幾何原本/卷四

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西洋利瑪竇譯

卷四之首

界說七則

第一界

直線形居他直線形内而此形之各角切他形之各邊 　為形内切形

　此卷將論切形在圜之内外及作圜在形之内外故 解形之切在形内及切在形外者先以直 線形為例如前圖丁戊己角形之丁戊己 三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三 邊則丁戊己為甲乙丙之形内切形如後 圖癸子丑角形雖癸子两角切庚辛壬角 形之庚辛壬庚两邊而丑角不切辛壬邊 　則癸子丑不可謂庚辛壬之形内切形

第二界

一直線形居他直線形外而此形之各邊切他形之各 　角為形外切形

　如第一界圖甲乙丙為丁己戊之形外切形　其餘 　各形倣此二例

第三界

直線形之各角切圜之界為圜内切形 甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙 是也

第四界

直線形之各邊切圜之界為圜外切形 甲乙丙形之三邊切圜界于丁于己于戊 是也

第五界

圜之界切直線形之各邊為形内切圜 　同第四界圖

第六界

圜之界切直線形之各角為形外切圜 　同第三界圖

第七界

直線之两界各抵圜界為合圜線 甲乙線两界各抵甲乙丙圜之界為合圜線 若丙抵圜而丁不至及戊之两俱不至不為 合圜線 　

卷四

第一題

有圜求作合圜線與所設線等此設線不大于圜之徑線

法曰甲乙丙圜求作合線與所設丁線等 　　　　　其丁線不大于圜之徑線〈徑為圜内之最大線更大不可〉 〈合見三卷十五〉先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與 　丁等者即是合線若丁小于徑者即于乙丙上截取 　乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙 　丙圜于甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙 　戊等則與丁等

第二題

有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角

　法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設 　丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜于甲〈三卷十七〉 次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛 甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即 圜内三角切形與所設丁戊己形等角

論曰甲丙乙與庚甲乙两角等甲乙丙與 　辛甲丙两角亦等〈三卷卅二〉而庚甲乙辛甲丙两角既與 　所設己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦與己戊各 　等而乙甲丙必與丁等〈一卷卅二〉則三角俱等

第三題

有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角

法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三 角與所設丁戊己形之三角各等先于戊 己一邊引長之為庚辛次于圜界抵心作 甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作 乙壬丙角與丁己辛等末于甲乙丙上作 　癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜于甲于乙于丙〈三卷十六〉 　〈之系〉而相遇于子于丑于癸〈若作甲丙線郎癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而〉 　　　　　〈子癸丑癸两線必相遇餘二倣此〉此癸子丑三角與所設 丁戊己三角各等

論曰甲壬乙子四邊形之四角與四直角 　等〈一卷卅二題内〉而壬甲子壬乙子两為直角即 甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊 　庚丁戊己两角并亦等两直角〈一卷十三〉此二等率者每 　減一相等之丁戊庚甲壬乙則所存丁戊己與甲子 　乙等依顯丑角與丁己戊等則癸與丁亦等〈一卷卅二〉而 　癸子丑與丁戊己两形之各三角俱等

第四題

三角形求作形内切圜

法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙 丙角甲丙乙角各两平分之〈一卷九〉作乙丁丙 丁两直線相遇于丁次自丁至角形之三邊 各作垂線為丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形 　之丁戊乙丁乙戊两角與乙丁己角形之丁己乙丁 　乙己两角各等乙丁同邊即丁戊丁己两邊亦等〈一卷〉 　〈廿六〉依顯丁丙己角形與丁庚丙角形之丁己丁庚两 　邊亦等即丁戊丁己丁庚三線俱等末作圜以丁為 　心戊為界即過庚己為戊庚己圜而切角形之甲乙 　乙丙丙甲三邊于戊于己于庚〈三卷十六之系〉此為形内切 　圜

第五題

三角形求作形外切圜

　法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邊〈若形是直〉 　〈角鈍角則分直角鈍角之两旁邊〉于丁于戊次于丁戊上各作垂線 　　　　　為己丁己戊而相遇于己〈若自丁至戊作直線即己丁戊〉 　　　　　〈角形之己丁戊己戊丁两角小于两直角故丁己戊己两線必相遇〉其己㸃 或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙 三線或在乙丙邊上止作己甲線其甲丁 己角形之甲丁與乙丁己角形之乙丁两 腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即 甲己己乙两底必等〈一卷四〉依顯甲己戊丙 己戊两形之甲己己丙两底亦等則己甲 己乙己丙三線俱等末作圜以己為心甲 　為界必切丙乙而為角形之形外切圜

　一系若圜心在三角形内即三角形為銳角形何者 　每角在圜大分之上故若在一邊之上即為直角形 　若在形外即為鈍角形

　二系若三角形為銳角形即圜心必在形内若直角 　形必在一邊之上若鈍角形必在形外

増從此推得一法任設三㸃不在一直線可作一 過三㸃之圜其法先以三㸃作三直線相聯成三 角形次依前作 　其同法甲乙丙三㸃先以甲乙两㸃 　各自為心相向各任作圜分令两圜 　分相交于丁于戊次甲丙两㸃亦如 　之令两圜分相交于己于庚末作丁 戊己庚两線各引長之令相交于辛即辛為圜之 　　心　論見三卷二十五增

第六題

有圜求作内切圜直角方形

法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角 方形先作甲丙乙丁两徑線以直角相交于 　戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為内 　切圜直角方形

　論曰甲乙戊角形之甲戊與乙戊丙角形之戊丙两 　腰等乙戊同腰而腰間角两為直角即其底甲乙乙 　丙等〈一卷四〉依顯乙丙丙丁亦等則四邊形之四邊俱 　等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角〈三卷〉 　〈卅一〉是為内切圜直角方形

第七題

有圜求作外切圜直角方形

　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先 作甲丙乙丁两徑線以直角相交于戊次于 甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為两 　徑之垂線而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛 　為外切圜直角方形

　論曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行〈一卷〉 　〈廿八〉依顯甲丙庚壬亦平行則己庚辛壬亦平行〈一卷三十〉 　又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等〈一卷卅四〉而甲 　丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦 　直角依顯庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邊俱 　等于甲丙乙丁两徑既四邊俱等于两徑則己庚壬 　辛為直角方形而四邊各切圜〈三卷十六之系〉

第八題

直角方形求作形内切圜

法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先 以四邊各两平分于戊于己于庚于辛而作 　辛己戊庚两線交于壬其甲丁與乙丙既平行相等 　即半減線之甲辛乙己亦平行相等而甲乙與辛己 亦平行相等〈一卷卅三〉依顯丁丙與辛己亦平行 相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙 　壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四線 　與甲辛戊乙丁辛甲戊四線各等夫甲辛戊乙丁辛 　甲戊各為等線之半即與之等者壬戊壬己壬庚壬 　辛亦自相等次作圜以壬為心戊為界必過己庚辛 　而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邊〈三卷十六〉是為形内切圜

第九題

直角方形求作形外切圜

法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作 對角两線為甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁 　角形之甲乙甲丁两腰等即甲乙丁甲丁乙两角亦 　等〈一卷五〉而乙甲丁為直角即甲乙丁甲丁乙俱半直 　角〈一卷卅二〉依顯丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱 　等又戊甲丁戊丁甲两角等即戊甲戊丁两邊亦等 　〈一卷六〉依顯戊甲戊乙两邊亦等而戊乙戊丙两邊戊 　丙戊丁两邊各等次作圜以戊為心甲為界必過乙 　丙丁而為形外切圜

第十題

求作两邊等三角形而底上两角各倍大于腰間角

法曰先任作甲乙線次分之于丙其分法 須甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直 角方形等〈二卷十一〉次以甲為心乙為界作乙 　丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等〈本篇一〉末作甲丁線 　相聯其甲乙甲丁等即甲乙丁為两邊等角形而甲 　乙丁甲丁乙两角各倍大于甲角

　論曰試作丙丁線而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜 　〈本篇五〉其甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方 　形等即亦與至規外之乙丁上直角方形等而乙丁 　線切甲丙丁圜于丁〈三卷卅七〉即乙丁切線偕丁丙割線 　所作乙丁丙角與負丁甲丙圜分之甲角交互相等 　〈三卷卅二〉此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角與 　丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角亦與丙甲 　丁丙丁甲相對之两内角等〈一卷卅二〉即乙丙丁角與甲 　丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與乙丁 　两線亦等〈一卷六〉夫乙丁元與甲丙等即丙丁與甲丙 　亦等丙甲丁丙丁甲两角亦等而甲角既與乙丁丙 　角等即乙丁丙與丙丁甲两角亦等是甲丁乙倍大 　于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙 　丁亦倍大于甲也

第十一題

有圜求作圜内五邊切形其形等邊等角

法曰甲乙丙丁戊圜求作五邊内切圜形 等邊等角先作己庚辛两邊等角形而庚 辛两角各倍大于己角〈本篇十〉次于圜内作 甲丙丁角形與己庚辛角形各等角〈本篇二〉 　次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分〈一卷九〉作丙戊丁 　乙两線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聯即 　甲乙丙丁戊為五邊内切圜形而五邊五角俱自相 　等

　論曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角而两 　角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲 　五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲 　五圜分亦等〈三卷廿六〉即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線 　亦等〈三卷廿九〉是五邊形之五邊等又甲乙戊丁两圜分 　等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁與戊丁丙乙 　两圜分等乘两圜分之甲戊丁乙甲戊两角亦等依 　顯餘三角與两角俱等是五邊形之五角等

第十二題

有圜求作圜外五邊切形其形等邊等角

法曰甲乙丙丁戊圜求作五邊外切圜形 等邊等角先作圜内甲乙丙丁戊五邊等 邊等角切形〈本篇十一〉次從己心作己甲己乙 　己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸 　癸子子庚五垂線相遇于庚于辛于壬于癸于子〈庚戊〉 　〈甲庚甲戊两角小于两直角故甲庚戊庚線必相遇餘四倣此〉五垂線既切圜〈三卷十六〉 　即成外切圜五邊形而等邊等角

　論曰試從己心作己庚己辛己壬己癸己子五線其 　己甲甲辛上两直角方形己乙乙辛上两直角方形 　之两并各與己辛上直角方形等〈一卷四七〉即两并自相 　等此两并率者每減一相等之甲己己乙上直角方 　形即所存甲辛辛乙上两直角方形等則甲辛辛乙 　两線等也又甲己辛角形之甲己與乙己辛角形之 　乙己两腰等己辛同腰而甲辛辛乙两底又等即甲 　己辛辛己乙两角等〈一卷八〉而甲辛己乙辛己两角亦 　等〈一卷四〉則甲己乙角倍大于辛己乙角也依顯乙己 　丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬 　己角也又甲己乙乙己丙两角乘甲乙乙丙相等之 　两圜分〈線等故圜分等見三卷廿八〉即两角自相等〈三卷廿七〉半減之 　辛己乙乙己壬两角亦等　乙己辛角形之乙己辛 　辛乙己两角與乙己壬角形之乙己壬壬乙己两角 　各等而乙己同邊是辛乙乙壬两邊亦等也〈一卷廿六〉乙 　辛己乙壬己两角亦等也則辛壬線倍大于辛乙線 也依顯庚辛線亦倍大于辛甲線也前己 顯甲辛辛乙两線等則倍大之庚辛辛壬 两線亦等也依顯壬癸癸子子庚與庚辛 　辛壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五邊等又依前 　所顯乙辛己與乙壬己两角等是乙辛甲之減半角 　與乙壬丙之減半角等即倍大之乙辛甲與乙壬丙 　亦等也依顯辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛與庚辛 　壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五角等

第十三題

五邊等邊等角形求作形内切圜

　法曰甲乙丙丁戊五邊等邊等角形求作内切圜先 　分乙甲戊甲乙丙两角各两平分〈一卷九〉其線為己甲 　　　　　己乙而相遇于己〈己甲乙己乙甲两角小于两直角故己甲己乙〉 〈两線必相遇〉自己作己丙己丁己戊三線其甲 己乙角形之甲乙腰與乙己丙角形之乙 　丙腰等乙己同腰而两腰間之甲乙己丙乙己两角 　等即甲己己丙两底亦等乙甲己乙丙己两角亦等 　〈一卷四〉又乙甲戊與乙丙丁两角等而乙甲己為乙甲 　戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半則乙丙丁角亦两 　平分于己丙線矣依顯丙丁戊丁戊甲两角亦两平 分于己丁己戊两線矣次從己向各邊作 己庚己辛己壬己癸己子五垂線其甲己 庚角形之己甲庚己庚甲两角與甲己子 　角形之己甲子己子甲两角各等甲己同邊即两形 　必等〈一卷廿六〉己子與己庚两線亦等依顯己辛己壬己 　癸三垂線與己庚己子两垂線俱等末作圜以己為 　心庚為界必過辛壬癸子而為甲乙丙丁戊五邊形 　之内切圜〈三卷十六〉

第十四題

五邊等邊等角形求作形外切圜

　法曰甲乙丙丁戊五邊等邊等角形求作外切圜先 分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其線為 己甲己乙而相遇于己〈說見前〉次從己作己 丙己丁己戊三線依前題論推顯乙丙丁 　丙丁戊丁戊甲三角各两平分于己丙己丁己戊三 　線夫五角既等即其半減之角亦等而甲乙己角形 　之己甲乙己乙甲两角等即甲己與己乙两線亦等 　〈一卷六〉依顯己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末 　作圜以己為心甲為界必過乙丙丁戊而為甲乙丙 　丁戊五邊形之外切圜

第十五題

有圜求作圜内六邊切形其形等邊等角

　法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邊内切圜形 　等邊等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜 两圜相交于丙于戊次從庚心作丙庚 戊庚两線各引長之為丙己戊乙末作 甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相 　聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邊形而等邊等角

　論曰庚丙庚丁两線等而丁丙與丁庚亦等〈依圜界說〉三 　邊俱等即庚丙丁為平邊角形而庚丁丙丁丙庚丙 　庚丁三角俱等〈一卷五〉此三角元與两直角等〈一卷卅二〉即 　每角為两直角三分之一而丙庚丁角為两直角三 　分之一也依顯丁庚戊角亦两直角三分之一而丙 　庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于两直角〈一卷十三〉即戊 　庚己角亦两直角三分之一矣則丙庚丁丁庚戊戊 　庚己三角亦自相等而此三角與己庚甲甲庚乙乙 　庚丙三角亦等〈一卷十五〉是輳庚心之六角俱自相等而 　所乘之六圜分〈三卷廿六〉及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己 　甲六線俱自相等〈三卷廿九〉則甲乙丙丁戊己形之六邊 　等乂乙丙與甲己两圜分等而各加一丙丁戊己圜 　分即乙丙丁戊己與甲己戊丁丙两圜分等而所乘 　之乙甲己與甲乙丙两角等〈三卷廿七〉依顯乙丙丁丙丁 　戊丁戊己戊己甲四角與乙甲己甲乙丙两角俱等 　則甲乙丙丁戊己形之六角等

　一系凡圜之半徑為六分圜之一之分弦何者庚丁 　與丁丙等故故一開規為圜不動而可六平分之

　二系依前十二十三十四題可作六邊等邊等角形 　在圜之外又六邊等邊等角形内可作切圜又六邊 　等邊等角形外可作切圜

第十六題

有圜求作圜内十五邊切形其形等邊等角

　法曰甲乙丙圜求作十五邊内切圜形等邊等角先 作甲乙丙内切圜平邊三角形與丁等 　角〈本篇二〉即三邊等而甲乙乙丙丙甲三 圜分亦等〈三卷廿八〉夫甲乙丙圜十正分之 則甲乙三分圜之一當為十五分之五

　次從甲作甲戊己庚辛内切圜五邊形等角〈本篇十一〉即 　甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等〈三卷廿八〉夫甲乙丙 　圜十五分之則甲戊五分圜之一當為十五分之三 　而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分两平分于壬 　〈三卷卅〉則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共 　作十五合圜線〈本篇一〉則成十五邊等邊形而十五角 　所乘之圜分等即各角亦等〈三卷廿七〉

一系依前十二十三十四題可作外切圜十五邊 　形又十五邊形内可作切圜又十五邊 　形外可作切圜

　注曰依此法可設一法作無量數形 　如本題圖甲乙圜分為三分圜之一 即命三甲戊圜分為五分圜之一即命五三與五 相乘得十五即知此两分法可作十五邊形又如 甲乙命三甲戊命五三與五較得二即知戊乙得 十五分之二因分戊乙為两平分得壬乙線為十 五分之一可作内切圜十五邊形也以此法為例 作後題

增題若圜内從一㸃設切圜两不等等邊等角形 之各一邊此两邊一為若干分圜之一一為若干 分圜之一此两若干分相乘之數卽後作形之邊 數此两若干分之較數卽两邊相距之圜分所得 後作形邊數内之分數

法曰甲乙丙丁戊圜内從甲㸃作數形之各一邊 如甲乙為六邊形之一邊甲丙為五邊形之一邊 甲丁為四邊形之一邊甲戊為三邊形之一邊甲 乙命六甲丙命五較數一卽乙丙圜分為所作三 十邊等邊等角形之一邊何者五六相乘為三十 故當作三十邊也較數一故當為一邊 　也

論曰甲乙圜分為六分圜之一卽得三 十分圜之五而甲丙為五分圜之一卽得三十分 圜之六則乙丙得三十分圜之一也依顯乙丁為 二十四邊形之二邊也何者甲乙命六甲丁命四 六乘四得二十四也又較數二也依顯乙戊為十 八邊形之三邊也丙丁為二十邊形之一邊也丙 戊為十五邊形之二邊也丁戊為十二邊形之一 邊也

　二系凡作形于圜之内等邊則等角何者形之角所 　乘之圜分皆等故〈三卷廿七〉凡作形于圜之外即從圜心 　作直線抵各角依本篇十二題可推顯各角等

　三系凡等邊形既可作在圜内即依圜内形可作在 　圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十 　二十三十四題

　四系凡圜内有一形欲作他形其形邊倍于此形邊 　即分此形一邊所合之圜分為两平分而每分各作 　一合線即三邊可作六邊四邊可作八邊倣此以至 　無窮

　又補題圜内有同心圜求作一多邊形切大圜不至 　小圜其多邊為偶數而等

法曰甲乙丙丁戊两圜同以己為心求 于甲乙丙大圜内作多邊切形不至丁 戊小圜其多邊為偶數而等先從己心 作甲丙徑線截丁戊圜于戊次從戊作 　庚辛為甲戊之垂線即庚辛線切丁戊圜于戊也〈三卷〉 　〈十六之系〉夫甲庚丙圜分雖大于丙庚若于甲庚丙減其 　半甲乙存乙丙又減其半乙壬存壬丙又減其半壬 　癸如是逓減至其減餘丙癸必小于丙庚〈如下補論〉既得 　丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所 　求切圜形之一邊也次分乙壬圜分其分數與丙壬 　之分數等次分甲乙與乙丙分數等分丙甲與甲乙 　丙分數等則得所求形〈三卷廿九〉而不至丁戊小圜

　論曰試從癸作癸子為甲丙之垂線遇甲丙于丑其 　庚戊丑癸丑戊两皆直角即庚辛癸子為平行線〈一卷〉 　〈廿八〉庚辛線之切丁戊圜既止一㸃即癸子線更在其 　外必不至丁戊矣何況丙癸更逺于丑癸乎依顯其 　餘與丙癸等邊同度距心者〈三卷十四〉俱不至丁戊圜也 　〈此係十二卷第十六題因六卷今増題宜藉此論故先類附于此〉

　補論其題曰两幾何不等若于大率逓減其大半必 　可使其減餘小于元設小率

　解曰甲乙大率丙小率題言于甲乙逓減其大半至 　可使其減餘小于丙

論曰試以丙倍之又倍之至僅大于甲乙而 止為丁戊丁戊之分為丁己己庚庚戊各與丙 等也次于甲乙減其大半甲辛存辛乙又減 　其大半辛壬存壬乙如是逓減至甲乙與丁戊之分 　數等夫甲辛辛壬壬乙與丁己己庚庚戊分數既等 　丁戊又大于甲乙若两率各為两分而大丁戊之減 　丁己止于半小甲乙之減甲辛為大半即丁戊之減 　餘必大于甲乙之減餘也若各為多分而己戊尚多 　于丙者即又于己戊減己庚于辛乙減其大半辛壬 　如是逓減卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分 　壬乙也而庚戊元與丙等是壬乙小于丙也

　又論曰若于甲乙逓減其半亦同前論何者大丁戊 　所減不大于半則丁戊之減餘每大于甲乙之減餘 　以至末分亦大于末分〈此係十卷第一題借用于此以足上論〉

幾何原本卷四