幾何原本/卷五

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西洋利瑪竇譯

卷五之首

界説十九則

前四卷所論皆獨幾何也此下二卷所論皆自两以 上多幾何同例相比者也而本卷則總説完幾何 之同例相比者也諸卷中獨此卷以虚例相比絶 不及線面體諸類也第六卷則論線論角論圜界 諸類及諸形之同例相比者也今先解向後所用 名目為界説十九

第一界

分者幾何之幾何也小能度大以小為大之分 以小幾何度大幾何謂之分曰幾何之幾 何者謂非此小幾何不能為此大幾何之 分也如一㸃無分亦非幾何即不能為線 之分也一線無廣狹之分非廣狹之幾何 　即不能為面之分也一面無厚薄之分非厚薄之幾 　何即不能為體之分也曰能度大者謂小幾何度大 　幾何能盡大之分者也如甲為乙為丙之分則甲為 　乙三分之一為丙六分之一無贏不足也若戊為丁 　之一即贏為二即不足己為丁之三即贏為四即不 　足是小不盡大則丁不能為戊己之分也以數明之 　若四于八于十二于十六于二十諸數皆能盡分無 　贏不足也若四于六于七于九于十于十八于三十 　八諸數或贏或不足皆不能盡分者也本書所論皆 　指能盡分者故稱為分若不盡分者當稱幾分幾何 　之幾如四于六為三分六之二不得正名為分不稱 　小度大也不為大幾何内之小幾何也

第二界

若小幾何能度大者則大為小之幾倍 　如第一界圖甲與乙能度丙則丙為甲與乙之幾倍 　若丁戊不能盡己之分則己不為丁戊之幾倍

第三界

比例者两幾何以幾何相比之理 　两幾何者或两數或两線或两面或两體各以同類 　大小相比謂之比例若線與面或數與線相比此異 　類不為比例又若白線與黒線熱線與冷線相比雖 　同類不以幾何相比亦不為比例也

　比例之説在幾何為正用亦有借用者如時如音如 　聲如所如動如稱之屬皆以比例論之

　凡两幾何相比以此幾何比他幾何則此幾何為前 　率所比之他幾何為後率如以六尺之線比三尺之 　線則六尺為前率三尺為後率也反用之以三尺之 　線比六尺之線則三尺為前率六尺為後率也

　比例為用甚廣故詳論之如左

　凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合 　如二十尺之線比十尺之線是也其非數可明者為 　小合如直角方形之两邊與其對角線可以相比而 　非數可明者是也

　如上二種又有二名其大合線為有两度之線如二 　十尺比八尺两線為大合則二尺四尺皆可两度之 　者是也如此之類凡數之比例皆大合也何者有數 　之屬或無他數可两度者無有一數不可两度者若 　七比九無他數可两度之以一則可两度之也其小 　合線為無两度之線如直角方形之两邊與其對角 　線為小合即分至萬分以及無數終無小線可以盡 　分能度两率者是也〈此論詳見十卷末題〉 　小合之比例至十卷詳之本篇所論皆大合也

　凡大合有两種有等者如二十比二十十尺之線比 　十尺之線是也有不等者如二十比十八比四十六 　尺之線比二尺之線是也

　如上等者為相同之比例其不等者又有两種有以 　大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十 　是也大合比例之以大不等者又有五種一為幾倍 　大二為等帶一分三為等帶幾分四為幾倍大帶一 　分五為幾倍大帶幾分

　一為幾倍大者謂大幾何内有小幾何或二或三或 　十或八也如二十與四是二十内為四者五如三十 　尺之線與五尺之線是三十尺内為五尺者六則二 　十與四名為五倍大之比例也三十尺與五尺名為 　六倍大之比例也倣此為名可至無窮也

　二為等帶一分者謂大幾何内既有小之一别帶一 　分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至 　無窮者是也如三與二是三内既有二别帶一一為二 　之半如十二尺與九尺之線是十二内既有九别帶 　三三為九三分之一則三與二名為等帶半也十二 　尺與九尺名為等帶三分之一也

　三為等帶幾分者謂大幾何内既有小之一别帶幾 　分而此幾分不能合為一盡分者是也如八與五是 　八内既有五别帶三一每一各為五之分而三一不 　能合而為五之分也他如十與八其十内既有八别 　帶二一雖每一各為八之分與前例相似而二一却 　能為八四分之一是為帶一分屬在第二不屬三也 　則八與五名為等帶三分也又如二十二與十六即 　名為等帶六分也四為幾倍大帶一分者謂大幾何 　内既有小幾何之二之三之四等别帶一分此一分 　或元一之半或三分四分之一以至無窮者是也如 　九與四是九内既有二四别帶一一為四之分之一 　則九與四名為二倍大帶四分之一也

　五為幾倍大帶幾分者謂大幾何内既有小幾何之 　二之三之四等别帶幾分而此幾分不能合為一盡 　分者是也如十一與三是十一内既有三三别帶二 　一每一各為三之分而二一不能合而為三之分也 　則十一與三名為三倍大帶二分也

　大合比例之以小不等者亦有五種俱與上以大不 　等五種相反為名一為反幾倍大二為反等帶一分 　三為反等帶幾分四為反幾倍大帶一分五為反幾 　倍大帶幾分

　凡比例諸種如前所設諸數俱有書法書法中有全 　數有分數全數者如一二三十百等是也分數者如 　分一以二以三以四等是也書全數依本數書之不 　必立法書分數必有两數一為命分數一為得分數 　如分一以三而取其二則為三分之二即三為命分 　數二為得分數也分一為十九而取其七則為十九 　分之七即十九為命分數七為得分數也

　書以大小不等各五種之比例其一幾倍大以全數 　書之如二十與四為五倍大之比例即書五是也若 　四倍即書四六倍即書六也其反幾倍大即用分數 　書之而以大比例之數為命分之數以一為得分之 　數如大為五倍大之比例則此書五之一是也若四 　倍即書四之一六倍即書六之一也

　其二等帶一分之比例有两數一全數一分數其全 　數恒為一其分數則以分率之數為命分數恒以一 　為得分數如三與二名為等帶半即書一别書二之 　一也其反等帶一分則全用分數而以大比例之命 　分數為此之得分數以大比例之命分數加一為此 　之命分數如大為等帶二之一即此書三之二也又 　如等帶八分之一反書之即書九之八也又如等帶 　一千分之一反書之即書一千○○一之一千也

　其三等帶幾分之比例亦有两數一全數一分數其 　全數亦恒為一其分數亦以分率之數為命分數以 　所分之數為得分數如十與七名為等帶三分即書 　一别書七之三也其反等帶幾分亦全用分數而以 　大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分 　數加大之得分數為此之命分數如大為等帶七之 　三命數七得數三七加三為十即書十之七也又如 　等帶二十之三反書之二十加三即書二十三之二 　十也

　其四幾倍大帶一分之比例則以幾倍大之數為全 　數以分率之數為命分數恒以一為得分數如二十 　二與七二十二内既有三七别帶一一為七分之一 　名為三倍大帶七分之一即以三為全數七為命分 　數一為得分數書三别書七之一也其反幾倍大帶 　一分則以大比例之命分數為此之得分數以大之 　命分數乘大之倍數加一為此之命分數如大為三 　帶七之一即以七乘三得二十一又加一為命分數 　書二十二之七也又加五帶九之一反書之九乘五 　得四十五加一為四十六即書四十六之九也

　其五幾倍大帶幾分之比例亦以幾倍大之數為全 　數以分率之數為命分數以所分之數為得分數如 　二十九與八二十九内既有三八别帶五一名為三 　倍大帶五分即以三為全數八為命分數五為得分 　數書三别書八之五也其反幾倍大帶幾分則以大 　比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數 　乘大之倍數加大之得分數為此之命分數如大為 　三帶八之五即以八乘三得二十四加五為二十九 　書二十九之八也又如四帶五之二即書二十二之 　五也

　以上大小十種足盡比例之凡不得加一減一

第四界

两比例之理相似為同理之比例 　两幾何相比謂之比例两比例相比謂之同理之比 例如甲與乙两幾何之比例偕丙與丁 两幾何之比例其理相似為同理之比 例又若戊與己两幾何之比例偕己與 庚两幾何之比例其理相似亦同理之 　比例 　凡同理之比例有三種有數之比例有量法之比例 　有樂律之比例本篇所論皆量法之比例也量法比 　例又有二種一為連比例連比例者相續不斷其中 　率與前後两率遞相為比例而中率既為前率之後 　又為後率之前如後圖戊與己比己又與庚比是也 　二為斷比例斷比例者居中两率一取不再用如前 　圖甲自與乙比丙自與丁比是也

第五界

两幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何 　上文言為比例之幾何必同類然同類中亦有無比 　例者故此界顯有比例之幾何也曰倍其身而能相 　勝者如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身 　即大于八尺之線是為有比例之線也又如直角方 　形之一邊與其對角線雖非大合之比例可以數明 　而直角方形之一邊一倍之即大于對角線〈两邊等三角形〉 　〈其两邊并必大于一邊見一卷二十〉是亦有小合比例之線也又圜之 　徑四倍之即大于圜之界則圜之徑與界亦有小合 　比例之線也〈圜之界當三徑七分徑之一弱别見圜形書〉又曲線與直線 　亦有比例如以大小两曲線相合為初月形别作一 　直角方形與之等〈六卷三十三一増題今附〉即曲直两線相視有 　大有小亦有比例也又方形與圜雖自古至今學士 　無數不能為相等之形然两形相視有大有小亦不 　可謂無比例也又直線角與曲線角亦有比例如上 　圖直角鈍角鋭角皆有與曲線角等者若第一圖甲 乙丙直角在甲乙乙丙两直線内而其間設 有甲乙丁與丙乙戊两圜分角等即于甲乙 丁角加甲乙戊角則丁乙戊曲線角與甲乙 丙直角等矣依顯壬庚癸曲線角與己庚辛 鈍角等也又依顯卯丑辰曲線角與子丑寅 鋭角各減同用之子丑丑辰内圜小分即两 角亦等也此五者皆疑無比例而實有比例 者也他若有窮之線與無窮之線雖則同類 　實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之 　線故也又線與面面與體各自為類亦無比例何者 　畢世倍線不能及面畢世倍面不能及體故也又切 　圜角與直線鋭角亦無比例何者依三卷十六題所 　説畢世倍切邊角不能勝至小之鋭角故也此後諸 　篇中每有倍此幾何令至勝彼幾何者故備著其理 　以需後論也

第六界

四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第 　一第三之幾倍偕第二第四之幾倍其相視或等或 　俱為大俱為小恒如是

　两幾何曷顯其能為比例乎上第五界所説是也两 　比例曷顯其能為同理之比例乎此所説是也其術 　　　　　　　　通大合小合皆以加倍法求之如 　　　　　　　　一甲二乙三丙四丁四幾何于一 　　　　　　　　甲三丙任加幾倍為戊為己戊倍 　甲己倍丙其數自相等次于二乙四丁任加幾倍為 　庚為辛庚倍乙辛倍丁其數自相等而戊與己偕庚 　與辛相視或等或俱大或俱小如是等大小累試之 　恒如是即知一甲與二乙偕三丙與四丁為同理之 　比例也

　如初試之甲幾倍之戊小于乙幾倍之庚而丙幾倍 　之己亦小于丁幾倍之辛又試之倍甲之戊與倍乙 　之庚等而倍丙之己亦與倍丁之辛等三試之倍甲 　　　　　　　　之戊大于倍乙之庚而倍丙之己 　　　　　　　　亦大于倍丁之辛此之謂或相等 　　　　　　　　或雖不等而俱為大俱為小若累 　合一差即元設四幾何不得為同理之比例如下第 　八界所指是也

　下文所論若言四幾何為同理之比例即當推顯第 　一第三之幾倍與第二第四之幾倍或等或俱大俱 　小若許其四幾何為同理之比例亦如之

　以數明之如有四幾何第一為三第二為二第三為 　六第四為四今以第一之三第三之六同加四倍為 　十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍 為十四為二十八其倍第一之十二既 小于倍第二之十四而倍第三之二十 四亦小于倍第四之二十八也又以第 一之三第三之六同加六倍為十八為 三十六次以第二之二第四之四同加 　九倍為十八為三十六其倍第一之十八既等于倍 　第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之 　三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九 　為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為 　八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之 　十八亦大于倍第四之八也若爾或俱大俱小或等 　累試之皆合則三與二偕六與四得為同理之比例 　也

　以上論四幾何者斷比例之法也其連比例法倣此 　但連比例之中率两用之既為第二又為第三視此 　異耳

第七界

同理比例之幾何為相稱之幾何 　甲與乙若丙與丁是四幾何為同理之 　比例即四幾何為相稱之幾何又戊與 　己若己與庚即三幾何亦相稱之幾何

第八界

四幾何若第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾 　倍不大于第四之幾倍則第一與二之比例大于第 　三與四之比例 　此反上第六界而釋不同理之两比例其相視曷顯 　為大曷顯為小也謂第一第三之幾 　倍與第二第四之幾倍依上累試之 　其間有第一之幾倍大于第二之幾 　倍而第三之幾倍乃或等或小于第四之幾倍即第 　一與二之比例大于第三與四之比例也如上圖甲 　一乙二丙三丁四甲與丙各三倍為戊己乙與丁各 　四倍為庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙 　三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲與乙之比例大 　于丙與丁也若第一之幾倍小于第二之幾倍而第 　三之幾倍乃或等或大于第四之幾倍即第一與二 　之比例小于第三與四之比例如是等大小相戾者 　但有其一不必再試

　以數明之中設三二四三四幾何先有第一之倍大 　于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍後復有 第一之倍大于第二之倍而第三之倍 乃或等或小于第四之倍即第一與二 之比例大于第三與四也若以上圖之 數反用之以第一為二第二為一第三 為四第四為三則第一與二之比例小 　于第三與四

第九界

同理之比例至少必三率 同理之比例必两比例相比如甲與乙 若丙與丁是四率斷比例也若連比例 之戊與己若己與庚則中率己既為戊 之後又為庚之前是以三率當四率也

第十界

三幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例 　四幾何為同例之連比例則第一與四為三加之比 　例倣此以至無窮

　甲乙丙丁戊五幾何為同理之連比例其甲與乙若 　乙與丙乙與丙若丙與丁丙與丁若丁與戊即一甲 與三丙視一甲與二乙為再加之比例 又一甲與四丁視一甲與二乙為三加 之比例何者甲丁之中有乙丙两幾何 　為同理之比例如甲與乙故也又一甲與五戊視一 　甲與二乙為四加之比例也若反用之以戊為首則 　一戊與三丙為再加與四乙為三加與五甲為四加 　也

　下第六卷二十題言此直角方形與彼直角方形為 　此形之一邊與彼形之一邊再加之比例何者若作 　三幾何為同理之連比例則此直角方形與彼直角 　方形若第一幾何與第三幾何故也以數明之如此 　直角方形之邊三尺而彼直角方形之邊一尺即此 　形邊與彼形邊若九與一也夫九與一之間有三為 　同理之比例則九三一三幾何之連比例既有三與 　一為比例又以九比三三比一為再加之比例也則 　彼直角方形當為此形九分之一不止為此形三分 　之一也大畧第一與二之比例若線相比第一與三 　若平面相比第一與四若體相比也〈第一與五若筭家三乘方與六〉 　〈若四乘方與七若五乘方倣此以至無窮〉

第十一界

同理之幾何前與前相當後與後相當 　上文己解同理之比例此又解同理之幾何者蓋一 　比例之两幾何有前後而同理之两 　比例四幾何有两前两後故特解言 　比例之論常以前與前相當後與後 　相當也如上甲與乙丙與丁两比例 　同理則甲與丙相當乙與丁相當也戊己己庚两比 　例同理則己既為前又為後两相當也如下文有两 　三角形之邊相比亦常以同理之两邊相當不可混 　也

　上文第六第八界説幾何之幾倍常以一與三同倍 　二與四同倍則以第一第三為两前第二第四為两 　後各同理故

第十二界

有屬理更前與前更後與後 　此下説比例六理皆後論所需也 　四幾何甲與乙之比例若丙與丁今 　更推甲與丙若乙與丁為屬理　下言屬理皆省曰 　更 　此論未證證見本卷十六 　此界之理可施于四率同類之比例若两線两面或 　两面两數等不為同類即不得相更也

第十三界

有反理取後為前取前為後 甲與乙之比例若丙與丁今反推乙與 甲若丁與丙為反理 　證見本篇四之系 　此界之理亦可施于異類之比例

第十四界

有合理合前與後為一而比其後 甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己今合 甲丙為一而比乙丙合丁己為一而比戊 己即推甲丙與乙内若丁己與戊己是合 两前後率為两一率而比两後率也

　證見本卷十八

第十五界

有分理取前之較而比其後 甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今分 推甲乙之較甲丙與丙乙若丁戊之較丁 己與己戊

證見本卷十七 　

第十六界

有轉理以前為前以前之較為後 甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今轉 推甲乙與甲丙若丁戊與丁己

證見本卷十九 　

第十七界

有平理彼此幾何各自三以上相為同理之連比例則 　此之第一與三若彼之第一與三又曰去其中取其 　首尾甲乙丙三幾何丁戊己三幾何 　等數相為同理之連比例者甲與乙 　若丁與戊乙與丙若戊與己也今平 　推首甲與尾丙若首丁與尾己 　平理之分又有二種如後二界

第十八界

有平理之序者此之前與後若彼之前與後而此之後 　與他率若彼之後與他率 　甲與乙若丁與戊而後乙與他率丙 　若後戊與他率己是序也今平推甲 　　　　　　　與丙若丁與己也〈此與十七界同重宣序義以别後界也〉

　證見本卷二十二

第十九界

有平理之錯者此數幾何彼數幾何此之前與後若彼 　之前與後而此之後與他率若彼之他率與其前 　甲乙丙數幾何丁戊己數幾何其甲 　與乙若戊與己又此之後乙與他率 　丙若彼之他率丁與前戊是錯也今 　平推甲與丙若丁與己也〈十八十九界推法于十七界中通論之故两題中不再著也〉 　證見本卷二十三

増一幾何有一幾何相與為比例即此幾何必有 彼幾何相與為比例而两比例等一幾何有一幾 何相與為比例即必有彼幾何與此幾何為比例 而两比例等〈比例同理省曰比例等〉 甲幾何與乙幾何為比例即此幾何丙 亦必有彼幾何如丁相與為比例若甲 與乙也丙幾何與丁幾何為比例即必 有彼幾何如戊與此幾何丙為比例若丙與丁也 此理推廣無礙于理有之不必舉其率也舉率之 理備見後卷

卷五

西洋利瑪竇撰

第一題

此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍于彼之各率則 　此之并率亦幾倍于彼之并率

解曰：如甲乙丙丁此二幾何大于戊己彼二

幾何各若干倍題言甲乙丙丁并大于戊己 并亦若干倍

論曰：如甲乙與丙丁既各三倍大于戊與己

即以甲乙三分之各與戊等為甲庚庚辛辛 乙又以丙丁三分之各與己等為丙壬壬癸 癸丁即甲乙與丙丁所分之數等而甲庚既 與戊等丙壬既與己等既于甲庚加丙壬于 　戊加己其甲庚丙壬并與戊己并必等依顯庚辛壬 　癸并辛乙癸丁并與戊己并各等夫甲乙與丙丁之 　分三合于戊己皆等〈本卷界説二〉則甲乙丙丁并三倍大 　于戊己并

第二題

六幾何其第一倍第二之數等于第三倍第四之數而 　第五倍第二之數等于第六倍第四之數則第一第 　五并倍第二之數等于第三第六并倍第四之數

解曰：一甲乙倍二丙之數如三丁戊倍四己之數又

　五乙庚倍二丙之數如六戊辛倍四己之數題言一 甲乙五乙庚并倍二丙之數若三丁戊六 戊辛并倍四己之數

論曰：甲乙丁戊之倍于丙己其數等則甲

乙幾何内有丙幾何若干與丁戊幾何内 　有己幾何若干其數亦等〈本卷界説二〉依顯乙庚丙有丙 　若干與戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊两等 　數率每加一等數之乙庚戊辛率則甲庚丁辛两幾 　何内之分數等而一五并之甲庚内有二丙若干與 　三六并之丁辛内有四己若干亦等

注曰：若第一第三两幾何之數與第二第四两幾

何之數各等而第五倍第二之數等于第六倍第 四之數或第一倍第二之數等于第三倍第四之 數而第五第二两幾何之數與第六第四两幾何 　　　　　　　　　　之數各等俱同本論如上二 　　　　　　　　　　圖甲庚為第一第五之并率 　　　　　　　　　　其倍二丙之數與丁辛為第 　　三第六之并率其倍四己之數等也〈甲庚内有丙若干與丁辛〉 　　〈内有己若干等故同理〉他若第一第三两幾何之數第五第 六两幾何之數與第二第四两幾何之數各等此 理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六 并之倍第四俱两倍故

第三題

四幾何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍 　第一又倍第三其數等則第一所倍之與第二若第 　三所倍之與第四

解曰：一甲所倍于二乙若三丙所倍于

四丁次作戊己两幾何同若干倍于甲 于丙題言以平理推戊倍乙之數若己倍丁

論曰：戊與己之倍甲與丙其數既等試

以戊作若干分各與甲等為戊庚庚辛 辛壬次分己亦如之為己癸癸子子丑 即戊内有甲若干與己内有丙若干等 　〈本卷界説二〉夫戊庚與甲己癸與丙既等而甲之倍乙與 　丙之倍丁又等則戊庚倍乙若己癸倍丁也依顯庚 　辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫 　一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛 　之倍二乙亦若六癸子之倍四丁則一戊庚五庚辛 　并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也〈本篇二〉 　又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛 　壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁則一戊辛五辛 　壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛 　壬子丑以上任作多分皆倣此論 　

第四題〈其系為反理〉

四幾何其第一與二偕第三與四比例等第一第三同 　任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍 　與第二所倍第三所倍與第四所倍比例亦等

解曰：甲與乙偕丙與丁比例等次作戊與己同任若

　干倍于一甲三丙别作庚與辛同任若干倍于二乙 　　　　　　　　　　　　　　　四丁題言一甲 　　　　　　　　　　　　　　　所倍之戊與二 　　　　　　　　　　　　　　　乙所倍之庚偕 　　　　　　　　　　　　　　　三丙所倍之己 　　　　　　　　　　　　　　　與四丁所倍之 　　　　　　　　　　　　　　　辛比例亦等

論曰：試以戊己二㡬何同任倍之為壬為癸别以庚

　辛同任倍之為子為丑其戊之倍甲既若己之倍丙 　而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之 　倍丙也〈本篇三〉依顯子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲 　與乙偕丙與丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子 　丑所倍于乙丁各等即三試之若倍甲之壬小于倍 　乙之子則倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等 　即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣〈本卷界説〉 　〈六〉夫戊己之倍為壬癸也庚辛之倍為子丑也不論 　㡬許倍其等大小三試之恒如是也則一戊所倍之 　壬與二庚所倍之子偕三己所倍之癸與四辛所倍 　之丑等大小皆同類也而戊與庚偕己與辛之比例 　必等〈本卷界説六〉 　一系凡四㡬何第一與二偕第三與四比例等即可 　反推第二與一偕第四與三比例亦等何者如上倍 　甲之壬與倍乙之子偕倍丙之癸與倍丁之丑等大 　小俱同類而顯甲與乙若丙與丁即可反説倍乙之 　子與倍甲之壬偕倍丁之丑與倍丙之癸等大小俱 　同類而乙與甲亦若丁與丙〈本卷界説六〉 　二系别有一論亦本書中所恒用也曰若甲與乙偕 　两與丁比例等則甲之或二或三倍與乙之或二或 　三倍偕丙之或二或三倍與丁之或二或三倍比例 　俱等倣此以至無窮

第五題

大小两㡬何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍 　于彼全截取之分則此全之分餘所倍于彼全之分 　餘亦如之

解曰：甲乙大㡬何丙丁小㡬何甲乙所倍

于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁 之截分丙己題言甲戊之分餘戊乙所倍 于丙巳之分餘巳丁亦如其數

論曰：試作一他㡬何為庚丙今戊巳之倍庚丙若甲

　戊之倍丙巳也〈本卷界説増〉甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其 　數等即其两并甲乙之倍庚巳亦若〈甲〉戊之倍丙巳 　也〈本篇一〉而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍 丙己則丙丁與庚己等也次毎減同用之 丙巳即庚丙與巳丁亦等而戊乙之倍巳 丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚 丙既若甲戊之倍丙己則戊乙為甲戊之 分餘所倍于巳丁為丙巳之分餘者亦若 甲乙之倍丙丁也

又論曰：試作一他㡬何為庚甲令庚甲之

　倍己丁若甲戊之倍丙巳〈本説界説二十〉即其两并庚戊之 　倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也〈本篇一〉而甲乙之倍丙 　丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊與甲乙等矣次毎減 　同用之甲戊即庚甲與戊乙等也而庚甲之倍己丁 　若甲乙之倍丙丁也則戊乙之倍巳丁亦若甲乙之 　倍丙丁也

第六題

此两㡬何各倍于彼两㡬何其數等于此两㡬何毎減 　一分其一分之各倍于所當彼㡬何其數等則其分 　餘或各與彼㡬何等或尚各倍于彼㡬何其數亦等

解曰：甲乙丙丁两㡬何各倍于戊巳两㡬

何其數等毎減一甲庚丙辛甲庚丙辛之 倍戊巳其數等題言分餘庚乙辛丁或與 　戊巳等或尚各倍于戊巳其數亦等

論曰：甲乙全與其分甲庚既各多倍于戊則分餘庚

　乙與戊其或等或尚㡬倍必矣何者庚乙與戊不等 不㡬倍其加于甲庚不成為戊之多倍也 然則庚乙與戊等曷為辛丁與巳亦等試 作壬丙與己等其一甲庚之倍二戊既若 　三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙 之等四巳則第一第五并之甲乙所倍于 二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳 　也〈本篇二〉而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己 即壬辛與丙丁亦等次毎減同用之丙辛 　即壬丙與辛丁必等是辛丁與己亦等矣然則庚乙 　之倍戊曷為與辛丁之倍己等試作壬丙其倍己若 　庚乙之倍戊依前論甲乙之倍戊若壬辛之倍己〈本篇〉 　〈二〉而壬辛與丙丁等壬丙與辛丁亦等是辛丁之倍 　己亦若庚乙之倍戊矣 　

第七題〈二支〉

此两幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與 　此相等之两幾何各為比例亦等

解曰：甲乙两幾何等彼幾何丙不論等大

小于甲乙題言甲與丙偕乙與丙各為比 例必等又反上言丙與甲偕丙與乙各為 比例亦等

論曰：試作丁戊两率任同若干倍于甲乙

即丁與戊等别作己任若干倍于丙其丁 戊既等即丁視己與戊視己或等或大或 小必同類矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕 　當二又當四之丙所倍之己其等大小既同類〈本卷界説〉 　〈六〉則一甲與二丙之比例若三乙與四丙矣反説之 　當一當三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊 　其等大小既同類則一丙與二甲之比例若三丙與 　四乙矣 　後論與本篇第四題之系同用反理如甲與丙若乙 　與丙反推之丙與甲亦若丙與乙也

第八題

大小两幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大 　于小與他之比例而他與小之比例大于他與大之比例

解曰：不等两幾何甲乙大丙小又有他幾

何丁不論等大小于甲乙于丙題言甲乙 與丁之比例大于丙與丁之比例又反上 言丁與丙之比例大于丁與甲乙之比例

論曰：試于大幾何甲乙内分甲戊與小幾何丙等而

　戊乙為分餘次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚 　己而庚己為戊乙之倍必令大于丁辛庚為甲戊之 倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加 之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等 即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣〈本篇〉 〈一〉甲戊即丙也次作一壬癸為丁之倍令 　僅大于辛庚两倍不足三之又不足任加之己大勿 　倍也次于壬癸截取子癸與丁等即壬子必不大于 　辛庚何者向作壬癸為丁之倍元令僅大于辛庚若 　壬子大于辛庚者何必又倍之為壬癸也故僅大之 　壬癸截去子癸者必不大于辛庚也則壬子或等或 　小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸與丁等即庚 　己必大于子癸又辛庚不小于壬子〈或大或等〉即辛己亦 　大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第 　三丙也而壬癸之倍于當二之丁當四之丁又同一 　率也則第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而 　第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸〈辛庚元小于壬〉 　〈癸〉是一甲乙與二丁之比例大于三丙與四丁矣〈本卷〉 　〈界説八〉次反上説一丁所倍之壬癸〈反説則丁當一當三丙二甲乙四〉 　大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于 　四甲乙所倍之辛己〈壬癸必小于辛己〉是一丁與二丙之比 　例大于三丁與四甲乙矣〈本卷界説八〉

第九題〈二支〉

两幾何與一幾何各為比例而等則两幾何必等一幾 　何與两幾何各為比例而等則两幾何亦等 先解曰甲乙两幾何各與丙為比例等題言甲 與乙等

論曰：如云不然而甲大于乙即甲與丙之比例

　宜大于乙與丙〈本篇八〉何先設两比例等也故比例等 　則甲與乙等 　後解曰丙幾何與甲與乙各為比例等題言甲與乙等

論曰：如云不然而甲大于乙即丙與乙之比例宜大

　于丙與甲〈本篇八〉何先設两比例等也 　

第十題〈二支〉

彼此两幾何此幾何與他幾何之比例大于彼與他之 　比例則此幾何大于彼他幾何與彼幾何之比例大 　于他與此之比例則彼幾何小于此 先解曰甲乙两幾何復有丙幾何甲與丙之比 例大于乙與丙題言甲大于乙

論曰：如云不然甲與乙等即所為两比例宜等

　〈本篇七〉何先設甲與丙大也又不然甲小于乙即乙與 　丙之比例宜大于甲與丙〈本篇八〉何先設甲與丙大也 　後解曰丙與乙之比例大于丙與甲題言乙小于甲

論曰：如云不然乙與甲等即所為两比例宜等

〈本篇七〉何先設丙與乙大也又不然乙大于甲即 丙與甲之比例宜大于丙與乙何先設丙與乙 　大也

第十一題

此两幾何之比例與他两幾何之比例等而彼两幾何 　之比例與他两幾何之比例亦等則彼两幾何之比 　例與此两幾何之比例亦等

解曰：甲乙偕丙丁之比例各與戊己之比

例等題言甲乙與丙丁之比例亦等

論曰：試于各前率之甲丙戊同任倍之為

庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之 為癸子丑其一甲與二乙之比例既若三 戊與四己即三試之若倍一甲之庚小于 倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四 己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大 于癸即壬亦大于丑矣〈本卷界説六〉依顯壬之 　視丑若辛之視子其等大小亦同類矣此三前三後 　率任作幾許倍其等大小皆同類也〈本卷界説六〉則甲與 　乙之比例若丙與丁也

第十二題

數幾何所為比例皆等則并前率與并後率之比例若 　各前率與各後率之比例

解曰：甲乙丙丁戊己數幾何所為比例皆等者甲與

乙若丙與丁丙與丁若戊與己也題言甲 丙戊諸前率并與乙丁己諸後率并之比 例若甲與乙丙與丁戊與己各前各後之 比例也

論曰：試于各前率之甲丙戊同任倍之為

庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之 為癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若 庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若 癸之倍乙也〈本篇一〉夫一甲與二乙既若三 　丙與四丁又若三戊與四己則庚之倍一甲與癸之 　倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊與子五 　之倍四丁己等大小同類也又各前所倍庚辛壬并 　與各後所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前 　所自倍與各後所自倍其等大小必同類也〈本卷界説六〉 　則一甲與二乙之比例若三甲丙戊并與四乙丁己 　并矣

第十三題

數幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第三 　與四之比例大于第五與六之比例則第一與二之 　比例亦大于第五與六之比例

解曰：一甲與二乙之比例若三丙與四丁而三丙與

　四丁之比例大于五戊與六己題言甲與乙之比例 亦大于戊與己

論曰：試以甲丙戊各前率同任倍之為庚

辛壬别以乙丁己各後率同任倍之為癸 子丑其甲與乙既若丙與丁即三試之若 倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必 大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等 若庚小于癸即辛亦小于子矣〈本卷界説六〉次 丙與丁既大于戊與己又三試之即倍丙 　之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之 　丑也或等或小矣〈本卷界説八〉夫庚癸與辛子等大小同 　類則壬丑不類于辛子者亦不類于庚癸也故甲與 　乙之比例亦大于戊與己〈本卷界説八〉

注曰：若三丙與四丁之比例或小或等于五戊六

己則一甲與二乙之比例亦小亦等于五戊六己 依此論推顯

第十四題

四幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第一 　幾何大于第三則第二幾何亦大于第四第一或等 　或小于第三則第二亦等亦小于第四

解曰：甲與乙之比例若丙與丁題言甲大

于丙則乙亦大于丁若等亦等若小亦小

先論曰：如甲大于丙即甲與乙之比例大

　于丙與乙矣〈本篇八〉夫一丙與二丁之比例既若三甲 　與四乙而三甲與四乙之比例大于五丙與六乙即 　一丙與二丁之比例亦大于五丙與六乙〈本篇十三〉是丁 幾何小于乙也〈本篇十一〉

次論曰：如甲丙等即甲與乙之比例若丙

與乙〈本篇七〉夫甲與乙之比例元若丙與丁 　而又若丙與乙是丙與丁之比例亦若丙與乙也〈本篇〉 　〈十一〉則乙與丁等也〈本篇九〉

後論曰：如甲小于丙即丙與乙之比例大于甲與乙

　矣〈本篇八〉夫一丙與二丁之比例既若三甲與四乙而 三甲與四乙之比例小于五丙與六乙即 一丙與二丁之比例亦小于五丙與六乙 　也〈本篇十三〉是乙小于丁也〈本篇十〉

第十五題

两分之比例與两多分并之比例等

解曰：甲與乙同任倍之為丙丁為戊己題言丙丁與

　戊己之比例若甲與乙

論曰：丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲

若干與戊己内有乙若干等次分丙丁為丙庚 庚辛辛丁各與甲分等分戊己為戊壬壬癸癸 己各與乙分等即丙庚與戊壬若甲與乙也〈丙庚〉 　　　〈與甲等戊壬與乙等故見本篇七〉庚辛與壬癸辛丁與癸己皆 若甲與乙也〈本篇十一〉則等甲之丙庚與等乙之戊 　壬定若丙丁全與戊己全而丙丁全與戊己全若甲 　與乙矣〈本篇十二〉 　

第十六題〈更理〉

四幾何為两比例等即更推前與前後與後為比例亦等

解曰：甲乙丙丁四幾何甲與乙之比例若

丙與丁題言更推之甲與丙之比例亦若 乙與丁

論曰：試以甲與乙之任倍之為戊為己别

以丙與丁同任倍之為庚為辛即戊與己 若甲與乙也〈本篇十五〉庚與辛若丙與丁也夫 　甲與乙若丙與丁而戊與己亦若甲與乙即戊與己 　亦若丙與丁矣依顯庚與辛若丙與丁即戊與己亦 　若庚與辛也〈本篇十一〉次三試之若戊大于庚則己亦大 　于辛也若等亦等若小亦小任作幾許倍恒如是也 　〈本篇十四〉則倍一甲之戊倍三乙之己與倍二丙之庚倍 　四丁之辛其等大小必同類也而甲與丙若乙與丁 　矣

第十七題〈分理〉

相合之两幾何為比例等則分之為比例亦等

解曰：相合之两幾何其一為甲乙丁乙其

一為丙戊己戊比例等者甲乙與丁乙若 丙戊與己戊也題言分之為比例亦等者 甲丁與丁乙若丙己與己戊也

論曰：試以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之

為庚辛辛壬為癸子子丑即庚壬之倍甲 　乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也〈本篇一〉 　夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍 　甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任 　倍之為壬寅為丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三 　子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑 　卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己 　戊也〈本篇二〉夫一甲乙與二丁乙之比例既若三丙戊 　與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試之若 　一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三 　丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若 等亦等若小亦小也〈本卷界説六〉如庚壬小于 辛寅而癸丑小于子卯者即每減一同用 之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而 癸子亦小于丑卯矣依顯庚壬等辛寅而 癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等 丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯 　者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛為 　甲丁之倍癸子為丙己之倍壬寅為丁乙之倍丑卯 　為己戊之倍而甲丁丙己之所倍視丁乙己戊之所 　倍其等大小皆同類則甲丁與丁乙若丙己與己戊 　也〈本卷界説六〉 　

第十八題〈合理〉

两幾何分之為比例等則合之為比例亦等

解曰：甲丁丁乙與丙己己戊两分幾何其

比例等者甲丁與丁乙若丙己與己戊是 也題言合之為比例亦等者甲乙與丁乙 若丙戊與己戊也

論曰：如前論以甲丁丁乙丙己己戊同任

倍之為庚辛辛壬為癸子子丑〈本篇二〉次别 以丁乙己戊同任倍之為壬寅為丑卯即庚壬之倍 　　甲乙若癸丑之倍丙戊也〈本篇一〉而辛寅之倍丁乙若 　　子卯之倍乙戊也〈本篇二〉夫一甲丁與二丁乙既若三 丙己與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試 之若一甲丁所倍之庚辛小於二丁乙所倍之壬寅 即三丙己所倍之癸子亦小於四己戊所 倍之丑卯也若等亦等若大亦大也〈本卷界説〉 〈六〉如庚辛小於壬寅而癸子亦小於丑卯 即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小於 辛寅而癸丑亦小於子卯矣依顯庚辛等 壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸 　丑等子卯矣庚辛大於壬寅而癸子大於丑卯即庚 　壬大於辛寅而癸丑大於子夘矣夫一甲乙所倍之 　庚壬與二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑 　與四己戊所倍之子夘其等大小皆同類則甲乙與 　丁乙若丙戊與己戊也〈本卷界説六〉 　

第十九題〈其系為轉理〉

两幾何各截取一分其所截取之比例與两全之比例 　等則分餘之比例與两全之比例亦等

解曰：甲乙丙丁两幾何其甲乙全與丙丁全之比例

　若截取之甲戊與丙己題言分餘戊乙與己丁之比 例亦若甲乙與丙丁

論曰：甲乙與丙丁既若甲戊與丙己試更之甲

乙與甲戊若丙丁與丙己也〈本篇十六〉次分之戊乙 與甲戊若己丁與丙己也〈本篇十七〉又更之戊乙與 己丁若甲戊與丙己也〈本篇十六〉夫甲戊與丙己元 若甲乙與丙丁則戊乙與己丁亦若甲乙與丙 　丁矣 　一系從此題可推界説第十六之轉理如上甲乙與 　戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與 　丙己也何者甲乙與戊乙既若丙丁與己丁試更之 　甲乙與丙丁若截取之戊乙與己丁也〈本篇十六〉即甲乙 　全與丙丁全又若分餘之甲戊與丙己矣〈本題〉又更之 　則甲乙與甲戊若丙丁與丙己也〈本篇十六〉此轉理也

注曰：凡更理可施於同類之比例不可施於異類

若轉理不論同異類皆可用也依此系即轉理亦 賴更理為用似亦不可施於異類矣今别作一論 不賴更理以為轉理明轉理可施於異類也

論曰：甲乙與丙乙若丁戊與己戊即轉推甲

乙與甲丙若丁戊與丁己何者甲乙與丙乙既 若丁戊與己戊試分之甲丙與丙乙若丁己與 　　己戊也〈本篇十七〉次反之丙乙與甲丙若己戊與丁己也 　　〈本篇四〉次合之甲乙與甲丙若丁戊與丁己也〈本篇十八〉 　

第二十題〈三支〉

有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大於 　第三則第四亦大於第六第一或等或小於第三則 　第四亦等亦小於第六

先解曰：甲乙丙三幾何丁戊己三幾何其

甲與乙之比例若丁與戊乙與丙之比例 若戊與己而甲大於丙題言丁亦大於己

論曰：甲既大於丙即甲與乙之比例大於

　丙與乙矣〈本篇八〉而甲與乙之比例若丁與戊即丁與 　戊之比例亦大於丙與乙矣〈本篇十三〉又丙與乙之比例 　若己與戊〈乙與丙若戊與己反之則丙與乙若己與戊〉即丁與戊之比例 　大於己與戊矣是丁大於己也〈本篇十〉 次解曰若甲丙等題言丁己亦等

論曰：甲丙既等即甲與乙之比例若丙與

乙矣〈本篇七〉而甲與乙之比例若丁與戊即 丁與戊之比例亦若丙與乙矣〈本篇十一〉又丙 　與乙之比例若己與戊〈反理〉即丁與戊之比例亦若己 　與戊矣是丁己等也〈本篇九〉

後解曰：若甲小於丙題言丁亦小於己

論曰：甲既小於丙即甲與乙之比例小於

丙與乙矣〈本篇八〉而甲與乙之比例若丁與 戊即丁與戊之比例亦小於丙與乙矣又 　丙與乙之比例若己與戊〈反理〉即丁與戊之比例小於 　己於戊矣是丁小於己也〈本篇十〉 　

第二十一題〈三支〉

有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之 　若第一幾何大于第三則第四亦大于第六若第一 　或等或小于第三則第四亦等亦小于第六

解曰：甲乙丙三幾何丁戊己三幾何相為

連比例不序不序者甲與乙若戊與己乙 與丙若丁與戊也以平理推之若甲大于 　丙題言丁亦大于己

論曰：甲既大于丙即甲與乙之比例大于丙與乙〈本篇〉

　〈八〉而甲與乙若戊與己即戊與己之比例亦大于丙 　與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若 　戊與丁也〈本篇四〉則戊與己大于戊與丁也是丁大于己也 　〈本篇二十〉 次解曰若甲丙等題言丁己亦等

論曰：甲丙既等即甲與乙之比例若丙與

　乙〈本篇七〉而甲與乙若戊與己即丙與乙之 　比例亦若戊與己也又乙與丙既若丁與戊反之即 　丙與乙亦若戊與丁也〈本篇四〉則戊與己若戊與丁也 　是丁己等也〈本篇九〉 後解曰若甲小于丙題言丁亦小于己

論曰：甲既小于丙即甲與乙之比例小于

丙與乙〈本篇八〉而甲與乙若戊與己即戊與 　己之比例小于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反 　之即丙與乙若戊與丁〈本篇四〉則戊與己小于戊與丁 　也是丁小于己也〈本篇十〉 　

第二十二題〈平理之序〉

有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以 　平理推 　　　　　　　　　　解曰有若干幾何甲乙丙又 　　　　　　　　　　有若干幾何丁戊己而甲與 　　　　　　　　　　乙之比例若丁與戊乙與丙 　　　　　　　　　　之比例若戊與己題言以平 　　　　　　　　　　理推之甲與丙之比例若丁 　與己

論曰：試以甲與丁同任倍之為庚為辛别以乙與戊

　同任倍之為壬為癸别以丙與己同任倍之為子為 　丑其一甲與二乙既若三丁與四戊即倍甲之庚與 　　　　　　　　　　倍乙之壬若倍丁之辛與倍 　　　　　　　　　　戊之癸也〈本篇四〉依顯一乙與 　　　　　　　　　　二丙既若三戊與四己即倍 　　　　　　　　　　乙之壬與倍丙之子若倍戊 　　　　　　　　　　之癸與倍己之丑也是庚壬 　子三幾何辛癸丑三幾何又相為連比例矣次三試 　之若庚大于子即辛必大于丑也〈本篇二十〉若等亦等者 　小亦小也則倍一甲之庚倍三丁之辛與倍二丙之 　子倍四己之丑等大小皆同類也是甲與丙若丁與 　己也〈本卷界説六〉其幾何自三以上如更有丙與寅若己 　與卯亦依顯甲與寅若丁與卯也何者上既顯甲與 　丙若丁與己而今稱丙與寅若己與卯即以甲丙寅 　作三幾何以丁己卯作又三幾何相為連比例依上 　推論亦得甲與寅之比例若丁與夘也自四以上可 　至無窮依此推顯

第二十三題〈平理之錯〉

若干幾何又若干幾何相為連比例而錯亦以平理推 　　　　　　　　　　解曰甲乙丙若干幾何丁戊 　　　　　　　　　　己若干幾何相為連比例而 　　　　　　　　　　錯者甲與乙若戊與己乙與 　　　　　　　　　　丙若丁與戊也題言以平理 　推之甲與丙之比例亦若丁與己

論曰：試以甲乙丁同任倍之為庚辛壬别以丙戊己

　同任倍之為癸子丑即甲與乙若所自倍之庚與辛 　　　　　　　　　　〈本篇十五〉而甲與乙既若戊與己 　　　　　　　　　　即庚與辛亦若戊與己〈本篇十一〉 　　　　　　　　　　戊與己又若所自倍之子與 　　　　　　　　　　丑即庚與辛亦若子與丑〈本篇〉 　〈十一〉依顯一乙與二丙既若三丁與四戊即倍一乙之 　辛與倍二丙之癸若倍三丁之壬與倍四戊之子也 　〈本篇四〉是庚辛癸三幾何壬子丑三幾何又相為連比 　例而錯矣次三試之若庚大于癸即壬亦大于丑若 　等亦等若小亦小〈本篇廿一〉則一甲三丁所倍之庚壬與 　二丙四己所倍之癸丑等大小皆同類也是一甲與 　二丙若三丁與四己〈本卷界說六〉如三以上既有甲與乙 　若己與夘乙與丙若戊與己又有丙與寅若丁與戊 　亦顯甲與寅若丁與卯何者依上論先顯甲與丙若 　戊與夘次丙與寅又若丁與戊即以甲丙寅作三幾 　何丁戊夘作又三幾何相為連比例而錯依上論亦 　得甲與寅若丁與夘四以上悉依此推顯

第二十四題

凡第一與二幾何之比例若第三與四幾何之比例而 　第五與二之比例若第六與四則第一第五并與二 　之比例若第三第六并與四

解曰：一甲乙與二丙之比例若三丁戊與四己而五

乙庚與二丙若六戊辛與四己題言一甲乙五 乙庚并與二丙若三丁戊六戊辛并與四己

論曰：乙庚與丙既若戊辛與己反之丙與乙庚

若己與戊辛也〈本篇四〉又甲乙與丙既若丁戊與 　己而丙與乙庚亦若己與戊辛平之甲乙與乙庚若 　丁戊與戊辛也〈本篇廿二〉又合之甲庚全與乙庚若丁辛 　全與戊辛也〈本篇十八〉夫甲庚與乙庚既若丁辛與戊辛 　而乙庚與丙亦若戊辛與己平之甲庚與丙若丁辛 　與己矣〈本篇廿二〉

注曰：依本題論可推廣第六題之義作後増題〈第六〉

〈題言幾倍後增題不止言倍其義稍廣矣〉 増題此两幾何與彼两幾何比例等于此两幾何 每截取一分其截取两幾何與彼两幾何比例等 則分餘两幾何與彼两幾何比例亦等

解曰：如上圖甲庚丁辛此两幾何與丙己彼两幾

何比例等者甲庚與丙若丁辛與己也題言截取 之甲乙與丙若丁戊與己則分餘之乙庚與丙亦 若戊辛與己

論曰：甲乙與丙既若丁戊與己即反之丙與甲乙

若己與丁戊也〈本篇四〉又甲庚與丙既若丁辛與己 而丙與甲乙亦若己與丁戊即平之甲庚與 甲乙若丁辛與丁戊也〈本篇廿二〉又分之乙庚與 甲乙若戊辛與丁戊也〈本篇十七〉夫乙庚與甲乙 既若戊辛與丁戊而甲乙與丙若丁戊與己 即平之若戊辛與己也〈本篇廿三〉

第二十五題

四幾何為斷比例則最大與最小两幾何并大于餘两 　幾何并

解曰：甲乙與丙丁之比例若戊與己甲乙最大己最

　小題言甲乙己并大于丙丁戊并

論曰：試于甲乙截取甲庚與戊等于丙丁截取丙辛

　與己等即甲庚與丙辛之比例若戊與己也亦若甲 乙與丙丁也夫甲乙全與丙丁全既若截取之 甲庚與丙辛即亦若分餘之庚乙與辛丁也〈本篇〉 〈十九〉而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛 丁矣又甲庚與戊丙辛與己既等即于戊加丙 　辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁則甲 　乙己并豈不大于丙丁戊并

第二十六題

第一與二幾何之比例大于第三與四之比例反之則 　第二與一之比例小于第四與三之比例

解曰：一甲與二乙之比例大于三丙與四丁

題言反之二乙與一甲之比例小于四丁與 三丙

論曰：試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與

　乙之比例大于戊與乙而甲幾何大于戊〈本篇十〉則乙 　與戊之比例大于乙與甲也〈本篇八〉反之則乙與戊之 　比例若丁與丙〈本篇四〉而乙與甲之比例小于丁與丙

第二十七題

第一與二之比例大于第三與四之比例更之則第一 　與三之比例亦大于第二與四之比例

解曰：一甲與二乙之比例大于三丙與四丁題

言更之則一甲與三丙之比例亦大于二乙與 四丁

論曰：試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙

　之比例大于戊與乙而甲㡬何大于戊〈本篇十〉則甲與 　丙之比例大于戊與丙也〈本篇八〉夫戊與乙之比例既 　若丙與丁更之則戊與丙之比例亦若乙與丁〈本篇十六〉 　而甲與丙之比例大于乙與丁矣

第二十八題

第一與二之比例大于第三與四之比例合之則第一 　第二并與二之比例亦大于第三第四并與四之比 　例

解曰：一甲乙與二乙丙之比例大于三丁戊與四戊

己題言合之則甲丙與乙丙之比例亦大于 丁己與戊己

論曰：試作庚乙與乙丙之比例若丁戊與戊

　己即甲乙與乙丙之比例大于庚乙與乙丙而甲乙 　幾何大于庚乙矣〈本篇十〉此二率者每加一乙丙即甲 　丙亦大于庚丙而甲丙與乙丙之比例大于庚丙與 　乙丙也〈本篇八〉夫庚乙與乙丙之比例既若丁戊與戊 　己合之則庚丙與乙丙之比例亦若丁己與戊己也 　〈本篇十八〉而甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己矣

第二十九題

第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比例 　分之則第一與二之比例亦大于第三與四之比例

解曰：甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己

題言分之則甲乙與乙丙之比例亦大于丁 戊與戊己

論曰：試作庚丙與乙丙之比例若丁己與戊

　己即甲丙與乙丙之比例亦大于庚丙與乙丙而甲 　丙幾何大于庚丙矣〈本篇十〉此二率者每減一同用之 　乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙與乙丙之比例大 于庚乙與乙丙也〈本篇八〉夫庚丙與乙丙之比 例既若丁己與戊己分之則庚乙與乙丙之 比例亦若丁戊與戊己也〈本篇十七〉而甲乙與乙 丙之比例大于丁戊與戊己矣

第三十題

第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比 　例轉之則第一合第二與一之比例小于第三合第 　四與三之比例

解曰：甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己題言轉

　之則甲丙與甲乙之比例小于丁己與丁戊

論曰：甲丙與乙丙之比例既大于丁己與戊己

分之即甲乙與乙丙之比例亦大于丁戊與戊 己也〈本篇廿九〉又反之乙丙與甲乙之比例小于戊 　己與丁戊矣〈本篇廿六〉又合之甲丙與甲乙之比例亦小 　于丁己與丁戊也〈本篇廿八〉

第三十一題

此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第 　一與二之比例此第二與三之比例大于彼第二 　與三之比例如是序者以平理推則此第一與三之 　比例亦大于彼第一與三之比例

解曰：甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙

之比例大于丁與戊乙與丙之比例大于 戊與己如是序者題言以平理推則甲與 丙之比例亦大于丁與己

論曰：試作庚與丙之比例若戊與己即乙

與丙之比例大于庚與丙而乙幾何大于 　庚〈本篇十〉是甲與小庚之比例大于甲與大 　乙矣〈本篇八〉夫甲與乙之比例元大于丁與戊即甲與 　庚之比例更大于丁與戊也次作辛與庚之比例若 　丁與戊即甲與庚之比例亦大于辛與庚而甲幾何 　大于辛〈本篇十〉是大甲與丙之比例大于小辛與丙矣 　〈本篇八〉夫辛與丙之比例以平理推之若丁與己也〈本篇〉 　〈廿二〉則甲與丙之比例大于丁與己也

第三十二題

此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第二 　與三之比例此第二與三之比例大于彼第一與二 　之比例如是錯者以平理推則此第一與三之比例 　亦大于彼第一與三之比例

解曰：甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙

　之比例大于戊與己乙與丙之比例大于丁與戊如 是錯者題言以平理推則甲與丙之比 例亦大于丁與己

論曰：試作庚與丙之比例若丁與戊即

乙與丙之比例大於庚與丙而乙㡬何 大于庚〈本篇十〉是甲與小庚之比例大于 　甲與大乙矣〈本篇八〉夫甲與乙之比例既大于戊與己 　即甲與庚之比例更大于戊與己也次作辛與庚之 　比例若戊與己即甲與庚之比例亦大于辛與庚而 　甲幾何大于辛〈本篇十〉是大甲與丙之比例大于小 　辛與丙矣〈本篇八〉夫辛與丙之比例以平理推之 　若丁與己也〈本篇廿三〉則甲與丙之比例大于丁與 　己也

第三十三題

此全與彼全之比例大于此全截分與彼全截分之比 　例則此全分餘與彼全分餘之比例大于此全與彼 　全之比例

解曰：甲乙全與丙丁全之比例大于两截分甲

戊與丙己題言两分餘戊乙與己丁之比例大 于甲乙與丙丁

論曰：甲乙與丙丁之比例既大于甲戊與丙己

更之即甲乙與甲戊之比例亦大于丙丁與丙 己也〈本篇廿七〉又轉之甲乙與戊乙之比例小于丙 丁與己丁也〈本篇三十〉又更之甲乙與丙丁之比例 小于戊乙與己丁也〈本篇廿七〉戊乙與己丁分餘也 則分餘之比例大于甲乙全與丙丁全矣依顯 两全之比例小于截分則分餘之比例小于 　两全 　

第三十四題〈三支〉

若干幾何又有若干㡬何其數等而此第一與彼第一 　之比例大于此第二與彼第二之比例此第二與彼 　第二之比例大于此第三與彼第三之比例以後俱 　如是則此并與彼并之比例大于此末與彼末之比 　例亦大于此并減第一與彼并減第一之比例而小 　于此第一與彼第一之比例

解曰：如甲乙丙三幾何又有丁戊己三幾何其甲與

　丁之比例大于乙與戊乙與戊之比例大于丙與己 　題先言甲乙丙并與丁戊己并之比例大于丙與己 次言亦大於乙丙并與戊己并後言小于甲 與丁

論曰：甲與丁之比例既大于乙與戊更之即

甲與乙之比例大于丁與戊也〈本篇廿七〉又合之 甲乙并與乙之比例大于丁戊并與戊也〈本篇〉 　〈廿八〉又更之甲乙并與丁戊并之比例大于乙與戊也 　〈本篇廿七〉是甲乙全與丁戊全之比例大于減并乙與減 　并戊也既爾即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙 全與丁戊全也〈本篇卅三〉依顯乙與戊之比例亦 大于乙丙全與戊己全即甲與丁之比例更 大于乙丙全與戊己全也又更之甲與乙丙 并之比例大于丁與戊己并也〈本篇廿七〉又合之 甲乙丙全與乙丙并之比例大于丁戊己全 　與戊己并也〈本篇廿八〉又更之甲乙丙全與丁戊己全之 　比例大于乙丙并與戊己并也〈本篇廿七〉則得次解也又 　甲乙丙全與丁戊己全之比例既大于減并乙丙與 　減并戊己即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙丙 　全與丁戊己全也〈本篇卅三〉則得後解也又乙與戊之比 　例既大于丙與己更之即乙與丙之比例大于戊與 　己也〈本篇卄七〉又合之乙丙全與丙之比例大于戊己全 　與己也〈本篇卄八〉又更之乙丙并與戊己并之比例大于 　丙與己也〈本篇卄七〉而甲乙丙并與丁戊己并之比例既 　大于乙丙并與戊己并即更大于末丙與末己也 　則得先解也 　若两率各有四幾何而丙與己之比 　例亦大于庚與辛即與前論同理 　盖依上文論乙與戊之比例大于乙丙庚 　并與戊己辛并即甲與丁之比例更 　大于乙丙庚并與戊己辛并也更之 　即甲與乙丙庚并之比例大于丁與 　戊己辛并也〈本篇十八〉又合之甲乙丙庚 　全與乙丙庚并之比例大于丁戊 　己辛全與戊己辛并也又更之甲乙丙庚全與丁戊 　己辛全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并也〈本篇廿七〉 　則得次解也又甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例 　既大于減并乙丙庚與減并戊己辛即減餘甲與減 　餘丁之比例大于甲乙丙庚全與丁戊己辛全也〈本篇〉 　〈卅三〉則得後解也又依前論顯乙丙庚并與戊己辛并 　之比例既大于庚與辛而甲乙丙庚全與丁戊己辛 　全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并即更大于末 　庚與末辛也則得先解也自五以上至于無窮俱倣 　此論可顯全題之㫖

　幾何原本卷五