙辛既为四平 分则乙寅亦四平分而通甲乙为五平分 　　　　　　　　　又用法先作一器丙丁戊己为 　　　　　　　　　平行线任平分为若干格每分 　　　　　　　　　作平行线相聨今欲分甲乙为 　　　　　　　　　五平分即规取甲乙之度以一 角抵戊丙线而一角抵庚辛线如不在庚辛者即 渐移之令至也既至壬即戊壬之分为甲乙之分

论曰：庚癸与子辛既平行相等即癸子庚辛亦平

　　行相等〈一卷卅三〉而丙丁戊己内诸线俱平行相等戊 庚为五平分即戊壬亦五平分矣〈本题〉戊壬之度既 与甲乙等即自戊至壬诸格分甲乙为五平分也 如戊丙线上取丑点而甲乙度抵庚辛之外若丑 寅即从庚辛线引长之为庚寅而癸子诸线俱引 长之其丑寅仍为五平分如前论若所欲分之线 极小则制器宜密令相称焉

増题：有直线求两分之而两分之比例若所设两线

之比例

法曰：甲乙线求两分之而两分之比例

若所设丙与丁先从甲任作甲戊线而 为甲角次截取甲己与丙等己庚与丁 等次作庚乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即 分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁说 见本篇二

又増题：两直线各三分之各互为两前后率比例

等即两中率与两前两后率各为比例亦等

解曰：甲乙丙丁两线各三分之于戊

　于己于庚于辛各互为两前两后率 　比例等者甲戊与戊乙若丙庚与庚 丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也题言中率戊己 庚辛各与其前后率为比例亦等者甲戊与戊己 若丙庚与庚辛己乙与戊己若辛丁与庚辛也

论曰：甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即合

之甲乙与戊乙若丙丁与庚丁也而甲己与己乙 既若丙辛与辛丁即合之甲乙与己乙若丙丁与 辛丁也又反之己乙与甲乙若辛丁与丙丁也夫 己乙与甲乙既若辛丁与丙丁而甲乙与戊乙又 　若丙丁与庚丁即平之己乙与戊乙 　亦若辛丁与庚丁也〈五卷廿二〉又转之戊 　乙与戊己若庚丁与庚辛也又分之 己乙与戊己若辛丁与庚辛也此后解也又甲戊 与戊乙既若丙庚与庚丁而戊乙与戊己又若庚 丁与庚辛即平之甲戊与戊己若丙庚与庚辛也 此前解也

又简论曰：如后图聨甲于丙作乙甲丁角次作丁

乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙之比例既 若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行〈本篇二〉甲己与 己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行〈本篇二〉 　　而庚戊与辛己亦平行〈一卷三十〉是甲戊与戊己若丙 庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也〈本篇〉 〈二〉

第十一题

两直线求别作一线相与为连比例

法曰：甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比

例者合两线任作甲角而甲乙与甲丙之比 例若甲丙与他线也先于甲乙引长之为乙 　丁与甲丙等次作丙乙线相聨次从丁作丁戊线与 　丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求 　线〈如以甲丙为前率仿此〉

论曰：甲丁戊角形内之丙乙线既与戊丁边

平行即甲乙与乙丁之比例若甲丙与丙戊 　也〈本篇二〉而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与 丙戊也〈五卷七〉

注曰：别有一法以甲乙乙丙两线列作甲

乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长 之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁 即乙丁为所求线

论曰：甲丙丁角形之甲丙丁既为直角而从直角

至甲丁底有丙乙垂线即丙乙为甲乙乙丁比例 　　之中率〈本篇八之系〉则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也 既从一二得三即从二三求四以上至于无穷俱 仿此

第十二题

三直线求别作一线相与为断比例

法曰：甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相

与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲 乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙 　次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次 　从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊 　于戊即丁戊为所求线

论曰：甲丙戊角形内之丁乙线既与丙戊边平行即

　甲丁与丁戊之比例若甲乙与乙丙〈本篇二〉

第十三题

两直线求别作一线为连比例之中率

法曰：甲乙乙丙两直线求别作一线为中率

者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也 先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平 　分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从 　乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率

论曰：试从丁作丁甲丁丙两线即甲丁丙为直角〈三卷〉

　〈卅一〉而直角所下乙丁垂线两分对边线甲丙其甲乙 　与乙丁若乙丁与乙丙也〈本篇八之系〉则乙丁为甲乙乙 　丙之中率

注曰：依此题可推凡半圜内之垂线皆为

分径线之中率线如甲乙丙半圜其乙丁 为甲丁丁丙之中率己戊为甲戊戊丙之 　中率辛庚为甲庚庚丙之中率也何者半圜之内从 　垂线作角皆为直角〈三卷卅一〉故依前论推显各为中率 　也

増题：一直线有他直线大于元线二倍以上求分

他线为两分而以元线为中率

法曰：甲乙线大于甲丙二倍以上求两分

甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨 为丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以 丁为心甲乙为界作甲戊乙半圜次从丙作丙戊 线与甲乙平行而遇半圜界于戊末从戊作戊己 垂线而分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之 中率

论曰：试作戊甲戊乙两线依本题论即戊己为甲

己己乙之中率而甲丙戊己为平行方形即丙甲 与戊己等〈一卷卅四〉则丙甲亦甲己己乙之中率也

第十四题〈二支〉

两平行方形等一角又等即等角旁之两边为互相视 　之边两平行方形之一角等而等角旁两边为互相 　视之边即两形等

先解曰：甲乙丙辛乙戊己庚两平行方

形等甲乙丙戊乙庚两角又等题言此 两角各两旁之两边为互相视之边者 　甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也

论曰：试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚为一直线

　其甲乙丙与戊乙庚既等角即戊乙乙丙亦一直线 〈一卷十五增题〉次从辛丙己庚各引长之遇于 丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛 乙与乙丁两形之比例若乙己与乙丁 　也〈五卷七〉而辛乙与乙丁俱在两平行线之内等高即 　辛乙与乙丁两形之比例若其底甲乙与乙庚也〈本篇〉 　〈一〉依显乙己与乙丁两形亦若其底戊乙与乙丙也 　则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也

后解曰：甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两边为互相

　视之边者甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也题言辛乙 　乙己两平行方形等

论曰：依上论以两等角相聨其甲乙与乙庚之比例

　既若戊乙与乙丙而甲乙与乙庚两底之比例若平 　行等高之辛乙与乙丁两形〈本篇一〉戊乙与乙丙两底 　之比例若平行等高之乙己与乙丁两形则辛乙与 　乙丁若乙己与乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等 　〈五卷九〉

第十五题〈二支〉

相等两三角形之一角等即等角旁之各两边互相视 　两三角形之一角等而等角旁之各两边互相视即 　两三角形等

先解曰：甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又

等题言等角旁之各两边互相视者谓甲乙 与乙戊之比例若丁乙与乙丙也

论曰：试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊为

　一直线其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一 　直线〈一卷十五増题〉次作丙戊线相聨其甲乙丙乙丁戊两 　角形既等即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与 　乙丙戊也〈五卷七〉夫甲乙丙与乙丙戊两等高形之比 　例若其底甲乙与乙戊也而乙丁戊与乙丙戊两等 　高形亦若其底丁乙与乙丙也则甲乙与乙戊若丁 　乙与乙丙

后解曰：两乙角等而乙旁各两边甲乙与乙戊之比

　例若丁乙与乙丙题言甲乙丙乙丁戊两角形等

论曰：依前列两形令等角旁两边各为一直线其甲

　乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙而甲乙与乙戊 　两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等高角形丁乙与 　乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等高角形则 　甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣而 　甲乙丙与乙丁戊岂不相等〈五卷九〉

第十六题〈二支〉

四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线 　矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形 　等即四线为断比例

先解曰：甲乙己庚戊己乙丙四直线为

断比例者谓甲乙与己庚若戊己与乙 丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾两 线矩内直角形戊己庚辛为戊己己庚 　中两线矩内直角形题言甲丙戊庚两形等

论曰：两形之乙与己既等为直角而甲乙与己庚之

　比例若戊己与乙丙是乙己等角旁之各两边互相 　视而甲丙戊庚两直角形必等〈本篇十四〉

后解曰：甲丙戊庚两直角形等题言四线之比例等

　者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也

论曰：甲丙戊庚两形之乙与己既等为直角即等角

　旁之各两边互相视而甲乙与己庚之比例若戊己 　与乙丙也〈本篇十四〉则四线为断比例矣 　　　　　　　　　　　注曰若平行斜方形而等 　　　　　　　　　　　角亦同此论如上图 以上二题即筭家句股法三数筭法所赖也

第十七题〈二支〉

三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上 　直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方 　形等即三线为连比例

先解曰：甲乙戊己乙丙三线为连比例者甲乙与戊

己若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲 乙乙丙首尾线矩内直角形戊己 庚辛为戊己上直角方形题言甲丙戊 庚两形等

论曰：试作己庚线与戊己等即甲乙乙丙己庚戊己

　为比例等等者谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也则 　戊己己庚矩内直角形〈即戊己上直角方形〉与甲乙乙丙首尾 　线矩内之甲丙形等矣〈本篇十六〉

后解曰：甲丙直角形与戊庚直角方形等题言甲乙

　与戊己之比例若戊己与乙丙

论曰：甲丙戊庚既皆直角形即甲乙与戊己之比例

　若己庚与乙丙也〈本篇十六〉而己庚与乙丙亦若等己庚 　之戊己与乙丙〈五卷七〉则甲乙与戊己若戊己与乙丙 　矣

注曰：若平行斜方形而等

　　　　　　　　　　　角亦同此论如上图 　系凡直线上直角方形与他两线所作矩内直角形 　等即此线为他两线之中率何者依上后论甲乙乙 　丙矩内直角形与戊己上直角方形等即可推甲乙 　与戊己若戊己与乙丙而戊己为甲乙乙丙之中率 　故

第十八题

直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等

法曰：如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚

形相似而体势等先于设形任从一角向 各对角各作直线而分本形为若干角形 如上设形则从己向丙向丁作两直线而 分为丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也 　次于元线上作乙甲壬甲乙壬两角与丁丙己丙丁 　己两角各等其甲壬乙壬两线遇于壬即甲壬乙与 　丙己丁两角亦等而甲壬乙与丙己丁两形为等角 　形矣〈一卷卅二〉次作乙壬辛壬乙辛两角与丁己戊己丁 　戊两角各等其壬辛乙辛两线遇于辛即乙辛壬与 　丁戊己两角亦等而乙壬辛与丁己戊两形为等角 　形矣末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形即甲 　乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角则相似而体势 　等凡设多角形俱仿此

论曰：壬甲乙角与己丙丁角既等而壬甲癸角与己

　丙庚角又等即乙甲癸全角与丁丙庚全角等依显 　甲乙辛与丙丁戊两全角亦等而其馀各全角俱等 　则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚为等角形矣又甲乙 与乙壬之比例既若丙丁与丁己而乙壬 与乙辛亦若丁己与丁戊〈本篇四〉平之即甲 乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也〈五卷廿二〉则甲 乙辛丙丁戊两等角旁各两边之比例等 　也而辛戊两等角旁各两边之比例亦等也〈两形等角即等角旁〉 　〈各两边之比例等见本篇四〉又辛壬与壬乙之比例既若戊己与己 　丁而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙壬甲与壬癸亦若 　己丙与己庚平之即辛壬与壬癸亦若戊己与巳庚 　也〈五卷廿二〉则辛壬癸戊己庚两等角旁各两边之比例 　等也依显馀角俱如是则两形为等角形而各等角 　旁各两边之比例俱等是两形相似而体势等

注曰：凡线上形相当之各角等即形相似

而体势等如上甲乙丙丁戊己两角形其 乙丙戊己线上之乙角丙角与戊角己角 相当相等者是也若两形在乙丙丁戊两 线上则虽相似而体势不等又如上甲 丙戊庚两直角形其甲丁与丁丙之比 例若戊辛与辛庚而馀边之比例俱等 亦形相似而体势等若甲丙壬庚两直 　　　　　　　　角形虽角旁比例等而在丁丙庚 　　　　　　　　辛线上不相当则体势不等 　　　　　　　　増作本题别有一简法如设甲乙 　　　　　　　　丙丁戊己直线形求于庚线上作 直线形与相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲 己两线任引出之为甲辛甲丑次从甲向各角各 任作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取 甲辛与庚线末从辛作辛壬线与乙丙平行作壬 癸与丙丁癸子与丁戊子丑与戊己各平行即所 　　求

论曰：两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角与甲

　　辛壬甲丑子两角各等〈一卷廿九〉而甲丙乙甲丙丁两 角与甲壬辛甲壬癸两角各等即乙丙丁与辛壬 癸两全角亦等依显丙丁戊丁戊己与壬癸子癸 子丑各全角各等则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸 子丑两直线形为等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲 癸子甲子丑四三角形与甲乙丙甲丙丁甲丁戊 　　甲戊己四三角形各相似〈本篇四之系〉即甲乙与乙丙 之比例若甲辛与辛壬也而乙丙与丙甲若辛壬 与壬甲也丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也平之则 乙丙与丙丁亦若辛壬与壬癸也依显馀边俱如 是则两形相似而体势等也

第十九题

相似三角形之比例为其相似边再加之比例

解曰：如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙与戊丙与

　己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与 　戊己题言两形之比例为乙丙与戊己两边再加之 　比例

先论曰：若两角形等即乙丙与戊己两边

亦等而各两等边为相同之比例即两形 亦相同之比例就令作再加之比例亦未 免为相同之比例则相等之两形即可为 　两等边再加之比例矣

后论曰：若乙丙边大于戊己边即于乙丙线上截取

　乙庚为连比例之第三率令乙丙与戊己之比例若 　戊己与乙庚也〈本篇十一〉次作甲庚直线其甲乙与乙丙 之比例若丁戊与戊己更之即甲乙与丁 戊若乙丙与戊己也而乙丙与戊己若戊 己与乙庚则甲乙与丁戊若戊己与乙庚 也夫甲乙庚与丁戊己两角形有乙戊两 　等角而各两旁之两边又互相视〈本篇十五〉即两形等则 　甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙 　庚形矣〈五卷七〉又甲乙丙与甲乙庚两等高角形之比 　例若乙丙底与乙庚底〈本篇一〉则甲乙丙形与丁戊己 形之比例亦若乙丙底与乙庚底也既乙 丙戊己乙庚三线为连比例则一乙丙与 三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加 之比例矣是甲乙丙与丁戊己两形之比 例为乙丙与戊己再加之比例也 系依本题可显凡三直线为连比例即第一线 上角形与第二线上角形之比例若第一线与 第三线之比例如上甲乙丙三直线为连比例 　其甲与乙上各有角形相似而体势等则一甲线与 　三丙线之比例若甲形与乙形也何者甲线与丙线 　之比例为甲线与乙线再加之比例而甲形与乙形 　之比例亦甲线与乙线再加之比例则甲形与乙形 　之比例若甲线与丙线矣依显二乙上角形与三丙 　上角形相似而体势等则二乙形与三丙形之比例若 　一甲线与三丙线

第二十题〈三支〉

以三角形分相似之多边直线形则分数必等而相当 　之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若 　两元形之比例其元形之比例为两相似边再加之 　比例

先解曰：此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线

　形其乙甲戊庚己癸两角等馀相当之各角俱等而 各等角旁各两边之比例各等题先言各 以角形分之其角形之分数必等而相当 之各角形各相似

论曰：试从乙甲戊庚己癸两角向各对角

俱作直线为甲丙甲丁己辛己壬其元形 　既相似即角数等而所分角形之数亦等又乙角既 　与庚角等而角旁各两边之比例亦等即甲乙丙与 　己庚辛两角形必相似〈本篇六〉乙甲丙与庚己辛两角 　甲丙乙与己辛庚两角各等而各等角旁各两边之 　比例各等〈本篇四〉依显甲戊丁己癸壬两角形亦相似 　又甲丙与丙乙之比例既若己辛与辛庚而丙乙与 　丙丁若辛庚与辛壬〈两元形相似故〉平之即甲丙与丙丁若 　己辛与辛壬也〈五卷廿二〉又乙丙丁角既与庚辛壬角等 　而各减一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙 　丁角与己辛壬角必等则甲丙丁与己辛壬两角形 　亦等角形亦相似矣〈本篇六〉

次解曰：题又言各相当角形之比例若两元形之比

　例

论曰：甲乙丙己庚辛两角形既相似即两形之比例

　为甲丙己辛两相似边再加之比例〈本篇十九〉依显甲丙 　丁己辛壬之比例亦为甲丙己辛再加之比例则甲 乙丙与己庚辛两角形之比例若甲丙丁 与己辛壬两角形之比例依显甲丁戊与 己壬癸之比例亦若甲丙丁与己辛壬之 比例则此形中诸角形之比例若彼形中 诸角形之比例此诸形为前率彼诸形为 　后率而一前与一后之比例又若并前与并后之比 　例〈五卷十二〉即此一角形与相当彼一角形之比例若此 　元形与彼元形之比例矣

后解曰：题又言两多边元形之比例为两相似边再

　加之比例

论曰：甲乙丙与己庚辛两角形之比例既若甲乙丙

　丁戊与己庚辛壬癸两多边形之比例而甲乙丙与 　己庚辛两形之比例为甲乙己庚两相似边再加之 　比例〈本篇十九〉则两元形亦为甲乙己庚再加之比例

増题：此直线倍大于彼直线则此线上方形与彼

线上方形为四倍大之比例若此方形与彼方形 为四倍大之比例则此方形边与彼方形边为二 倍大之比例

先解曰：甲线倍乙线题言甲上方形与乙

上方形为四倍大之比例

论曰：凡直角方形俱相似〈本卷界说一〉依本题

论则甲方形与乙方形之比例为甲线与乙线再 加之比例甲线与乙线既为倍大之比例则两方 形为四倍大之比例矣何者四倍大之比 例为二倍大再加之比例若一二四为连 比例故也

后解曰：若甲上方形与乙上方形为四倍大之比

例题言甲边与乙边为二倍大之比例

论曰：两方形四倍大之比例既为两边再加之比

例则甲边二倍大于乙边 系依此题可显三直线为连比例如甲乙 丙则第一线上多边形与第二线上相似 多边形之比例若第一线与第三线之比 　　例 此系与本篇第十九题之系同论

第二十一题

两直线形各与他直线形相似则自相似

解曰：甲乙丙丁戊己两直线形各与庚辛壬

形相似题言两形亦自相似

论曰：甲乙丙形之各角既与庚辛壬形之各

角等而丁戊己形之各角亦与庚辛壬形之 各角等即两形之各角自相等〈公论〉两形之各 角既等则甲乙丙形与庚辛壬形各等角旁 各边之比例等〈五卷十一〉而丁戊己形与庚壬辛 形各等角旁各边之比例亦等也是甲乙丙 　形与丁戊己形各等角旁各边之比例亦等也各角 　既等各边之比例又等即两形定相似矣〈本卷界说一〉

第二十二题〈二支〉

四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直 　线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直 　线形为断比例则四直线为断比例

先解曰：甲乙丙丁戊己庚辛四直线为断比例者甲

　乙与丙丁若戊己与庚辛也今于甲乙丙丁上各任 　作直线形自相似如甲乙壬丙丁癸 　于戊己庚辛上各任作直线形自相 　似如戊己丑子庚辛卯寅题言四形 　亦为断比例者谓甲乙壬与丙丁癸 　若戊丑与庚卯也

论曰：试以甲乙丙丁两线求其连比

　例之末率线为辰〈本篇十一〉次以戊己庚辛两线求其连 　比例之末率线为己平之即甲乙与辰之比例若戊 　己与己也〈五卷廿二〉夫甲乙壬与丙丁癸两相似形之比 　例若甲乙线与辰线〈本篇十九及廿之系〉而戊丑与庚卯两相 似形之比例若戊己线与己线则甲乙 壬与丙丁癸之比例亦若戊丑与庚卯 　矣〈五卷十一〉

后解曰：如前四形为断比例题言甲乙

丙丁戊己庚辛四线亦为断比例

论曰：试以甲乙丙丁戊己三线求其断

　比例之末率线为午未〈本篇十二〉次于午未上作直线形 　与戊丑相似而体势等为午未酉申〈本篇十八〉午酉与戊 　丑相似即与庚卯亦相似而甲乙与丙丁之比例既 　若戊己与午未依上论即甲乙壬与丙丁癸两形之 　比例若戊丑与午酉矣夫甲乙壬与丙丁癸之比例 　元若戊丑与庚卯则戊丑与午酉亦若戊丑与庚卯 　也〈五卷十一〉而午酉与庚卯等也〈五卷九〉午酉与庚卯既等 　又相似而体势等即两形必在等线之上而庚辛与午 　未必等〈见下方补论〉则戊己与午未之比例若戊己与庚 　辛也而戊己与午未元若甲乙与丙丁则甲乙与丙 　丁亦若戊己与庚辛也 　补论曰庚卯午酉两直线形相等相似而体势等即 　在等线之上者何也盖庚辛与午未若云不等者或 　言庚辛大于午未也则辛卯宜亦大于未酉矣〈五卷十四〉 　而庚卯形宜亦大于午酉形矣何先设两形等也言 　小仿此〈补论者前此未著而论中无他论可征故别作一论以足未备〉

又补论曰：甲乙丙丁戊己两直线形相等相

似而体势等即相似边如甲乙与丁戊必等 者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也 即令以甲乙丁戊两线求其连比例之末率 线为庚〈本篇十一〉其甲乙与丁戊既若丁戊与庚 　而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大 　于庚矣然甲乙与庚之比例若甲乙丙形与丁戊己 　形〈本篇十九及廿之系〉甲乙既大于庚则甲乙丙宜大于丁戊 　己何先设两形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小 　仿此

増论曰：本题别有简论今先显四线之比例等而甲

　乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑 　与庚卯两形者盖甲乙与丙丁之比 　例若戊己与庚辛而甲乙壬与丙丁 　癸之比例为甲乙与丙丁再加之比 　例〈本篇十九〉戊丑与庚卯之比例亦为戊己与庚辛再加 之比例是甲乙壬与丙丁癸若戊丑与庚卯也

次増论曰：今显四形之比例等而甲乙与丙丁两

线之比例若戊己与庚辛两线者盖甲乙壬与丙 丁癸之比例若戊丑与庚卯而甲乙壬与丙丁癸 之比例为甲乙与丙丁再加之比例若戊丑与庚 　　卯为戊己与庚辛再加之比例〈本篇十九〉则甲乙与丙 丁之比例若戊己与庚辛矣

第二十三题

等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结

解曰：甲丙丙己两平行方形之乙丙

丁戊丙庚两角等题言两形之比例以 各等角旁各两边之比例相结者谓两 比例之前率在此形两比例之后率在 　彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙 　与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相 　结也

论曰：试以两等相聨于丙而乙丙丙庚作一直线其

　乙丙丁角既与戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直线 　〈一卷十五増〉次于甲丁己庚各引长之遇于辛次任作一 　壬线次以乙丙丙庚壬三线求其断比例之末率线 　为癸〈本篇十二〉末以丁丙丙戊癸三线求其断比例之末 　率线为子其乙丙与丙庚两底之比例既若甲丙与 　丙辛两形〈本篇一〉而乙丙与丙庚亦若壬与癸则甲丙 　与丙辛亦若壬与癸也〈五卷十一〉依显丙辛与丙己亦若 　癸与子也平之即甲丙与丙己若壬与子也〈五卷廿二〉夫 　壬与子之比例元以壬与癸癸与子两比例相结〈本卷〉 　〈界说五〉而壬与癸癸与子元若乙丙与丙庚丁丙与丙 戊则甲丙与丙己之比例以乙丙与丙 庚偕丁丙与丙戊两比例相结也其以 乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结则先 以乙丙丙戊为一直线可依上推显

后注曰：此不同理之比例也两形不相似〈本篇十九〉又

　　不相等之形也等角旁各两边不互相视〈本篇十四〉故 必用相结之理必须借象之术其法假虚形实所 以通比例之穷也以数明之乙丙六十丙庚二十 壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子 二即甲丙之实二千四百与丙己之实一千六百 若壬三与子二为等带半之比例也其曰壬与癸 癸与子两比例相结者壬三倍大于癸癸反二倍 　　大于子〈反二倍者癸得子之半〉三乘半得一五则壬与子为 等带半之比例也其曰借象者乙丙与丙庚丁丙与 丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与 　　子同中率而不同理之二比例以为象〈本卷界说五〉初作 壬与癸若乙丙与丙庚次作癸与子若丁丙与丙戊 　　〈本篇十二〉则癸为前率之后又为后率之前是为壬子首 尾两率之枢纽令相象之丙庚丁丙亦化两率为一 率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相 结为首尾两率之比例虽不能使三率为同理之 两比例而合为一连比例亦能使两不同理之比 例首尾合而为一比例矣自三以上可仿此相借 以至无穷也〈本卷界说五〉

第二十四题

平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似

解曰：甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线

任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而 与对角线交相遇于壬题言戊庚己辛两 　角线方形自相似亦与全形相似

论曰：试依一卷廿九题推显两角线形等角又庚甲

　戊与乙甲丁同角而甲戊壬外角与甲丁丙内角等 　甲庚壬外角与甲乙丙内角等戊壬庚外角与乙己 　壬内角等乙己壬外角又与乙丙丁内角等则戊庚 　形与甲丙全形等角矣依显己辛形亦与全形等角 　矣今欲显两形与全形相似者试观甲庚壬与甲乙 　丙两角形甲戊壬与甲丁丙两角形既各等角〈一卷廿九〉 　〈可推仍见本篇四之系〉即甲乙与乙丙之比例若甲庚与庚壬 　而庚乙两角旁各两边之比例等也〈六卷四〉又乙丙与 　丙甲之比例若庚壬与壬甲丙甲与丙丁之比例若 　壬甲与壬戊平之即乙丙与丙丁若庚壬与壬戊也〈五卷廿二〉 　则乙丙丁庚壬戊两角旁各两边之比例等也依显各 　角旁各両边之比例皆等是两角线方形自相似亦 　与全形相似

第二十五题

两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等

法曰：甲乙两直线形求作他直线形与

甲相似与乙相等先于求相似之甲形 任取一边如丙丁于丙丁边上作平行 方形与甲等为丙戊〈一卷四四四五〉次于丁戊 边上作平行方形与乙等而戊丁庚角 　与丁丙己角等为丁辛其丙丁庚己戊辛俱为直线 　也〈一卷四五可推〉次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率〈本篇十三〉 　末于壬癸上作子形与甲相似而体势等〈本篇十八〉即子 　形与乙等

论曰：丙丁壬癸丁庚三线既为连比例即依本篇二

　十题之系可显一丙丁与三丁庚之比例若一丙丁 　上之甲与二壬癸上之子两形相似而体势等者之 　比例也又丙丁与丁庚之比例若丙戊与丁辛两等 　高平行方形之比例也〈本篇一〉则丙戊与丁辛若甲与 　子矣夫丙戊与丁辛元若甲与乙也〈丙戊与甲等丁辛与乙等〉则 　甲与乙之比例若甲与子也〈五卷十一〉而乙形与子形等 　矣〈五卷九〉

第二十六题

平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而 　体势等又一角同则减形必依元形之对角线

解曰：乙丁平行方形之内减戊庚平行

方形元形减形相似而体势等又戊甲 庚同角题言戊庚形必依乙丁形之对 角线

论曰：试作甲己己丙对角两线若两线

为一直线即显戊庚形依甲丙对角线 矣如云甲己己丙非一直线令别作元 　形之对角线而分戊己边于辛即作辛壬线与己庚 　平行其乙丁戊壬两平行方形既同依甲辛丙一直 　对角线则宜相似而体势等矣〈本篇廿四〉是乙甲与甲丁 　之比例宜若戊甲与甲壬也夫乙甲与甲丁元若戊 　甲与甲庚〈元设形相似而体势等〉今若所云则戊甲与甲庚亦 　若戊甲与甲壬矣〈五卷十一〉而甲壬分与甲庚全亦等矣 　〈五卷九〉可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬与 　己戊平行依前论驳之

第二十七题

凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线 　上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙 　依形必大于此有阙依形

解曰：甲乙线平分于丙于半线丙乙上任

作丙丁戊乙平行方形其对角线乙丁次 作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为 甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半 　线上之阙形〈本卷界说六〉此两形相等相似势体又等题 　言甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙 　戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形 　必大于此有阙依形

论曰：试于乙丁对角线上任取一点为庚从庚作己

　庚壬线庚癸线与甲乙乙戊各平行即得甲庚为依 　甲乙元线之有阙平行方形而癸壬为其阙形此癸 　壬阙形既依乙丁对角线则与丙戊阙形相似而体 　势等〈本篇廿四〉夫丙庚庚戊两馀方形既等〈一卷四三〉若每加 　一癸壬角线方形即丙壬与癸戊亦等也又丙壬与 　丙己俱在两平行线内底等即两形等〈一卷三六〉而丙己 　与癸戊两形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方 　形与子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬 　折形之外尚有庚丁形则丙戊形必大于子丑磬折 　形而等丙戊之甲丁形〈丙戊甲丁同在两平行线内又等底故见一卷三六〉必 　大于等磬折形之甲庚形矣依显凡依乙丁对角线 作形与丙戊相形者其有阙依形俱小于 甲丁也为其必有庚丁之较故也

又论：甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬两平

行方形同在两平行线内又底等即两形 　等〈一卷卅六〉而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较馀 　一庚丁形其大于丙庚亦如之〈庚戊丙庚两馀方形等故见一卷四三〉 　即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦较馀一庚丁形 　也次每加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣

又解曰：若庚点在丙戊形外即引乙丁对

角线至庚从庚作辛丑线与癸戊平行次 引甲癸线至辛引乙戊线至丑而与辛丑 线遇于辛于丑末作庚己线与辛甲平行 　即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形又得己 　丑与丙戊相似而体势等者〈两形同依乙庚对角线故见本篇廿四〉为 　其阙形也题言甲丁形亦大于甲庚形

论曰：试于丙丁线引出之至子即辛子子丑两线等

　〈一卷卅四〉而辛丁丁丑两形亦等〈一卷卅六〉其丁丑己丁两馀 　方形既等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既 　较馀一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较馀一庚丁 　形也此两率者每加一甲壬平行方形则甲丁大于 　甲庚者亦较馀一庚丁形矣依显凡乙丁对角线引 　出丙戊形外依而作形与丙戊相似者其有阙依形 　俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也

第二十八题

一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等 　而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不 　大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似 　者

法曰：甲乙线求作依线之有阙平行方形与所设直

　线形丙等而其阙形与所设平行方形丁相似先以 　甲乙线两平分于戊次于戊乙半线 　上作戊己庚乙平行方形与丁相似 　而体势等〈本篇十八〉次作甲辛庚乙满元 　线平行方形若甲己平行方形与丙 　等者〈本篇廿五〉即得所求矣若甲己大于 　　　　　　　丙者〈题言甲己小即不可作见本篇廿七〉即等甲己之 　戊庚亦大于丙也则寻戊庚之大于丙几何假令其 　较为壬〈两直线形不等相减之较法见一卷四五増〉即作癸子丑寅平行 　方形与壬等又与戊庚形相似而体势〈本篇廿五〉则戊庚 　平行方形与丙直线形及癸丑平行方形并等而戊 　庚必大于癸丑矣夫戊庚与癸丑既相似即戊己与巳 　庚两边之比例若寅癸与癸子也而戊庚既大于癸 　丑即戊己己庚两边亦大于寅癸癸子也次截取己巳 　己卯与癸子癸寅等而作己己辰卯平行方形必与 　癸丑形相等相似而体势等矣又卯 　己形既与戊庚相似而体势等必同 　依乙己对角线也〈本篇廿六〉次于己辰线 　引出抵甲乙元线于卯辰两界各引 　出作午未线即甲辰为依甲乙线之 　有阙平行方形与丙等而其阙形乙 　辰与戊庚相似〈本篇廿四〉即亦与丁相似

论曰：辰庚与辰戊两馀方形既等〈一卷四三〉每加一乙辰

　角线方形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未 　亦等〈戊午戊未同在平行线内又底等故见一卷卅六〉乙己与戊未既等又 　每加一申辰方形即甲辰平行方形与申酉罄折形 　亦等矣夫申酉罄折形为戊庚形之分而戊庚与丙 　及癸丑等戊庚所截去之卯己又与癸丑等则申酉 　罄折形与丙等也而甲辰亦与丙等也

第二十九题

一直线求作依线之带馀平行方形与所设直线形等 　而其馀形与所设平行方形相似

法曰：甲乙线求作依线之带馀平行

　方形与所设直线形丙等而其馀形 　与所设平行方形丁相似先以甲乙 　线两平分于戊次于戊乙半线上作 　戊己庚乙平行方形与丁相似而体 　势等〈本篇十八〉次别作一平行方形与丙及 　戊庚并等为辛〈二卷十四〉次别作一平行方形与辛等又 　与丁相似而体势等为壬癸子丑〈本篇廿五〉其丑癸既与 　辛等即大于戊庚而丑癸既与戊庚相似即丑壬与 　壬癸两边之比例若戊己与己庚也而丑壬与壬癸 　两线必大于戊巳与巳庚也〈若等或小即丑癸不大于戊庚〉次于巳 　戊引之至卯与壬丑等于巳庚引之至寅与壬癸等 　而作卯寅平行方形即卯寅与丑癸同依辰巳对角 　线而等〈本篇廿六〉又与戊庚相似而体势等矣次于甲乙 　引之至巳庚乙引之至午于午卯引之至未末作甲 　未线与己卯平行即得甲辰带馀平行方形依甲乙 　线与丙等而己午为其馀形与戊庚形相似而体势 　等〈本篇廿四〉即与丁相似而体势等

论曰：甲卯戊午两形既等〈一卷卅六〉戊午与乙寅两馀方

　形又等〈一卷四三〉则甲卯与乙寅亦等矣而每加一卯己 　形则甲辰平行方形与戊辰寅罄折形亦等矣夫戊 　辰寅罄折形元与丙等〈丑癸即卯寅与丙及戊庚并等每减一戊庚即罄折形与〉 　〈丙等〉即甲辰亦与丙等

第三十题

一直线求作理分中末线

法曰：甲乙线求理分中末先于元线作甲

乙丙丁直角方形次依丁甲边作丁己带 　馀平行方形与甲丙直角方形等而甲己为其馀形 　又与甲丙形相似〈本篇廿九〉即甲己亦直角方形矣〈惟直角方〉 　〈形恒与直角方形相似〉则戊己线分甲乙于辛为理分中末线 　也〈本卷界说三〉

论曰：丁己与甲丙两形既等每减一甲戊形即所存

　甲己辛丙两形亦等矣此两形之甲辛己戊辛乙两 　角既等〈两皆直角故〉即两角旁之各两边线为互相视之 　线也〈本篇十四〉而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线 　其为比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙线为理分中 　末也

又论曰：甲乙甲辛辛乙凡三线而第一第三矩内之

　辛丙直角形与第二甲辛上直角方形等即三线为 　连比例〈本篇十七〉而甲乙与甲辛若甲辛与辛乙矣

又法曰：甲乙线求分于丙而甲乙偕丙乙矩内

直角形与甲丙上直角方形等〈二卷十一〉即甲乙之 分于丙为理分中末线盖甲乙甲丙丙乙三线 　为连比例故〈本篇廿七〉

第三十一题

三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形 　若相似而体势等则一形与两形并等

解曰：甲乙丙三边直角形乙甲丙为直

角于乙丙上任作直线形为乙丙丁戊 次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙 壬辛两形与乙丁形相似而体势等〈本篇〉 　〈十八〉题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等

论曰：试从甲作甲癸为乙丙之垂线依本篇第八题

　之系即乙丙与丙甲两边之比例若丙甲与丙癸两 　边则一乙丙边与三丙癸边之比例若一乙丙上之 　乙丁形与二甲丙上之丙辛形也〈本篇十九或二十之系〉反之 　则丙癸与乙丙两边之比例若丙辛与乙丁两形也 　依显乙癸与乙丙两边之比例若乙庚与乙丁两形 　也〈乙丙乙甲乙癸三边为连比例故见本篇八之系〉夫一丙癸与二乙丙之 　比例既若三丙辛与四乙丁而五乙癸与二乙丙之 　比例亦若六乙庚与四乙丁则一丙癸五乙癸并与 　二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也既 　一丙癸五乙癸并与二乙丙等则三丙辛六乙庚并 　与四乙丁亦等〈五卷廿四〉

又论曰：甲乙丙与癸甲丙两角形既相

似而甲乙丙角形其乙丙与丙甲之比 例若癸甲丙角形之丙甲与丙癸〈本篇八〉 即乙丙与丙甲两边相似则癸甲丙与 　甲乙丙两角形之比例为丙甲与乙丙再加之比例 　〈本篇十九〉而丙辛与乙丁两形之比例亦为丙甲与乙丙 　再加之比例〈本篇十九二十〉则癸甲丙与甲乙丙两角形之 　比例若丙辛与乙丁两形也〈五卷十一〉依显癸乙甲与甲 　乙丙两角形之比例若乙庚与乙丁两形也是一甲 　癸丙与二甲乙丙之比例若三丙辛与四乙丁也而 　五癸乙甲与二甲乙丙之比例若六乙庚与四乙丁 　也即一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙之比例若 　三丙辛六乙庚并与四乙丁也〈五卷廿四〉既一甲癸丙五 　癸乙甲并与二甲乙丙等则三丙辛六乙庚并与四 　乙丁亦等

又论曰：一甲丙上直角方形与二乙丙上直角方形

　之比例若三丙辛形与四乙丁形〈此两率之比例皆甲丙与乙丙再加〉 　〈之比例见本篇十九二十〉又五甲乙上直角方形与二乙丙上直 　角方形之比例若六乙庚形与四乙丁形即一甲丙 　上五甲乙上两直角方形并与二乙丙上直角方形 之比例若三丙辛六乙庚两形并与四 乙丁形〈五卷廿四〉既甲丙甲乙上两直角方 形并与乙丙上直角方形等〈一卷四十〉则丙 　辛乙庚两形并与乙丁形等

増题：角形之一边上一形与馀两边上两形相似

而体势等者其一形与两形并等则馀两边内角 必直角

解曰：甲乙丙角形于乙丙上任作一直线形与甲

乙甲丙上两形相似而体势等其一形与两形并 等题言乙甲丙必直角

论曰：试作甲丁为甲丙之垂线与甲乙等次作丁

丙线其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形与乙 丙上形相似其丁丙上形与丁甲甲丙上相似而 体势等之两形并等矣〈本题〉又甲丁与甲乙等其上 两形亦等即丁丙上形与甲乙甲丙上两形并亦 等而乙丙上形元与甲乙甲丙上两形并等则丁 丙乙丙上两形亦等而丁丙与乙丙两线亦等〈本篇廿二补论〉夫甲丙丁角形之甲丁与甲乙丙角形之甲 乙等甲丙同边其底乙丙丁丙又等即丁甲丙与 乙甲丙两角必等丁甲丙既直角则乙甲丙亦直 　　角

第三十二题

两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两 形成一外角若各相似之各两边各平行则 其馀各一边相聨为一直线

解曰：甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙甲丙边

　与丁丙丁戊边相似者谓甲乙与甲丙之比例若丁 　丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角 　而甲乙与丁丙甲丙与丁戌各相似之两边各平行 　题言乙丙丙戊为一直线

论曰：甲乙与丁丙既平行即甲角与内相对之甲丙

　丁等〈一卷廿九〉依显丁角亦与内相对之甲丙丁等则甲 　丁两角等而甲乙丙与丁丙戊两角形之甲丁两角 　旁各两边比例又等即两形为等角形而乙角与丁 　丙戊角必等〈本篇六〉次于乙角加甲角于丁丙戊角加 　等甲之甲丙丁角即乙甲两角并与等甲丙丁丁丙 　戊两角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲 　乙丙形之内三角并与甲丙乙甲丙戊两角并等夫 　甲乙丙形之内三角等两直角〈一卷卅二〉则甲丙乙甲丙 　戊并亦等两直角而为一直线〈一卷十四〉

第三十三题〈三支〉

等圜之乘圜分角或在心或在界其各相当两乘圜角 　之比例皆若所乘两圜分之比例而两分圜形之比 　例亦若所乘两圜分之比例

解曰：甲乙丙戊己庚两圜等其心为丁为

辛两圜各任割一圜分为乙丙为己庚其 乘圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界 者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚 两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角 次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙 　丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分 　内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内 　己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分

先论曰：试作乙丙己庚两线次作丙壬合圜线与乙

　丙等作庚癸癸子两合圜线各与己庚等〈四卷一〉其丙 　壬既与乙丙等即乙丙与丙壬两圜分亦等〈三卷十八〉而 　乙丁丙与丙丁壬两角亦等〈三卷廿七〉依显己庚庚癸癸 　子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等则乙丙 　壬圜分倍乙丙圜分之数如在心乙丁壬角或乙丁 　壬内地倍乙丁丙角之数而己庚癸子圜分倍己庚 　圜分之数如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛 　庚角之数何者乙丁壬己辛子两角或两地内之分 　数与乙丙壬己庚癸子两圜分内之分数各等故也 　然则乙丁壬角与地若等于己辛子角与地即乙丙 壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦 大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬 三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍 之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等 大小皆同类也则一乙丙与二己庚之比 例若三乙丁丙与四己辛庚也〈五卷界说六〉

次论曰：乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦

　倍大于己戊庚〈三卷二十〉即乙丁丙与己辛庚两角之比 　例若乙甲丙与己戊庚两角矣〈五卷廿五〉则乙甲丙与己 　戊庚在界乘圜之两角亦若乙丙与己庚两圜分也 　〈五卷十一〉若作甲壬戊癸直线亦可用先论推显〈用地当角说见〉 　〈三卷廿増题〉

后论曰：试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜

　分内作丙寅壬角此两角所乘之乙甲壬丙与丙乙 　甲壬两圜分既等〈三卷廿七〉即两角亦等而乙丑丙与丙 　寅壬两圜小分亦相似亦相等〈乙丙与丙壬两合圜线等故见三卷廿四〉 　次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙 　丁壬两分圜形等〈一卷四〉则乙丁壬分圜形倍乙丁丙 　分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显 　己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数亦如己庚癸 　子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于 己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等 于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小 　矣〈五卷界说六〉是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜 分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形 偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛 子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小 　皆同类也则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例若 　三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也〈五卷界说六〉 　一系在圜心两角之比例皆若两分圜形 　二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乘圜 　分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界 　与圜心角所乘之圜分

丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线 竟不及有比例之面故因其义类増益数题用补 阙如左云窦复増一题窃弁于首仍以题旨从先 生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先 生旧増也

今増题：圜与圜为其径与径再加之比例

解曰：甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲

　　　　　　　　　　乙丙与丁戊己为甲丙与丁 　　　　　　　　　　己再加之比例 　　　　　　　　　　论曰如云不然当言甲乙丙 　　　　　　　　　　圜与小于丁戊己之庚辛壬 　　　　　　　　　　圜或大于丁戊己之癸子丑 　　　　　　　　　　圜为甲丙与丁己再加之比 　　例也〈五卷界说二十増〉若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜 于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未 己申酉戌多边切形其多边为偶数又等而全不 　　至内圜也〈四卷十六补题〉次于甲乙丙圜内作甲午乙寅 丙卯辰己多边切形与丁戊己圜内切形相似〈四卷〉 　　〈十六补题可推〉其两圜内两径上有丁亥戊未己与甲午 乙寅丙相似之两多边形则为两相似边再加之 　　比例也〈本篇二十〉而甲丙与丁己两线为两形之相似 边据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形 甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再 加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将 庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于 全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与 丁亥戊未己两形甲乙丙与癸子丑两圜同为甲 丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与 　　　　　　　　　　甲乙丙两圜之比例为丁己 　　　　　　　　　　与甲丙两径再加之比例也 　　　　　　　　　　设他圜干兊离令癸子丑与 　　　　　　　　　　甲乙丙之比例若丁戊己与 　　　　　　　　　　干兊离〈五卷界说増〉则丁戊己与 　　　　　　　　　　干兊离两圜亦宜为丁己与 甲丙两径再加之比例也癸子丑既大于丁戊己 即甲乙丙亦大于干兊离而丁戊己与小于甲乙 丙之干兊离两圜能为丁己与甲丙两径再加之 　　比例乎〈前己驳有两圜其第一与他圜之小于第二者不得为元圜两径再加之比例〉夫 甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己 者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为 其元两径再加之比例 一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分 任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故 二系三边直角形对直角边为径所作圜与 馀两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等 圜分与相似两圜分并等〈本篇卅一可推〉 三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比 例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求 各圜之相与为比例者〈本篇十九二十之系可推〉 一増题直线形求减所命分其所减所存各作形 与所设形相似而体势等

法曰：如甲直线形求减三分之一其所

减所存各作形与所设乙形相似而体 势等先作丙丁形与甲等与乙相似而 体势等〈本篇廿五〉次任于其一边如丙戊上 作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚 戊次从庚作己庚为丙戊之垂线〈本篇九〉次作己丙 己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各 与丙丁相似而体势等〈本篇十八〉即所求

论曰：丙己戊角形既负半圜为直角〈三卷卅一〉即丙丁

直线形与己辛己壬相似之两形并等〈本篇卅〉而于 等甲之丙丁形减己壬存己辛两形各与丙丁相 似而体势等则与乙相似而体势等今欲显己壬 为丙丁三分之一者试观丙庚己丙己戊两角形 既相似〈本篇八〉即丙庚与庚己之比例若丙己与己 戊也〈本篇四〉夫丙庚庚己庚戊三线为连比例即丙 　　庚与庚戊为丙庚与庚己再加之比例〈本篇八之系〉而 己辛与己壬两形亦为丙己与己戊两相似边再 　　加之比例〈本篇十九二十〉即丙庚与庚戊两线之比例若 　　己辛与己戊两形也〈两比例为两同理比例之再加故〉合之则丙 戊与庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁 与己壬矣丙戊三倍于庚戊则丙丁亦三倍于己 壬而己壬为等甲之丙丁三分之一 若直线形求减之不论所减所存何形其法更易 　如甲形求减三分之一先作乙丙平 　行线形与甲等〈一卷四一〉次分乙丁为三 平分而取其一戊丁末从戊作己戊线与丙丁平 行即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一〈本篇一〉 今附若于大圜求减所设小圜则以圜径当形边 馀法同前如上图

又今附依此法可方一初月形〈方初月形者谓作直〉 〈角方形与初月形等〉如甲乙丙丁圜其界上有附圜 四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方 形与初月形等先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直 角方形〈三卷六〉次用方形法四平分之即 其一为所求方形与初月形等何者甲 乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜并等 　　〈本増题之今附〉甲乙乙丙两线自相等即其上两半圜亦 自相等而庚乙壬丙分圜形为大半圜之半即与 乙己丙戊小半圜等此两率者各减一同用之乙 己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月 形与庚乙丙角形等而庚己丙辛直角 方形与庚乙丙角形亦等则与乙壬丙 戊初月形亦等依显甲乙丙丁直角方形与大圜 界上四初月形并等

二増题：两直线形求别作一直线形为连比例

法曰：甲与乙丙丁两直线形求别作一直线形为

连比例先作一戊己庚直线形与甲等与乙丙丁 相似而体势等〈本篇廿五〉次以两形相似之 各一边如戊己乙丙为前中率线而求 其连比例之末率线为辛壬〈本篇十一〉末于 　　辛壬上作辛壬癸形与两形相似而体势等〈本篇十八〉 即所求

论曰：戊己乙丙辛壬三线既为连比例即其上三

形相似而体势等者亦为连比例〈本篇廿二〉 今附有两圜求别作一圜为连比例则以圜径当 形边依上法作之

三増题：三直线形求别作一直线形为断比例

法曰：一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直线形求别

作一直线形为断比例先作壬癸子丑形与甲等 　　与乙丁相似而体势等〈本篇廿五〉次以三形之任各一 边如壬癸乙丙己庚为三率求其断比例之末率 　线为寅卯〈本篇十二〉末于寅卯上作寅卯 　辰形与己庚辛相似而体势等〈本篇十八〉 　即所求

论曰：四线既为断比例即其线上形

　相似而体势等者亦为断比例〈本篇廿二〉 今附有三圜求别作一圜为断比例亦以圜径当 形边依上法作之

四増题：两直线形求别作一形为连比例之中率

法曰：甲与乙丙丁两直线形求别作一形为连比

例之中率先作戊己庚直线形与甲等与乙丙丁 　相似而体势等〈本篇廿五〉次求戊己乙丙 　两直线连比例之中率为辛壬〈本篇十三〉 　末于辛壬上作辛壬癸形与戊己乙 丙上形相似而体势等〈本篇十八〉即所求

论曰：戊己辛壬乙丙三线既为连比例

即各线上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形 亦为连比例〈本篇廿二〉

又法曰：甲乙两直线形求别作一形为

连比例之中率先作丁丙己戊平行线形任直斜 角与甲等〈一卷四五〉次作庚戊壬辛平行线 形与乙等与丁己形相似而体势等〈本篇〉 〈廿五〉次置两平行线形以戊角相聨而丁 戊戊壬为一直线即庚戊戊己亦一直 　　线〈一卷十五増〉末从两形引长各边成丙子辛癸平行 线形即两馀方形俱为丁己庚壬两形之中率

论曰：丁己庚壬两形既相似而体势等即丁戊与

己戊之比例若戊壬与戊庚也更之即丁戊与戊 壬若己戊与戊庚也夫丁戊与戊壬两线之比例 亦若丁己与戊癸两形己戊与戊庚两线之比例 又若戊癸与庚壬两形则戊癸为丁己庚壬之中 率矣

又论曰：丁己庚壬两形既相似而体势等即同依

　　丙辛对角线〈本篇廿六〉而子戊戊癸两馀方形自相等 则丁己与戊癸两形之比例若子戊与庚壬两形 何者此两比例皆若丁戊与戊壬也则子戊戊癸 皆丁己庚壬之中率也

今附若两圜求作一圜为连比例之中率亦以圜 径当形边依上前法作之

五増：一直线形求分作两直线形俱与所设形相

似而体势等其比例若所设两几何之比例

法曰：甲直线形求分作两直线形俱与所设丁形

相似而体势等其比例若所设两几何如乙线与 　丙线之比例先作戊己庚辛直线形 　与甲等与丁相似而体势等〈本篇廿五〉次 　任用其一边如戊辛两分之于壬令 　戊壬与壬辛之比例若乙与丙也〈分法〉 　　〈先以乙丙两线联为一直线次截戊壬与壬辛若乙与丙见本篇十〉次于戊辛上作 戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作 戊癸癸辛线相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸 　　癸卯寅辛两形与戊庚形俱相似而体势等〈本篇十八〉 即此两形并与甲等又各与丁相似而体势等其 比例又若乙与丙

论曰：戊癸辛既负半圜为直角〈三卷卅一〉即戊子癸寅

　　两形并与等戊庚之甲等〈本篇卅一〉又戊壬与壬癸之 　　比例若戊癸与癸辛〈俱在直角两旁故见本篇四〉戊壬壬癸壬 辛三线为连比例即戊壬与壬辛为戊壬与壬癸 　　再加之比例〈本篇八之系〉而戊子与癸寅两形亦为戊 　　癸与癸辛两相似边再加之比例〈本篇二十〉则戊壬与 　　壬辛之比例亦若戊子与癸寅也〈两比例为两同理比例之再加〉 〈故〉夫戊壬与壬辛元若乙与丙也则戊子与癸寅 亦若乙与丙也

今附若一圜求分作两圜其比例若所设两几何 亦以圜径当形边依上法作之

六増题：一直线形求分作两直线形俱与所设形

相似而体势等其两分形两相似边之比例若所 设两几何之比例

法曰：甲直线形求分作两直线形

　　　　　　　　俱与所设丁形相似而体势等其 　　　　　　　　两分形两相似边之比例若所设 　　　　　　　　两几何如乙线与丙线之比例先 　　　　　　　　以乙与丙两线求其连比例之末 　　率为戊〈本篇十一〉次作己庚辛直线形与甲等与丁相 似而体势等次任用其一边如己辛两分之于壬 令己壬与壬辛之比例若乙与戊也〈本篇十〉次于己 辛线上作己癸辛半圜次从壬作壬癸为己辛之 垂线次作己癸癸辛两线相聨未于己癸癸辛上 作己子癸癸丑辛两形俱与丁相似而体势等即 此两形并与等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相 似边之比例若乙与丙

论曰：己癸辛既负半圜为直角〈三卷卅〉即己子癸癸

　　丑辛两形并与等己庚辛之甲等〈本篇卅一〉又己壬与 　　壬癸之比例若己癸与癸辛〈俱在直角两旁故见本篇四〉己壬 壬癸壬辛三线为连比例即己壬与壬辛为己壬 　　与壬癸再加之比例〈本篇八之系〉夫己壬与壬癸之比 　　　　　　　　例既若己子癸癸丑辛两形相似 　　　　　　　　边之己癸与癸辛而乙与戊元若 　　　　　　　　己壬与壬辛乙与戊元为乙与丙 　　　　　　　　再加之比例则己癸癸辛之比例 　　　　　　　　若乙与丙

今附若一圜求分作两圜其两圜径之比例若所 所设两几何仿此

七増题：两直线形求并作一直线形与所设形相

似而体势等

法曰：甲乙两直线形求并作一形与

　所设丙形相似而体势等先作戊丁 　己形与甲等作己庚辛形与乙等又 　各与丙相似而体势等〈本篇廿五〉次置两 　形令相似之戊己己辛两边聨为直 角次作戊辛线相聨末依戊辛线作戊辛壬与丙 相似而体势等即与上两形并等〈本篇卅一〉如所求 　　又法曰作一平行方形与甲乙两形并等〈一卷四五〉次 作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似而体 势等即所求

今附若两圜求并作一圜亦以圜径当形边依上 法作之

八増题：圜内两合线交而相分其所分之线彼此

互相视

解曰：甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两合

线交而相分于戊题言所分之甲戊戊 丙乙戊戊丁为互相视之线者谓甲戊 与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙 　戊若戊丁与戊丙也

论曰：甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内直角形等

　〈三卷卅五〉即等角旁之两边为互相视之边〈本篇十四〉

九増题：圜外任取一点从点出两直线皆割圜至

规内其两全线与两规外线彼此互相视若从点 作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外 线之各中率

解曰：甲乙丙丁圜外任取戊点从戊作

戊丁戊丙两割圜至规内之线遇圜界于 甲于乙题言戊丙戊乙戊丁戊甲互相 视者谓戊丙与戊丁若戊甲与戊乙也 又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也

论曰：试从戊作戊己线切圜于己即戊丙偕戊乙

　　矩内直角形与戊己上直角方形等〈三卷卅六〉又戊丁 偕戊甲矩内直角形与戊己上直角方 形亦等即戊丙偕戊乙与戊丁偕戊甲 两矩内直角形自相等而等角旁之两 边为互相视之边〈本篇十四〉又戊丙偕戊乙 戊丁偕戊甲两矩内直角形各与戊己上直角方 　　形等〈三卷卅六〉即戊丙戊己戊乙三线为连比例戊丁 戊己戊甲三线亦为连比例而戊己为各全线与 其规外线之各中率〈本篇十七〉

十増题：两直线相遇作角从两线之各一界互下

垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至 垂线则各相对之两线皆彼此互相视

解曰：甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲

作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为 钝角即如前图两垂线当至甲乙丙 乙之各引出线上为甲丁为丙戊其 甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙 丙为锐角即如后图甲丁丙戊两垂线 当在甲乙丙乙之内交而相分于己也 题言两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相视 者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又甲乙与丁 乙若乙丙与乙戊也

论曰：甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙两

角与丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙两 　　　　　　角各等〈两为直角两于前图为交角于后图为同角故〉即两形 为等角形而甲乙与丁乙若乙丙与乙 戊也〈本篇四〉更之则甲乙与乙丙若丁乙 与乙戊也

又论曰：依前图可推后图之甲丁丙戊交而相分

于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相视盖甲 己戊丙己丁既为等角形即甲己与己戊若丙己 与己丁也〈本篇四〉更之则甲己与丙己若己戊与己 丁也

十一増题：平行线形内两直线与两边平行相交

而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆 等解曰甲乙丙丁平行线形内作戊己庚 辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬题 言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相 与为比例皆等

论曰：戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己

两形〈本篇一〉又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己 　　亦若乙壬与壬丙也〈五卷十二〉依显乙壬与戊庚亦若 壬丙与庚己也

十二増题：凡四边形之对角两线交而相分其所

分四三角形任相与为比例皆等

解曰：甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交

相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙甲戊 乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等

论曰：甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁

与丁戊丙两角形又若甲戊乙与乙戊丙两角形 〈本篇一〉即甲戊丁与丁戊丙两角形亦若甲戊乙与 乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与 丁戊丙也

十三増题：三角形任于一边任取一点从点求作

一线分本形为两形其两形之比例若所设两几 何之比例

先法曰：甲乙丙角形任于一边如乙丙

上任取一点为丁求从丁作一线分本 形为两形其两形之比例若所设两几 何如戊线与己线之比例先以乙丙线 两分之于庚令乙庚与庚丙之比例若戊与己〈本篇〉 〈十〉其庚与丁若同点即作丁甲线则乙丁与丁丙 两线之比例若乙丁甲与丁丙甲两角形也〈本篇一〉 是丁甲线所分两形之比例若戊与己

次法曰：若庚在丁丙之内亦作丁甲线次

从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线 相聨即丁辛线分本形为两形其比例若 戊与己者谓乙丁辛甲无法四边形与丁 丙辛角之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也

论曰：试作庚甲线即辛庚甲庚辛丁两角形等〈一卷〉

〈卅七〉次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁两角 形亦等则甲乙丙全形与丙庚甲角形之比例若 甲乙丙与丙辛丁也〈五卷七〉分之则乙庚甲角形与 丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲无法四边形与 　　丙辛丁角形也〈五卷十七〉乙庚甲与丙庚甲两角形之 比例既若乙庚与庚丙〈本篇一〉则乙丁辛甲无法四 边形与丙辛丁角形之比例亦若乙庚与庚丙也 则亦若戊与己也

后法曰：若庚在乙丁之内亦作丁甲线次

从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线 相聨即丁辛线分本形为两形其比例若 戊与己者谓乙丁辛角形与丁丙甲辛无 法四边之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也

论曰：试作庚甲线如前推显辛庚甲庚辛丁两角

　　形等〈一卷卅七〉次每加一乙庚辛角形即乙庚甲与乙 辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与乙庚甲角形 之比例若甲乙丙与乙辛丁也〈五卷七〉分之 则丙庚甲角形与乙庚甲角形之比例若 丁丙甲辛无法四边形与乙辛丁角形也 〈五卷十七〉反之则乙庚甲角形与丙庚甲角形 之比例若乙辛丁角形与丁丙甲辛无法四边形 也乙庚甲与丙庚甲之比例既若乙庚与庚丙〈本篇〉 则乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四边形之比 例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也 系凡角形任于一边任取一点从点求减命分之 一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每 少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之 比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形 与所减分之比例其倍数若命分之数也

十四増题：一直线形求别作一直线形相似而体

势等其小大之比例如所设两几何之比例

法曰：甲直线形求别作直线形相似而体势等其

　甲形与所作形小大之比例若所设 　两几何如乙与丙两线之比例先以 　乙丙及任用甲之一边如丁戊三线 　求其断比例之末率为己〈本篇十二〉次求 　丁戊及己之中率线为庚辛〈本篇十三〉末 　从庚辛上作壬直线形与甲相似而 　体势等即甲与壬之比例若乙与丙

论曰：丁戊庚辛己三线为连比例即

　一丁戊与三己之比例若相似而体 　势等之甲与壬〈本篇十九二十之系〉 　若先设大甲求作小壬若乙与丙其 　法同如上图 用此法可依此直线形加作两倍大三倍四五倍 大以至无穷之他形亦可依此直线形减作二分 之一三分四五分之一以至无穷之他形其此形 与他形皆相似而体势等 有用法作直角方形平行线形及各形 之相加相减者如甲乙丙丁直角方形 求别作五倍大之他形先以甲乙线引 长之以甲乙为度截取五分至戊令乙 至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平 分于己次以己为心甲戊为界作甲庚 戊半圜其乙丙线直行遇圜界于庚即乙庚为所 求方形之一边也末作乙庚辛己直角方形即五 倍大于甲丙向者乙庚既为戊乙乙甲 之中率线〈本篇十三之系〉即一戊乙与三乙甲 之比例若二庚乙上直角方形与三甲 乙上直角方形之比例也〈本篇二十之系〉戊乙 既五倍于乙甲则乙辛亦五倍于甲丙 若戊乙为乙甲之六倍则乙辛亦甲丙 之六倍若戊乙为乙甲三分之一则乙辛亦甲丙 三分之一相加相减仿此以至无穷如甲乙丙丁 平行直角形求别作二倍大之他形相似而体势 等先以甲乙线引长之以甲乙为度截取二分至 　戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以 　甲戊两平分于己次以己为心甲戊 　为界作甲庚戊半圜其丙乙线直行 　遇圜界于庚即乙庚为所求直角形 之一边也次于甲戊线上截取甲辛与乙庚等从 辛作辛壬线与乙丙平行次作甲丙对角线引长 之与辛壬线遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸 平行直角形即二倍大于甲丙又相似而体势等 　　何者戊乙乙庚乙甲三线既为连比例〈本篇十三之系〉如 前论一戊乙与三乙甲之比例若二等乙庚之甲 辛上平行直角形甲壬与三甲乙上平行直角形 　　甲丙也〈本篇二十之系〉戊乙既二倍于甲乙则甲壬亦二 倍于甲丙 用此法凡甲乙上不论何等形与乙庚上形相似 而体势等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形 相加相减俱仿此以至无穷

今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于 甲乙径上圜相加相减仿此以至无穷

以上用法与本増题同但此用法随作随得中率 线不费寻求致为简易耳

十五増题：诸三角形求作内切直角方形

法曰：如甲乙丙锐角形求作内切直角方形先从

　　　　　　　　　甲角作甲丁为乙丙之垂线次 　　　　　　　　　以甲丁线两分于戊令甲戊与 　　　　　　　　　戊丁之比例若甲丁与乙丙〈本篇〉 　　　　　　　　　〈十一増题〉末从戊作己庚线与乙丙 　　　　　　　　　平行从己从庚作己辛庚壬两 　　　　　　　　　线皆与戊丁平行即得己壬形 如所求若直角钝角形则从直角钝角作垂线馀 法同〈如第二第三图是〉

论曰：己戊庚线既与乙丙平行即乙丁与丁丙若

　　己戊与戊庚也〈本篇四之増题〉合之即乙丙与丁丙若己 　　　　　　　　　庚与戊庚也又丁丙与甲丁若 　　　　　　　　　戊庚与甲戊〈甲丁丙与甲戊庚为等角形故见本〉 　　　　　　　　　〈篇四之系〉平之即乙丙与甲丁若己 　　　　　　　　　庚与甲戊也又甲丁与乙丙若 　　　　　　　　　甲戊与戊丁平之即乙丙与乙 　　　　　　　　　丙若己庚与戊丁也乙丙与乙 丙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬 　　又等〈一卷卅四〉戊丁与己辛庚壬亦等则己庚庚壬壬 辛辛己四边俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦 直角〈一卷廿九〉其馀亦皆直角而己壬为直角方形

又法曰：若直角三边形求依乙角作

　内切直角方形则以垂线甲乙两分 　于丁令甲丁与丁乙之比例若甲乙 与乙丙〈本篇十〉次从丁作丁戊直线与乙丙平行从 戊作戊己直线与甲乙平行即得丁己形如所求 　　论曰乙丙与甲乙既若丁戊与甲丁〈甲乙丙甲丁戊为等角形〉 　　〈故见本篇四之系〉而甲乙与乙丙又若甲丁与丁乙平之 即乙丙与乙丙若丁戊与丁乙也乙丙与乙丙同 线必等即丁戊与丁乙必等而丁己为直角方形 今附如上三边直角形依乙角作内切直角方形 其方形边必为甲丁己丙两分馀边之中率何者 甲丁与丁戊若戊己与己丙故〈本篇四之系〉 　

幾何原本卷六