几何原本/卷四

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几何原本 卷四

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西洋利玛窦译

卷四之首

界说七则

第一界

直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各边 　为形内切形

　此卷将论切形在圜之内外及作圜在形之内外故 解形之切在形内及切在形外者先以直 线形为例如前图丁戊己角形之丁戊己 三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三 边则丁戊己为甲乙丙之形内切形如后 图癸子丑角形虽癸子两角切庚辛壬角 形之庚辛壬庚两边而丑角不切辛壬边 　则癸子丑不可谓庚辛壬之形内切形

第二界

一直线形居他直线形外而此形之各边切他形之各 　角为形外切形

　如第一界图甲乙丙为丁己戊之形外切形　其馀 　各形仿此二例

第三界

直线形之各角切圜之界为圜内切形 甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙 是也

第四界

直线形之各边切圜之界为圜外切形 甲乙丙形之三边切圜界于丁于己于戊 是也

第五界

圜之界切直线形之各边为形内切圜 　同第四界图

第六界

圜之界切直线形之各角为形外切圜 　同第三界图

第七界

直线之两界各抵圜界为合圜线 甲乙线两界各抵甲乙丙圜之界为合圜线 若丙抵圜而丁不至及戊之两俱不至不为 合圜线 　

卷四

第一题

有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线

法曰甲乙丙圜求作合线与所设丁线等 　　　　　其丁线不大于圜之径线〈径为圜内之最大线更大不可〉 〈合见三卷十五〉先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与 　丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取 　乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙 　丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙 　戊等则与丁等

第二题

有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角

　法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设 　丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲〈三卷十七〉 次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛 甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即 圜内三角切形与所设丁戊己形等角

论曰甲丙乙与庚甲乙两角等甲乙丙与 　辛甲丙两角亦等〈三卷卅二〉而庚甲乙辛甲丙两角既与 　所设己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各 　等而乙甲丙必与丁等〈一卷卅二〉则三角俱等

第三题

有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角

法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三 角与所设丁戊己形之三角各等先于戊 己一边引长之为庚辛次于圜界抵心作 甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作 乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作 　癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙〈三卷十六〉 　〈之系〉而相遇于子于丑于癸〈若作甲丙线郎癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而〉 　　　　　〈子癸丑癸两线必相遇馀二仿此〉此癸子丑三角与所设 丁戊己三角各等

论曰甲壬乙子四边形之四角与四直角 　等〈一卷卅二题内〉而壬甲子壬乙子两为直角即 甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊 　庚丁戊己两角并亦等两直角〈一卷十三〉此二等率者每 　减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子 　乙等依显丑角与丁己戊等则癸与丁亦等〈一卷卅二〉而 　癸子丑与丁戊己两形之各三角俱等

第四题

三角形求作形内切圜

法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙 丙角甲丙乙角各两平分之〈一卷九〉作乙丁丙 丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三边 各作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形 　之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁 　乙己两角各等乙丁同边即丁戊丁己两边亦等〈一卷〉 　〈廿六〉依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己丁庚两 　边亦等即丁戊丁己丁庚三线俱等末作圜以丁为 　心戊为界即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙 　乙丙丙甲三边于戊于己于庚〈三卷十六之系〉此为形内切 　圜

第五题

三角形求作形外切圜

　法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分两边〈若形是直〉 　〈角钝角则分直角钝角之两旁边〉于丁于戊次于丁戊上各作垂线 　　　　　为己丁己戊而相遇于己〈若自丁至戊作直线即己丁戊〉 　　　　　〈角形之己丁戊己戊丁两角小于两直角故丁己戊己两线必相遇〉其己点 或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙 三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁 己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两 腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即 甲己己乙两底必等〈一卷四〉依显甲己戊丙 己戊两形之甲己己丙两底亦等则己甲 己乙己丙三线俱等末作圜以己为心甲 　为界必切丙乙而为角形之形外切圜

　一系若圜心在三角形内即三角形为锐角形何者 　每角在圜大分之上故若在一边之上即为直角形 　若在形外即为钝角形

　二系若三角形为锐角形即圜心必在形内若直角 　形必在一边之上若钝角形必在形外

増从此推得一法任设三点不在一直线可作一 过三点之圜其法先以三点作三直线相联成三 角形次依前作 　其同法甲乙丙三点先以甲乙两点 　各自为心相向各任作圜分令两圜 　分相交于丁于戊次甲丙两点亦如 　之令两圜分相交于己于庚末作丁 戊己庚两线各引长之令相交于辛即辛为圜之 　　心　论见三卷二十五增

第六题

有圜求作内切圜直角方形

法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角 方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于 　戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内 　切圜直角方形

　论曰甲乙戊角形之甲戊与乙戊丙角形之戊丙两 　腰等乙戊同腰而腰间角两为直角即其底甲乙乙 　丙等〈一卷四〉依显乙丙丙丁亦等则四边形之四边俱 　等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角〈三卷〉 　〈卅一〉是为内切圜直角方形

第七题

有圜求作外切圜直角方形

　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先 作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于 甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两 　径之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛 　为外切圜直角方形

　论曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行〈一卷〉 　〈廿八〉依显甲丙庚壬亦平行则己庚辛壬亦平行〈一卷三十〉 　又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等〈一卷卅四〉而甲 　丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦 　直角依显庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三边俱 　等于甲丙乙丁两径既四边俱等于两径则己庚壬 　辛为直角方形而四边各切圜〈三卷十六之系〉

第八题

直角方形求作形内切圜

法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先 以四边各两平分于戊于己于庚于辛而作 　辛己戊庚两线交于壬其甲丁与乙丙既平行相等 　即半减线之甲辛乙己亦平行相等而甲乙与辛己 亦平行相等〈一卷卅三〉依显丁丙与辛己亦平行 相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙 　壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四线 　与甲辛戊乙丁辛甲戊四线各等夫甲辛戊乙丁辛 　甲戊各为等线之半即与之等者壬戊壬己壬庚壬 　辛亦自相等次作圜以壬为心戊为界必过己庚辛 　而切甲丁丁丙丙乙乙甲四边〈三卷十六〉是为形内切圜

第九题

直角方形求作形外切圜

法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作 对角两线为甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁 　角形之甲乙甲丁两腰等即甲乙丁甲丁乙两角亦 　等〈一卷五〉而乙甲丁为直角即甲乙丁甲丁乙俱半直 　角〈一卷卅二〉依显丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱 　等又戊甲丁戊丁甲两角等即戊甲戊丁两边亦等 　〈一卷六〉依显戊甲戊乙两边亦等而戊乙戊丙两边戊 　丙戊丁两边各等次作圜以戊为心甲为界必过乙 　丙丁而为形外切圜

第十题

求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角

法曰先任作甲乙线次分之于丙其分法 须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直 角方形等〈二卷十一〉次以甲为心乙为界作乙 　丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等〈本篇一〉末作甲丁线 　相联其甲乙甲丁等即甲乙丁为两边等角形而甲 　乙丁甲丁乙两角各倍大于甲角

　论曰试作丙丁线而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜 　〈本篇五〉其甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方 　形等即亦与至规外之乙丁上直角方形等而乙丁 　线切甲丙丁圜于丁〈三卷卅七〉即乙丁切线偕丁丙割线 　所作乙丁丙角与负丁甲丙圜分之甲角交互相等 　〈三卷卅二〉此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与 　丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角亦与丙甲 　丁丙丁甲相对之两内角等〈一卷卅二〉即乙丙丁角与甲 　丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁 　两线亦等〈一卷六〉夫乙丁元与甲丙等即丙丁与甲丙 　亦等丙甲丁丙丁甲两角亦等而甲角既与乙丁丙 　角等即乙丁丙与丙丁甲两角亦等是甲丁乙倍大 　于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙 　丁亦倍大于甲也

第十一题

有圜求作圜内五边切形其形等边等角

法曰甲乙丙丁戊圜求作五边内切圜形 等边等角先作己庚辛两边等角形而庚 辛两角各倍大于己角〈本篇十〉次于圜内作 甲丙丁角形与己庚辛角形各等角〈本篇二〉 　次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分〈一卷九〉作丙戊丁 　乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相联即 　甲乙丙丁戊为五边内切圜形而五边五角俱自相 　等

　论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角而两 　角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲 　五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲 　五圜分亦等〈三卷廿六〉即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线 　亦等〈三卷廿九〉是五边形之五边等又甲乙戊丁两圜分 　等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁与戊丁丙乙 　两圜分等乘两圜分之甲戊丁乙甲戊两角亦等依 　显馀三角与两角俱等是五边形之五角等

第十二题

有圜求作圜外五边切形其形等边等角

法曰甲乙丙丁戊圜求作五边外切圜形 等边等角先作圜内甲乙丙丁戊五边等 边等角切形〈本篇十一〉次从己心作己甲己乙 　己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸 　癸子子庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子〈庚戊〉 　〈甲庚甲戊两角小于两直角故甲庚戊庚线必相遇馀四仿此〉五垂线既切圜〈三卷十六〉 　即成外切圜五边形而等边等角

　论曰试从己心作己庚己辛己壬己癸己子五线其 　己甲甲辛上两直角方形己乙乙辛上两直角方形 　之两并各与己辛上直角方形等〈一卷四七〉即两并自相 　等此两并率者每减一相等之甲己己乙上直角方 　形即所存甲辛辛乙上两直角方形等则甲辛辛乙 　两线等也又甲己辛角形之甲己与乙己辛角形之 　乙己两腰等己辛同腰而甲辛辛乙两底又等即甲 　己辛辛己乙两角等〈一卷八〉而甲辛己乙辛己两角亦 　等〈一卷四〉则甲己乙角倍大于辛己乙角也依显乙己 　丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬 　己角也又甲己乙乙己丙两角乘甲乙乙丙相等之 　两圜分〈线等故圜分等见三卷廿八〉即两角自相等〈三卷廿七〉半减之 　辛己乙乙己壬两角亦等　乙己辛角形之乙己辛 　辛乙己两角与乙己壬角形之乙己壬壬乙己两角 　各等而乙己同边是辛乙乙壬两边亦等也〈一卷廿六〉乙 　辛己乙壬己两角亦等也则辛壬线倍大于辛乙线 也依显庚辛线亦倍大于辛甲线也前己 显甲辛辛乙两线等则倍大之庚辛辛壬 两线亦等也依显壬癸癸子子庚与庚辛 　辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五边等又依前 　所显乙辛己与乙壬己两角等是乙辛甲之减半角 　与乙壬丙之减半角等即倍大之乙辛甲与乙壬丙 　亦等也依显辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛与庚辛 　壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五角等

第十三题

五边等边等角形求作形内切圜

　法曰甲乙丙丁戊五边等边等角形求作内切圜先 　分乙甲戊甲乙丙两角各两平分〈一卷九〉其线为己甲 　　　　　己乙而相遇于己〈己甲乙己乙甲两角小于两直角故己甲己乙〉 〈两线必相遇〉自己作己丙己丁己戊三线其甲 己乙角形之甲乙腰与乙己丙角形之乙 　丙腰等乙己同腰而两腰间之甲乙己丙乙己两角 　等即甲己己丙两底亦等乙甲己乙丙己两角亦等 　〈一卷四〉又乙甲戊与乙丙丁两角等而乙甲己为乙甲 　戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半则乙丙丁角亦两 　平分于己丙线矣依显丙丁戊丁戊甲两角亦两平 分于己丁己戊两线矣次从己向各边作 己庚己辛己壬己癸己子五垂线其甲己 庚角形之己甲庚己庚甲两角与甲己子 　角形之己甲子己子甲两角各等甲己同边即两形 　必等〈一卷廿六〉己子与己庚两线亦等依显己辛己壬己 　癸三垂线与己庚己子两垂线俱等末作圜以己为 　心庚为界必过辛壬癸子而为甲乙丙丁戊五边形 　之内切圜〈三卷十六〉

第十四题

五边等边等角形求作形外切圜

　法曰甲乙丙丁戊五边等边等角形求作外切圜先 分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为 己甲己乙而相遇于己〈说见前〉次从己作己 丙己丁己戊三线依前题论推显乙丙丁 　丙丁戊丁戊甲三角各两平分于己丙己丁己戊三 　线夫五角既等即其半减之角亦等而甲乙己角形 　之己甲乙己乙甲两角等即甲己与己乙两线亦等 　〈一卷六〉依显己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末 　作圜以己为心甲为界必过乙丙丁戊而为甲乙丙 　丁戊五边形之外切圜

第十五题

有圜求作圜内六边切形其形等边等角

　法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形 　等边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜 两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚 戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作 甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相 　聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六边形而等边等角

　论曰庚丙庚丁两线等而丁丙与丁庚亦等〈依圜界说〉三 　边俱等即庚丙丁为平边角形而庚丁丙丁丙庚丙 　庚丁三角俱等〈一卷五〉此三角元与两直角等〈一卷卅二〉即 　每角为两直角三分之一而丙庚丁角为两直角三 　分之一也依显丁庚戊角亦两直角三分之一而丙 　庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于两直角〈一卷十三〉即戊 　庚己角亦两直角三分之一矣则丙庚丁丁庚戊戊 　庚己三角亦自相等而此三角与己庚甲甲庚乙乙 　庚丙三角亦等〈一卷十五〉是辏庚心之六角俱自相等而 　所乘之六圜分〈三卷廿六〉及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己 　甲六线俱自相等〈三卷廿九〉则甲乙丙丁戊己形之六边 　等乂乙丙与甲己两圜分等而各加一丙丁戊己圜 　分即乙丙丁戊己与甲己戊丁丙两圜分等而所乘 　之乙甲己与甲乙丙两角等〈三卷廿七〉依显乙丙丁丙丁 　戊丁戊己戊己甲四角与乙甲己甲乙丙两角俱等 　则甲乙丙丁戊己形之六角等

　一系凡圜之半径为六分圜之一之分弦何者庚丁 　与丁丙等故故一开规为圜不动而可六平分之

　二系依前十二十三十四题可作六边等边等角形 　在圜之外又六边等边等角形内可作切圜又六边 　等边等角形外可作切圜

第十六题

有圜求作圜内十五边切形其形等边等角

　法曰甲乙丙圜求作十五边内切圜形等边等角先 作甲乙丙内切圜平边三角形与丁等 　角〈本篇二〉即三边等而甲乙乙丙丙甲三 圜分亦等〈三卷廿八〉夫甲乙丙圜十正分之 则甲乙三分圜之一当为十五分之五

　次从甲作甲戊己庚辛内切圜五边形等角〈本篇十一〉即 　甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等〈三卷廿八〉夫甲乙丙 　圜十五分之则甲戊五分圜之一当为十五分之三 　而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分两平分于壬 　〈三卷卅〉则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共 　作十五合圜线〈本篇一〉则成十五边等边形而十五角 　所乘之圜分等即各角亦等〈三卷廿七〉

一系依前十二十三十四题可作外切圜十五边 　形又十五边形内可作切圜又十五边 　形外可作切圜

　注曰依此法可设一法作无量数形 　如本题图甲乙圜分为三分圜之一 即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三与五 相乘得十五即知此两分法可作十五边形又如 甲乙命三甲戊命五三与五较得二即知戊乙得 十五分之二因分戊乙为两平分得壬乙线为十 五分之一可作内切圜十五边形也以此法为例 作后题

增题若圜内从一点设切圜两不等等边等角形 之各一边此两边一为若干分圜之一一为若干 分圜之一此两若干分相乘之数即后作形之边 数此两若干分之较数即两边相距之圜分所得 后作形边数内之分数

法曰甲乙丙丁戊圜内从甲点作数形之各一边 如甲乙为六边形之一边甲丙为五边形之一边 甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲 乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为所作三 十边等边等角形之一边何者五六相乘为三十 故当作三十边也较数一故当为一边 　也

论曰甲乙圜分为六分圜之一即得三 十分圜之五而甲丙为五分圜之一即得三十分 圜之六则乙丙得三十分圜之一也依显乙丁为 二十四边形之二边也何者甲乙命六甲丁命四 六乘四得二十四也又较数二也依显乙戊为十 八边形之三边也丙丁为二十边形之一边也丙 戊为十五边形之二边也丁戊为十二边形之一 边也

　二系凡作形于圜之内等边则等角何者形之角所 　乘之圜分皆等故〈三卷廿七〉凡作形于圜之外即从圜心 　作直线抵各角依本篇十二题可推显各角等

　三系凡等边形既可作在圜内即依圜内形可作在 　圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十 　二十三十四题

　四系凡圜内有一形欲作他形其形边倍于此形边 　即分此形一边所合之圜分为两平分而每分各作 　一合线即三边可作六边四边可作八边仿此以至 　无穷

　又补题圜内有同心圜求作一多边形切大圜不至 　小圜其多边为偶数而等

法曰甲乙丙丁戊两圜同以己为心求 于甲乙丙大圜内作多边切形不至丁 戊小圜其多边为偶数而等先从己心 作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作 　庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也〈三卷〉 　〈十六之系〉夫甲庚丙圜分虽大于丙庚若于甲庚丙减其 　半甲乙存乙丙又减其半乙壬存壬丙又减其半壬 　癸如是逓减至其减馀丙癸必小于丙庚〈如下补论〉既得 　丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所 　求切圜形之一边也次分乙壬圜分其分数与丙壬 　之分数等次分甲乙与乙丙分数等分丙甲与甲乙 　丙分数等则得所求形〈三卷廿九〉而不至丁戊小圜

　论曰试从癸作癸子为甲丙之垂线遇甲丙于丑其 　庚戊丑癸丑戊两皆直角即庚辛癸子为平行线〈一卷〉 　〈廿八〉庚辛线之切丁戊圜既止一点即癸子线更在其 　外必不至丁戊矣何况丙癸更远于丑癸乎依显其 　馀与丙癸等边同度距心者〈三卷十四〉俱不至丁戊圜也 　〈此系十二卷第十六题因六卷今増题宜借此论故先类附于此〉

　补论其题曰两几何不等若于大率逓减其大半必 　可使其减馀小于元设小率

　解曰甲乙大率丙小率题言于甲乙逓减其大半至 　可使其减馀小于丙

论曰试以丙倍之又倍之至仅大于甲乙而 止为丁戊丁戊之分为丁己己庚庚戊各与丙 等也次于甲乙减其大半甲辛存辛乙又减 　其大半辛壬存壬乙如是逓减至甲乙与丁戊之分 　数等夫甲辛辛壬壬乙与丁己己庚庚戊分数既等 　丁戊又大于甲乙若两率各为两分而大丁戊之减 　丁己止于半小甲乙之减甲辛为大半即丁戊之减 　馀必大于甲乙之减馀也若各为多分而己戊尚多 　于丙者即又于己戊减己庚于辛乙减其大半辛壬 　如是逓减卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分 　壬乙也而庚戊元与丙等是壬乙小于丙也

　又论曰若于甲乙逓减其半亦同前论何者大丁戊 　所减不大于半则丁戊之减馀每大于甲乙之减馀 　以至末分亦大于末分〈此系十卷第一题借用于此以足上论〉

幾何原本卷四