幾何原本/卷三

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西洋利瑪竇譯

卷三之首

界説十則

第一界

凡圜之徑線等或從心至圜界線等為等圜 三卷將論圜之情故先為圜界説此解 圜之等者如上圖甲乙乙丙两徑等或 丁己戊庚從心至圜界等即甲己乙乙 庚丙两圜等若下圖甲乙乙丙两徑不 　等或丁己戊庚從心至圜界不等則两圜亦不等矣

第二界

凡直線切圜界過之而不與界交為切線 甲乙線切乙己丁圜之界乙又引長之至 丙而不與界交其甲丙線全在圜外為切 線若戊己線先切圜界而引之至庚入圜 内則交線也

第三界

凡两圜相切而不相交為切圜 　甲乙两圜不相交而相切于丙或切于外如第一圖 　　　　　　　　　　或切于内如第三圖其第二 　　　　　　　　　　第四圖則交圜也

第四界

凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距 　心逺近之度 凡一點至一直線上惟垂線至近其他即 逺垂線一而已逺者無數也故欲知點與 線相去逺近必用垂線為度試如前圖甲 點與乙丙線相去逺近必以甲丁垂線為 度為甲丁一線獨去直線至近他若甲戊 甲己諸線愈大愈逺乃至無數故如後圖 　説甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁两線其去戊心逺近 　等為己戊庚戊两垂線等故若辛壬線去戊心近矣 　為戊癸垂線小故

第五界

凡直線割圜之形為圜分 甲乙丙丁圜之乙丁直線任割圜之一分 如甲乙丁及乙丙丁两形皆為圜分凡分 　有三形其過心者為半圜分函心者為圜大分不函 　心者為圜小分又割圜之直線為弦所割圜界之一 　分為弧

第六界

凡圜界偕直線内角為圜分角 　以下三界論圜角三種本界所言雜 　圜也其在半圜分内為半圜角在大 　分内為大分角在小分内為小分角

第七界

凡圜界任于一點出两直線作一角為負圜分角 甲乙丙圜分甲丙為底于乙點出两直線作 甲乙丙角形其甲乙丙角為負甲乙丙圜分 　角

第八界

若两直線之角乘圜之一分為乘圜分角 甲乙丙丁圜内于甲點出甲乙甲丁两線其 乙甲丁角為乘乙丙丁圜分角 圜角三種之外又有一種為切邊角或直線切圜 或两圜相切其两圜相切者又或内或外 如上圖甲乙線切丙丁戊圜于丙即甲丙 丁乙丙戊两角為切邊角又丙丁戊己戊 庚两圜外相切于戊及己戊庚己辛壬两 圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱 為切邊角

第九界

凡從圜心以两直線作角偕圜界作三角形為分圜形 甲乙丙丁圜從戊心出戊甲戊丙两線偕甲 丁丙圜界作角形為分圜形

第十界

凡圜内两負圜分角相等即所負之圜分相似 甲乙丙丁圜内有甲乙己與丁丙戊两負 圜分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戊 两圜分相似 又有两圜或等或不等其負圜分角等即圜分俱 　　　　　　　　　　　　　　相似如上三圖三 　　　　　　　　　　　　　　圜之甲乙丙丁戊 己庚辛壬三負圜分角等即所負甲乙丙丁戊己 　　庚辛壬三圜分相似〈相似者如云同為幾分圜之幾也〉

　

卷三

第一題

有圜求尋其心

法曰甲乙丙丁圜求尋其心先于圜之两 界任作一甲丙直線次两平分之于戊〈一卷〉 　〈十〉次于戊上作乙丁垂線两平分之于己即己為圜 　心

　論曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下 　何者乙丁線既平分于己離平分不能為心故必言 　心在乙丁線外為庚即令自庚至丙至戊至甲各作 直線則甲庚戊角形之甲戊既與丙庚戊 角形之丙戊两邊等戊庚同邊而庚甲庚 　丙两線俱從心至界宜亦等即對等邊之庚戊甲庚 　戊丙两角宜亦等〈一卷八〉而為两直角矣〈一卷界説十〉夫乙 　戊甲既直角而庚戊甲又為直角可不可也 　系因此推顯圜内有直線分他線為两平分而作直 　角即圜心在其内

第二題

圜界任取二點以直線相聯則直線全在圜内

解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二點作直 線相聨題言甲丙線全在圜内

　論曰如云在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙圜之戊 　心〈本篇一〉次作戊甲戊丙两直線次于甲丁丙線上作 　戊乙丁線而與圜界遇于乙即戊甲丁丙當為三角 　形以甲丁丙為底戊甲戊丙两腰等其戊甲丙戊丙 　甲两角宜等〈一卷五〉而戊丁甲為戊丙丁之外角宜大 　于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角〈一卷十六〉則對戊丁 　甲大角之戊甲線宜大于戊丁線矣〈一卷十九〉夫戊甲與 戊乙本同圜之半徑等據如所論則戊乙 亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而 　在圜界依前論令戊甲大于戊乙亦不可通也

第三題

直線過圜心分他直線為两平分其分處必為两直角 　為两直角必两平分

解曰乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁 線為两平分于己題言甲己必是垂線而 　己旁為两直角又言己旁既為两直角則甲己分乙 　丁必两平分

　先論曰試從甲作甲乙甲丁两線即甲乙己角形之 　乙己與甲丁己角形之丁己两邊等甲己同邊甲乙 　甲丁两線俱從心至界又等即两形等則其對等邊 　之甲己乙甲己丁亦等〈一卷八〉而為两直角矣

　後論曰如前作甲乙甲丁两線甲乙丁角形之甲乙 　甲丁两邊既等則甲乙丁甲丁乙两角亦等〈一卷五〉又 　甲乙己角形之甲己乙甲乙己两角與甲丁己角形 　之甲己丁甲丁己两角各等而對直角之甲乙甲丁 　两邊又等則己乙己丁两邊亦等〈一卷廿六〉 　欲顯次論之㫖又有一説如甲丁上直角方形與甲 　己己丁上两直角方形并等〈一卷四七〉而甲乙上直角方 形與甲己乙己上两直角方形并亦等即 甲己己乙上两直角方形并與甲己己丁 　上两直角方形并亦等此二率者每減一甲己上直 　角方形則所存乙己己丁上两直角方形自相等而 　两邊亦等

第四題

圜内不過心两直線相交不得俱為两平分

解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直線 　　　　　俱不過己心〈若一過心一不過心即两線不得俱為两平分其理易顯〉 　而交于戊題言两直線或有一線為两平分不得俱 　為两平分

　論曰若云不然而甲乙丙丁能俱两平分于戊試令 　尋本圜心于己〈本篇一〉從己至戊作甲乙之垂線其己 　戊既分甲乙為两平分即為两直角〈本篇三〉而又能分 　丙丁為两平分亦宜為两直角是己戊甲為直角而 　己戊丙亦直角全與其分等矣

第五題

两圜相交必不同心

解曰甲乙丁戊乙丁两圜交于乙于丁題 言两圜不同心

　論曰若言丙為同心令自丙至乙至甲各作直線其 丙乙至圜交而丙甲截两圜之界于戊于 甲夫丙既為戊乙丁圜之心則丙乙與丙 　戊等而又為甲乙丁圜之心則丙乙與丙甲又等是 　丙戊與丙甲亦等而全與其分等也

第六題

两圜内相切必不同心

解曰甲乙丙乙两圜内相切于乙題言两圜 不同心

　論曰若言丁為同心令自丁至乙至丙各作直線其 　丁乙至切界而丁丙截两圜之界于甲于丙夫丁既 　為甲乙圜之心則丁乙與丁甲等而又為丙乙圜之 　心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與 　其分等也

第七題

圜徑離心任取一點從點至圜界任出幾線其過心線 　最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過 　心線者愈小而諸線中止两線等

解曰甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離 心任取一點為庚從庚至圜界任出幾線 為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸線 惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小 三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近 心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙两旁止 　可出两線等

　先論曰試從已心出三線至丙至丁至戊其丙己庚 　角形之丙己己庚两邊并大于丙庚一邊〈一卷二十〉而丙 　己己庚等于甲己己庚則庚甲大于庚丙依顯庚丁 　庚戊俱小于庚甲是庚甲最大

　次論曰己庚戊角形之己戊一邊小于己庚庚戊两 　邊并〈一卷二十〉而己戊與己乙等則己乙小于己庚庚戊 　并矣次各減同用之己庚則庚乙小于庚戊依顯庚 　戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小

　三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己 　两邊等己庚同邊而丙己庚角大于丁己庚角〈全大于分〉 　則對大角之庚丙邊大于對小角之庚丁邊〈一卷廿四〉依 　顯庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小

　後論曰試依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界為 　己辛線次從庚作庚辛線其戊己庚角形之戊己腰 　與庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰两腰間角 　又等則對等角之庚戊庚辛两底亦等〈一卷四〉而庚乙 　两旁之庚戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之 　上即依第三論大于庚辛在辛之下即小于庚辛故 　云庚乙两旁止可出庚戊庚辛两線等

第八題

圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規内則過圜心線 　最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑 　之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止两線 　等

　　　　　　　　解曰乙丙丁戊圜之外從甲㸃任 　　　　　　　　出幾線其一為過癸心之甲壬其 　　　　　　　　餘為甲辛為甲庚為甲己皆至規 　　　　　　　　内〈規内線者如車輻之指牙〉題先言過心之甲 　壬最大次言近心之甲辛大于離心之甲庚甲庚又 　大于甲己三反上言規外之甲乙為乙壬徑餘者〈規外〉 　〈線者如車輻之湊轂〉最小四言甲丙近徑餘小于甲丁甲丁又 　小于甲戊後言甲乙两旁止可出两線等

　先論曰試從癸心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲 　癸辛角形之甲癸癸辛两邊并大于甲辛一邊〈一卷二十〉 　而甲癸癸辛與甲壬等則甲壬大于甲辛依顯甲壬 　更大于甲庚甲己而過心之甲壬最大

　次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚 　两邊等甲癸同邊而甲癸辛角大于甲癸庚角〈全大于分〉 　則對大角之甲辛邊大于對小角之甲庚邊〈一卷廿四〉依 　顯甲庚大于甲己而規内線愈離心愈小

　　　　　　　　三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊 　　　　　　　　小于甲丙丙癸两邊并〈一卷二十〉次每 　　　　　　　　減一相等之乙癸丙癸則甲乙小 　　　　　　　　于甲丙矣依顯甲乙更小于甲丁 　甲戊而規外甲乙最小

　四論曰甲丁癸角形之内從甲與癸出甲丙丙癸两 　邊并小于甲丁丁癸两邊并〈一卷廿一〉此二率者每減一 　相等之丙癸丁癸則甲丙小于甲丁矣依顯甲丙更 　小于甲戊而愈近徑餘甲乙者愈小

　後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作 　甲子線其甲子癸角形之甲癸癸子两腰與甲癸丙 　角形之甲癸癸丙两腰各等而两腰間角又等則對 　等角之甲子甲丙两底亦等也〈一卷四〉此外若有從甲 　出線在子之上即依第四論小于甲丙在子之下即 　大于甲丙故云甲乙两旁止可出甲丙甲子两線等

第九題

圜内從一㸃至界作三線以上皆等即此㸃必圜心

解曰從甲㸃至乙丙丁圜界作甲乙甲丙 甲丁三直線若等題言甲㸃為圜心三以 上等者更不待論

論曰試于乙丙丙丁界作乙丙丙丁两直 線相聨此两線各两平分于戊于己從甲 出两直線為甲戊為甲己其甲乙戊角形 　之甲乙與甲戊丙角形之甲丙两腰既等甲戊同腰 　乙戊戊丙两底又等即甲戊乙與甲戊丙两角亦等 　〈一卷八〉為两直角依顯甲己丙甲己丁亦等為两直角 　則甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分為直角而此两 　線俱為函心線〈本篇一之系〉定相遇于甲甲為圜心矣

又論曰若言甲非心心在于戊者令戊甲 相聨引作己庚徑線即甲是戊心外所取 一㸃而從甲所出線愈近心者宜愈大矣 　〈本篇七〉則甲丁宜大于甲丙而先設等何也

第十題

两圜相交止于两㸃

論曰若言甲乙丙丁戊己圜與甲庚乙丁 辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙 乙丁两直線相聯此两線各两平分于壬 于癸次從壬癸作子壬子癸两垂線其子 　壬分甲乙子癸分乙丁既皆两平分而各為两直角 　即子壬子癸两線俱為甲庚乙丁辛戊圜之函心線 〈本篇一之系〉而子為其心矣依顯甲乙丙丁戊 己圜亦以子為心也夫两交之圜尚不得 同心〈本篇五〉何縁得有三交

又論曰若言两圜三相交于甲于乙于丁 令先尋甲庚乙丁辛戊圜之心于壬〈本篇一〉 次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線 此三線等也〈一卷界説十五〉又甲乙丙丁戊己圜 内有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線 　則壬又為甲乙丙丁戊己圜之心〈本篇九〉不亦交圜同 　心乎〈本篇五〉

第十一題

两圜内相切作直線聯两心引出之必至切界

解曰甲乙丙甲丁戊两圜内相切于甲而 己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心題言 作直線聨庚己两心引抵圜界必至甲

　論曰如云不至甲而截两圜界于乙丁及丙戊令從 　甲作甲己甲庚两線其甲己庚角形之庚己己甲 　两邊并大于庚甲一邊〈一卷二十〉而同圜心所出之庚甲庚 　丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各減同 　用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲與己乙是 　内圜同心所出等線則己乙亦大于己丁而分大于 　全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心亦依 　前轉説之甲己庚角形之己庚庚甲两邊并大于 　甲己一邊〈一卷二十〉而同圜心所出之己甲己戊宜等即 己庚庚甲大于己戊矣此二率者各減同 用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲 與庚丙是内圜同心所出等線則庚丙 　亦大于庚戊而分大子全也可乎

第十二題

两圜外相切以直線聯两心必過切界

　解曰甲乙丙丁乙戊两圜外相切于乙其甲乙丙心 　為己丁乙戊心為庚題言作己庚直線必過乙

論曰如云不然而己庚線截两圜界于戊于 丙令于切界作乙己乙庚两線其乙己庚角 形之己乙乙庚两邊并大于己庚一邊而乙 　庚與庚戊乙己與己丙俱同心所出線宜各等即庚 　戊丙己两線并亦大于庚己一線矣〈一卷二十〉夫庚己線 　分為庚戊丙己尚餘丙戊而云庚戊丙己大于庚己 　則分大于全也故直線聨己庚必過乙

第十三題〈二支〉

圜相切不論内外止以一㸃

先論曰甲乙丙丁與甲戊丙己两圜内相 切若云有两㸃相切于甲又于丙令作直 線函两圜心庚辛引出之如前圖宜至相 切之甲之丙〈本篇十一〉則甲丙為两圜之同徑 矣而此徑線者两平分于庚又两平分于 　　　　　辛何也〈一直線止以一㸃两平分〉若云庚辛引出直線 　一抵甲一截两圜之界于癸于壬即如後圖令從两 　心各作直線至又相切之丙次問之甲乙丙丁圜之 　心為庚邪辛邪如曰庚也而辛為甲戊内己之心則 　丙庚辛角形之庚辛辛丙两邊并大于庚丙一邊〈一卷〉 　〈二十〉而庚辛辛丙與庚癸宜等〈辛癸辛丙同圜心所出故〉即庚癸亦 　大于庚丙矣夫庚丙與庚壬者外圜同心所出等線 　也將庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚為甲戊 　丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙两邊并大于 　辛丙一邊〈一卷二十〉而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙亦 　大于辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦 　大于庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圜心所出等線 　也而安有大小

後論曰甲乙與乙丙两圜外相切于已從甲 乙之丁心丙乙之戊心作直線相聨必過已 〈本篇十三〉若云又相切于乙令自乙至丁至戊各 　作直線其丁乙乙戊并宜與丁戊等而為角形之两 　腰又宜大于丁戊〈一卷二十〉則两圜相切安得两㸃 又後論曰更令于两相切之乙之己作直線 相聨其直線當在甲乙圜内〈本篇二〉又當在乙 丙圜内何所置之

第十四題〈二支〉

圜内两直線等即距心之逺近等距心之逺近等即两 　直線等 　先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两線等 　題言两線距戊心逺近亦等

論曰試從戊心向甲乙作戊己向丁丙作 戊庚各垂線次自丁自甲至戊各作直線 其戊己戊庚既各分甲乙丁丙線為两平 　分〈本篇三〉而甲乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫 　甲戊上直角方形與甲己己戊上两直角方形并等 　〈一卷四七〉等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上两 　直角方形并等而甲己丁庚上两直角方形既等即 　戊己戊庚上两直角方形亦等則戊己戊庚两線亦 　等是甲乙丁丙两線距心之度等〈本卷界説四〉 　後解曰甲乙丁丙两線距戊心逺近等題言甲乙丁 　丙两線亦等

論曰依前論從戊作戊己戊庚两垂線既 　　　　　等〈本卷界説四〉而分甲乙丁丙各為两平分〈本篇〉 〈三〉其甲戊上直角方形與甲己己戊上两 　直角方形并等〈一卷四七〉等甲戊之丁戊上直角方形與 　丁庚庚戊上两直角方形并等即甲己己戊上两直 　角方形并與丁庚庚戊上两直角方形并亦等此二 　率者每減一相等之己戊戊庚上直角方形即所存 　甲己丁庚上两直角方形亦等是甲己丁庚两線等 　也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等

第十五題

徑為圜内之大線其餘線者近心大于逺心

　解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其徑甲己其近心線 　為辛壬逺心線為丙丁題言甲乙最大辛壬近心大 于丙丁逺心

論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚 子各垂線其丙丁距心逺于辛壬即庚癸 　大于庚子〈本卷界説四〉次于庚癸線截庚丑與庚子等次 　從丑作乙戊為庚癸之垂線末于庚乙庚丙庚丁庚 　戊各作直線相聯其庚丑既等于庚子即乙戊與辛 　壬各以垂線距心逺近等〈本卷界説四〉而两線亦等〈本篇十四〉 　夫庚乙庚戊并大于乙戊〈一卷二十〉而與甲己等即甲己 大于乙戊亦大于辛壬矣依顯甲己大于 他線則甲己最大又乙庚戊角形之乙庚 庚戊两腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁两 　腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角則乙戊底大于丙 　丁底〈一卷廿四〉故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心 　線大于逺心線也

第十六題〈三支〉

圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊 　角不得更作一直線入其内其半圜分角大于各直 　線鋭角切邊角小于各直線鋭角 先解曰甲乙丙圜丁為心甲丙為徑從 甲作甲丙之垂線題言此線全在圜外

論曰若言在内如甲乙令自丁至乙作 　直線即丁甲乙與丁乙甲两角等〈一卷五〉丁甲既為直 　角丁乙又為直角乎夫角形三角并等两直角〈一卷十七〉 　豈得形内自有两直角也則垂線必在圜外若己戊 　必不在圜内若甲乙又不在圜界之上〈如云在界亦依此論〉故 　曰全在圜外 　次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角 　不得更作一直線入其内

論曰若云可作如庚甲令從丁心向庚 甲作丁辛為庚甲之垂線〈一卷十二〉夫丁甲 辛角形之丁甲辛丁辛甲两角并小于 　两直角〈一卷十七〉而丁辛甲為直角即對小角之丁辛線 　小于對大角之甲丁線矣〈一卷十九〉甲丁者與丁壬為同 　圜相等者也將丁壬亦大于丁辛乎則戊甲乙角之 　内不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本 　圜之内也 　後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲圜界所作丙甲乙 　圜分角大于各直線鋭角而戊甲垂線偕乙甲圜界 　所作切邊角小于各直線鋭角

　論曰依前論甲戊下有直線既云必入圜内即此直 　線偕戊甲所作各直線鋭角皆小于圜分角而切邊 　角小于各直線鋭角 　系己甲線必切圜以一㸃

　増先解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲 　丙從甲作戊甲為甲丙之垂線題言 　戊甲全在圜外

増正論曰試于甲戊線内任取一㸃為庚自庚至 丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲两角 　　小于两直角〈一卷十七〉而丁甲庚為直角即丁庚甲小 于直角對大角之丁庚線大于對小角之丁甲線 　　矣〈一卷十九〉則庚㸃在圜之外也凡戊甲以内作㸃皆 　依此論故戊甲線全在圜外

　増次解曰從甲作甲辛線在戊甲之 　下題言甲辛必割圜為分

増正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁 壬辛甲丁两角并等于戊甲丁直角必小于两直 　　角而丁壬甲辛两線必相遇〈分論十一〉其相遇又必在 圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲两角既與一直 　　角等即甲壬丁必為直角〈一卷卅二〉而對大角之甲丁 　　線必大于對小角之丁壬線矣〈一卷十九〉夫甲丁線僅 至圜界則丁壬不能抵圜界必在圜之内也 後支前已正論

或難曰切邊角有大有小何以畢不得两分向者 聞幾何之分不可窮盡如莊子尺棰之義深著明 矣今切邊之内有角非幾何乎此幾何何獨不可 分邪又十卷第一題言設一小幾何又設一大幾 何若從大者半減之減之又減必至一處小于所 設小率此題最明無可疑者今言切邊之角小于 直線鋭角是亦小幾何也彼直線鋭角是亦大幾 何也若從直線鋭角半減之減之又減何以終竟 不得小于切邊角邪既本題推顯切邊角中不得 容一直線如此著明便當并無切邊角無角則無 幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至 大不可加之率無有至小不可減之率若切邊角 不可分豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也 有圜有線安得無切邊角且既言直線鋭角大于 切邊角即有切邊角矣苟無角安所較大小哉且 　　　　　　　　　子言直線與圜界并無切邊角 　　　　　　　　　則两圜外相切亦無角乎曰然 　　　　　　　　　曰試如作甲己乙圜其心丙而 丁戊為切線即丁甲己為切邊角次移心于庚又 作甲辛癸圜即丁甲辛為切邊角而小于丁甲己 次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑為切邊角 而又小于丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又 于切線之外以辰為心作甲己午圜而與前圜外 相切于甲依子所説疑無角焉然两圜外相切而 以丁戊線分之不可分乎更自辰至寅作直線截 两圜之界而分丁戊為两平分不可分乎两圜两 直線交羅相遇于甲也能不皆以一㸃乎如以一 㸃也即此一㸃之外不能無空即不能不為四切 邊角矣子所據尺棰之分無盡又言幾何原本書 中無至小不可減之率也是也夫切邊角但不可 以直線分之耳若用圜線則可分矣如 甲乙庚圜與丙甲丁直線相切于甲作 丁甲庚切邊大角若移一心作甲戊辛 圜又得丁甲辛切邊角即小于丁甲庚也又移一 心作甲己壬圜又得丁甲壬切邊小角即又小于 丁甲辛也如此以至無窮則切邊角分之無盡何 謂不可減邪若十卷第一題所言元無可疑但以 圜角分圜角則與其説合矣彼所言大小两幾何 者謂夫能相較為大能相較為小者也如以直線 分直線角以圜線分圜線角是已此切邊角與直 線角豈能相較為大小哉

増題有两種幾何一大一小以小率半増之遞増 至于無窮以大率半減之遞減至于無窮其元大 者恒大元小者恒小

解曰戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直 線鋭角為大率今别作甲丙甲丁等圜 俱切戊己線于甲其切邊角愈増愈大 如前論别以庚癸庚子線作角分壬庚 辛角于庚愈分愈小然直線角恒大切 邊角恒小乃至終古不得相比

又増題舊有一説以一小率加一大率之上或以 一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至 一相等之處又一説有率大于此率者有率小于 此率者則必有率等于此率者昔人以為皆公論 也若用以律本題即不可得故今斥不為公論

解曰甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲 界定在于甲而引丙線逐線漸移之向 已其所經丁戊己及中間逐線所經無 數然依本題論則甲丙所經凡割圜時皆為鋭角 即小于半圜分角纔離鋭角便為直角即大于半 圜分角是所經無數線終無有相等線可見前一 舊説未為公論又直線鋭角皆小于半圜分角直 角與鈍角皆大于半圜分角是有大者有小者終 無等者可見後一舊説未為公論也

第十七題

設一㸃一圜求從㸃作切線

法曰甲㸃求作直線切乙丙圜其圜心丁 先從甲作甲丁直線截乙丙圜于乙次以 丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁 　之垂線而遇甲戊圜于戊次作戊丁直線而截乙丙 　圜于丙末作甲丙直線即切乙丙圜于丙

論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙两腰與甲 丙丁角形之甲丁丁丙两腰各等〈一卷界説十五〉 丁角同即甲丙乙戊两底亦等〈一卷四〉而戊 　乙丁為直角即甲丙丁亦直角則甲丙偕乙丙圜之 　半徑丁丙為一直角矣豈非圜之切線〈本篇十六之系〉

第十八題

直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線

解曰甲乙直線切丙丁圜于丙從戊心至 切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線

論曰如云不然令從戊别作垂線如至已 　而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既為直 　角即宜大于己丙戊角〈一卷十七〉而對大角之戊丙邊宜 　大于對小角之戊己邊矣〈一卷十九〉夫戊丙與戊丁等也 　戊丙大于戊已則戊丁亦大于戊己乎

　又論曰若云丙非直角即其两旁角一鋭一鈍令乙 　丙戊為鋭角則鋭角乃大于半圜分角乎〈本篇十六〉

第十九題

直線切圜圜内作切線之垂線則圜心必在垂線之内

　解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙為甲乙 之垂線題言圜心在戊丙線内

論曰如云不然心在于已令從已作己丙 直線即己丙亦為甲乙之垂線〈本篇十八〉而已 　丙甲與戊丙甲等為直角是全與其分等矣

第二十題

負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍 　大于負圜角

　解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負 　圜角同以乙丙圜分為底題言乙丁丙角倍大于乙 　甲丙角

先論分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上 圖試從甲過丁心作甲戊線其甲丁乙角 形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角 　等〈一卷五〉而乙丁戊外角與内相對两角并等〈一卷卅二〉即 　乙丁戊倍大于乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大于丙 　甲丁則乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角

次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙 線過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁 丙外角等于内相對之丁甲丙丁丙甲两 　角并〈一卷卅二〉而丁甲丁丙两腰等即甲丙两角亦等〈一卷〉 　〈五〉則乙丁丙角倍大于乙甲丙角

後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截 丁丙者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊 線其戊丁丙分圜角與戊甲丙負圜角同 　以戊乙两圜分為底如前次論戊丁丙角倍大于戊 　甲丙角依顯戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙負圜 角次于戊丁丙角減戊丁乙角戊甲丙 角減戊甲乙角則所存乙丁丙角必倍 大于乙甲丙角

増若乙丁丁丙不作角于心或為半圜 或小于半圜則丁心外餘地亦倍大于 同底之負圜角

論曰試從甲過丁心作甲戊線即丁心外餘地分 為乙丁戊戊丁丙两角依前論推顯此两角倍大 于乙甲丁丁甲丙两角

第二十一題

凡同圜分内所作負圜角俱等

解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜 分内任作丁甲丙丁乙丙两角題言此两 角等

　先論函心大分所作曰試從戊作戊丁戊丙線其丁 　戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角〈本篇十二〉即 甲乙两角自相等〈公論七〉

後論半圜分不函心小分所作曰丁甲乙 丙或為半圜分或為不函心小分俱從甲 從乙過戊作甲己乙庚两線若不函心更 從戊作戊丁戊丙两線其丁戊己分圜角 既倍大于丁甲己負圜角〈本篇二十〉依顯丙戊 　己分圜角亦倍大于丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊 　己两角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戊己己戊丙 　三角必倍大于丁甲丙依顯此三角亦倍大于丁乙 　丙則丁甲丙丁乙丙两角自相等

　又後論曰二十題増言分圜不作角其心外餘地倍 大于同底各負圜角即各角自相等

又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇為已試 作甲乙線相聯其甲丁己角形之三角并 與乙丙己角形之三角并等〈一卷卅二〉次每減 一交角相等之甲己丁乙己丙〈一卷十五〉即己 甲丁己丁甲两角并與己丙乙己乙丙两 角并等矣而甲丁乙乙丙甲两角同在甲 丁丙乙函心大分内又等〈本題第一論〉則丁甲 丙與丙乙丁亦等

　又後論曰丁丙之外任取一界為已作丁己丙己两 　線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙甲丁己俱為大 分次于甲己乙己各作直線相聨其丁甲 已與丁乙己两角同負于甲乙丙己圜界 即等〈本題第一論〉依顯丙乙己與丙甲已两角 同負丙乙甲丁己圜界又等此二相等率 并之則丁甲丙丁乙丙两全角亦等

第二十二題

圜内切界四邊形每相對两角并與两直角等

　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四邊形 題言甲乙丙丙丁甲两角并乙丙丁丁甲 乙两角并各與两直角等

論曰試作甲丙乙丁两對角線其甲乙丁 甲丙丁两角同負甲乙丙丁圜分即等〈本篇〉 〈廿一〉依顯丙甲丁丙乙丁两角亦等則甲乙 丁丙乙丁两角并為甲乙丙一角與甲丙 　丁丙甲丁两角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙 　丙丁甲并與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三 　角并元與两直角等〈一卷卅二〉則甲乙丙丙丁甲相對两 　角并與两直角等依顯乙丙丁丁甲乙并亦與两直 　角等

第二十三題

一直線上作两圜分不得相似而不相等

論曰如云不然令于甲乙線上作同方两 圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲 丁乙其两圜相交止于甲乙两㸃〈本篇十〉即 　一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁線截 　甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙两線相聨夫两圜 　分相似者其負圜角宜等〈本卷界説十〉則乙丙甲外角與 　相對之乙丁甲内角等乎〈一卷十六〉

第二十四題

相等两直線上作相似两圜分必等

　解曰甲乙丙丁两線上作甲丙乙丙己丁相似两圜 　分題言两圜分等

論曰甲乙丙丁两線既等試以甲乙線加 丙丁線上两線必相合即甲丙乙丙己丁 两圜分相加亦相合如云不然必两圜分 相加或在内或在外或半在内半在外矣 若在内在外即一直線上有两圜分相似 而不相等也〈本篇廿三〉若半在内半在外即两 圜三相交也〈本篇十〉两俱不可故相似者必 　等

第二十五題

有圜之分求成圜

法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之两端作 甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙 線相聯其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等 　或小若大即甲乙丙當為圜之小分何也乙丁分甲 　丙為两平分即知圜之心必在乙丁線内〈本篇一之系〉而 　心在丁㸃之外則從丁㸃所出丁乙為不過心徑線 　至小〈本篇七〉故對小邊之丁甲乙角小于對大邊之丁 　乙甲角也〈一卷十八〉即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從 　乙丁引出一線與甲戊線遇于戊即戊為圜心

　論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與 　丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁 　戊两皆直角即對直角之甲戊與戊丙两線等〈一卷四〉 　夫甲戊與乙戊以對角等故既等〈一卷六〉戊丙與甲戊 　又等則從戊至界三線皆等而戊為心〈本篇九〉

次法兼論曰若丁乙甲丁甲乙两角等即甲 乙丙為半圜而甲丙為徑丁為心何也丁乙 丁甲两邊等然後丁乙甲丁甲乙两角等〈一卷〉 　〈五〉今丁乙甲丁甲乙两角既等即丁乙丁甲两線必 　等〈一卷六〉丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁 為圜心〈本篇九〉

後法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙 當為圜大分何也乙丁分甲丙為两平分 　即知圜心在乙丁線内〈本篇一之系〉而丁㸃在心之外則 　所出丁乙為過心徑線至大〈本篇七〉故對大邊之丁甲 　乙大于對小邊之丁乙甲也〈一卷十八〉即作乙甲戊角與 　丁乙甲角等而甲戊線與乙丁線遇于戊即戊為圜 　心

　論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與 　丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁 　戊两皆直角即對直角之甲戊戊丙两線亦等〈一卷四〉 　夫乙戊與甲戊以對角等故既等〈一卷五〉戊丙與甲戊 　亦等則從戊至界三線皆等而戊為心〈本篇九〉

増求圜分之心有一簡法于甲乙丙圜 分任取三㸃于甲于乙于丙以两直線 聯之各两平分于丁于戊從丁從戊作 甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇于己 即已為圜心

論曰己丁己戊既各以两直角平分甲乙乙丙两 線即圜之心當在两垂線内〈本篇一〉而相遇于已即 已為圜心

其用法圜界上任取四㸃為甲為乙為 丙為丁每两㸃各自為心相向各任作 圜分四圜分两两相交于戊于己于庚 于辛從戊己從庚辛各作直線引長之 交于壬即壬為圜心

論曰試作甲戊戊乙乙己己甲四直線此四線各 為同圜等圜之半徑各等即甲戊己角形之甲戊 己甲己戊两角等而乙戊己角形之乙戊己乙己 戊两角亦等次作甲乙直線分戊己于癸即甲己 癸角形之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己 癸同邊而對甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角 之乙癸邊亦等〈一卷八〉則甲癸己乙癸己俱為直角 而戊己線必過心〈本篇一〉依顯庚辛線亦過心而相 遇于壬為圜心

第二十六題〈二支〉

等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦 　等

先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其 心為庚為辛有甲庚丙與丁辛己两乘圜 角等題言所乘之甲丙丁己两圜分亦等

論曰試于甲乙丙丁戊己两圜分之上任 取两㸃于乙于戊從乙作乙甲乙丙從戊 作戊丁戊己各两線次作甲丙丁己两線 相聯其乙與戊两角既各半于庚辛两角 即乙與戊自相等〈本篇二十〉而所負甲乙丙與 丁戊己两圜分相似〈本卷界説十〉又甲庚丙角 形之甲庚庚丙两邊與丁辛己角形之丁 　辛辛己两邊各等庚角與辛角又等即甲丙與丁己 　两邊亦等〈一卷四〉而相似之甲乙丙與丁戊己两圜分 　在等線上亦等〈本篇卄四〉夫相等圜減相等圜分則所存 　甲丙丁己两圜分亦等故云等角所乘之圜分等

　後解在界者曰两圜之乙與戊两乘圜角等題言所 　乘之甲丙丁己两圜分亦等

　論曰乙戊两角既等而庚辛两角各倍于乙戊即庚 　辛自相等〈本篇二十〉依前論甲丙丁己两邊亦自相等而 　甲乙丙與丁戊己两圜分亦等〈本篇廿四〉今于相等圜減 　相等圜分則所存甲丙丁己两圜分亦等

注曰後解極易明蓋庚辛角既各倍于乙戊則依 　　先論甲丙丁己自相等〈在心之乘圜角即分圜角隨類異名〉

第二十七題〈二支〉

等圜之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等 　　　　　　　　先解在心者曰甲乙丙丁戊己两 　　　　　　　　圜等其心為庚為辛若甲庚丙乘 　圜角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁己分等題 　言甲庚丙丁辛己两角等

　論曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角與丁辛 己角等即甲壬圜分宜與丁己圜分等〈本篇〉 〈廿六〉而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦 等乎

後解在界者曰甲丙丁己两圜分等題言 其上乙戊两角亦等

　論曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角與戊角 　等其甲乙壬與丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜 　等〈本篇廿六〉而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎

増題從此推顯两直線不相交而在一 圜之内若两線界相去之圜分等則两 線必平行若两線平行則两線界相去 之圜分等

先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙两線其相去 之甲乙丁丙两圜分等題言两線必平行

論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等 即甲丙乙與丙甲丁两乘圜角亦等〈本題〉既内相對 之两角等即两線必平行〈一卷廿七〉

後解曰甲丁乙丙為平行線題言甲乙 丁丙两圜分必等

論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行 　　即内相對之两角甲丙乙丙甲丁必等〈一卷廿七〉而所 乘圜分甲乙丁丙亦等〈本篇廿六〉

第二十八題

等圜内之直線等則其割本圜之分大與大小與小各 　等

解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心為庚為 辛圜内有甲丙丁己两直線等題言甲乙 丙與丁戊己两大分甲丙與丁己两小分 各等

論曰試于甲庚庚丙丁辛辛己各作直線 其甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之 　丁己两底既等而甲庚庚丙两腰與丁辛辛己两腰 　又等即庚辛两角亦等〈一卷八〉其所乘之甲丙丁己两 　小分必等〈本篇廿六〉次減相等之甲丙丁己两小分則所 　存甲乙丙丁戊己两大分亦等

第二十九題

等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等

　　　　　　　　解曰依前題两圜之甲乙丙丁戊 　　　　　　　　己两圜分等而甲丙丁己两圜分 　亦等題言甲丙丁己两線必等

論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲 庚庚丙两腰與丁辛己角形之丁辛辛己 两腰等而庚辛两角所乘之甲丙丁己两 圜分等即庚辛两角亦等〈本篇廿七〉而對等角 之甲丙丁己两線必等〈一卷四〉

注曰第二十六至二十九四題所説俱等圜其在 同圜亦依此論

第三十題

有圜之分求两平分之

法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两 界作甲丙線次两平分于丁從丁作乙丁 為甲丙之垂線即乙丁分甲乙丙圜分為 　两平分

　論曰從乙作乙甲乙丙两線其甲乙丁角形之甲丁 　與丙乙丁角形之丙丁两腰等丁乙同腰而甲丁乙 　與丙丁乙两直角又等即對直角之甲乙乙丙两底 　亦等〈一卷四〉而甲乙與乙丙两圜分亦等〈本篇十八〉則甲乙 　丙圜界两平分于乙矣

第三十一題〈五支〉

負半圜角必直角負大分角小于直角負小分角大于 　直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角

解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙于半 圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角 負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙 　大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半 　圜之甲乙丙為直角二言負大分之乙甲丙角小于 　直角三言負小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙 　甲大圜分角大于直角後言丙乙戊小圜分角小于 　直角

　先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至已其丁 　乙丁甲两線等即丁乙甲丁甲乙两角等〈一卷五〉依顯 　丁乙丙丁丙乙两角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙 　甲丙乙两角并等又己乙丙外角亦與相對之乙甲 　丙甲丙乙两内角并等〈一卷卅二〉則己乙丙與甲乙丙等 　為直角

　二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既為直角則乙甲丙 　小于直角〈一卷十七〉

　三論曰甲乙戊丙四邊形在圜之内其乙甲丙乙戊 　丙相對两角并等两直角〈本篇廿二〉而乙甲丙小于直角 　則乙戊丙大于直角

　四論曰甲乙丙直角為丙乙甲大圜分角之分則大 　于直角

　後論曰丙乙戊小圜分角為己乙丙直角之分則小 　于直角 此題别有四解四論先解曰甲乙丙半圜其 心丁其上任作甲乙丙角題言此為直角

論曰試作乙丁線其丁乙丁甲两線既等即 　丁乙甲丁甲乙两角亦等〈一卷五〉而乙丁丙外角既與 　丁乙甲丁甲乙相對之两内角并等〈一卷卅二〉即倍大于 　丁乙甲角依顯乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即 　乙丁甲乙丁丙两角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁 　甲乙丁丙并等两直角〈一卷十三〉則甲乙丙為直角

二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙 丙角題言此小于直角

論曰試作甲丁戊徑線次作乙戊線相聯 　其甲乙戊既為直角〈本題一論〉即甲乙丙為其分而小于 　直角

三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙 丙角題言此大于直角

論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至 　戊次作乙戊線其甲乙戊既負半圜之直角而為甲 　乙丙角之分則甲乙丙大于直角 　四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊 　題言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角 小于直角

論曰試作乙戊丙徑線次作乙甲線引 長之至己其乙甲丙直角為丙甲乙大 　圜分角之分而丙甲丁小圜分角又為己甲丙直角 　之分則大分角大于直角小分角小于直角 　一系凡角形之内一角與两角并等其一角必直角 　何者其外角與内相對之两角等則與外角等之内 　交角豈非直角 　二系大分之角大于直角小分之角小于直角終無 　有角等于直角又從小過大從大過小非大即小終 　無相等依此題四五論甚明與本篇十六題増注互 　相發也

第三十二題

直線切圜從切界任作直線割圜為两分分内各任為 　負圜角其切線與割線所作两角與两負圜角交互 　相等

　解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙從丙任作丙戊直線 　割圜為两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两負圜角 題言甲丙戊角與丙庚戊角乙丙戊角與 丙丁戊角交互相等

先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戊乙 丙戊两皆直角〈一卷十八〉而丙庚戊丙丁戊两 負半圜角亦皆直角〈本篇卅一〉則交互相等

後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙 己過心直線次作戊己線相聯其己丙為 　　　　　甲乙之垂線〈一卷十八〉而丙戊己為直角〈本篇卅一〉 即戊丙己戊己丙两角并等于一直角亦 　等于甲丙己角矣此两率者各減同用之戊丙己角 　即所存戊己丙與甲丙戊等也夫戊己丙與丙庚戊 　元等〈本卷廿一〉則甲丙戊與丙庚戊交互相等又丙丁戊 　庚四邊形之丙丁戊丙庚戊两對角并等两直角〈本篇〉 　〈廿二〉而甲丙戊乙丙戊两交角亦等两直角〈一卷十三〉此二 　率者各減一相等之甲丙戊丙庚戊則所存丙丁戊 　乙丙戊亦交互相等

第三十三題

一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等

先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負 圜分角與丙等其丙角或直或鋭或鈍若直 角先以甲乙两平分于丁次以丁為心甲乙 　為界作半圜圜分内作甲戊乙角即負半圜角為直 　角〈本篇卅一〉如所求

次法曰若設丙鋭角先于甲㸃上作丁 甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲丁之 垂線于甲乙之上次作己乙甲角與己 甲乙角等而乙己線與甲戊線遇于己 　即己乙己甲两線等〈一卷六〉末以己為心甲為界作甲 　庚圜必過乙即甲庚乙圜分内甲乙線上所作負圜 　角必為鋭角而與丙等

　論曰試作甲庚乙角其甲己戊線過己心而丁甲又 　為戊甲之垂線即丁甲線切甲庚乙圜于甲〈本篇十六之系〉 　則丁甲乙與甲庚乙两角交互相等〈本篇卅二〉如所求 　後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次 　作戊甲為壬甲之垂線餘倣第二法而于甲乙線上 　作甲癸乙等即與辛等

　後論同次

第三十四題

設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等

法曰設甲乙丙圜求割一分而負圜分角 與丁等先作戊己直線切圜于甲〈本篇十七〉次 作已甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上 所作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等 　何者已甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故〈本篇〉 　〈卅二〉

第三十五題

圜内两直線交而相分各两分線矩内直角形等

解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两線交 而相分于戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕 戊丁两矩内直角形等其两線或俱過心 　或一過心一不過心或俱不過心若俱過心者其各 　分四線等即两矩内直角形亦等

　先論曰圜内線獨丙丁過己心者又有二種其一丙 　丁平分甲乙線于戊即丙戊線在甲乙上為两直角 〈本篇三〉試作已乙線相聯其丙丁線既两平 分于己又任两分于戊即丙戊偕戊丁矩 内直角形及已戊上直角方形并與等已 　丁之已乙上直角方形等〈二卷五〉夫已乙上直角方形 　與已戊戊乙上两直角方形并等〈一卷四七〉即丙戊偕戊 　丁矩内直角形及已戊上直角方形并與已戊戊乙 　上两直角方形并亦等矣次每減同用之已戊上直 　角方形則所存丙戊偕戊丁矩内直角形不與戊乙 　上直角方形等乎戊乙與甲戊既等即甲戊偕戊乙 　矩内直角形與丙戊偕戊丁矩内直角形亦等

次論曰若丙丁任分甲乙線于戊即以甲 乙線两平分于庚次于庚己巳乙各作直 線相聯即已庚為甲乙之垂線而成两直 　角〈本篇三〉其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳 戊上直角方形并與等已丁之已乙上直 角方形等〈二卷五〉而已戊上直角方形與已 　庚庚戊上两直角方形并等〈一卷四七〉已乙上直角方形 　與已庚庚乙上两直角方形并亦等則丙戊偕戊丁 　矩内直角形及已庚庚戊上两直角方形并與已庚 　庚乙上两直角方形并等次每減同用之已庚上直 　角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上 　直角方形不與庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊 　乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦與庚乙上 　直角方形等〈二卷五〉此二相等率者每減同用之庚戊 　上直角方形則丙戊偕戊丁與甲戊偕戊乙两矩内 　直角形等矣

後論曰圜内两線俱不過心者又有二種 或一線平分或两俱任分皆從已心與戊 相聨作直線引長之為庚辛線依上論甲 戊偕戊乙矩内直角形不論甲乙線平分 任分皆與過心之庚戊偕戊辛矩内直角 形等又依上論丙戊偕戊丁矩内直角形 　不論丙丁線平分任分亦與過心之庚戊偕戊辛矩 　内直角形等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁两矩内 　直角形等

第三十六題

圜外任取一㸃從㸃出两直線一切圜一割圜其割圜 　之全線偕規外線矩内直角形與切圜線上直角方 　形等

　解曰甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙線切圜于 　乙〈本篇十七〉作丁甲線截圜界于丙題言甲丁偕丙丁矩 　内直角形與丁乙上直角方形等

先論丁甲過戊心者曰試作乙戊線為丁 乙之垂線〈本篇十八〉其甲丙線平分于戊又引 出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩内直角形 　及等戊丙之戊乙上直角方形并與戊丁上直角方 　形等〈二卷六〉而戊丁上直角方形與戊乙丁乙上两直 　角方形并等〈一卷四七〉即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊 　乙上直角方形與戊乙丁乙上两直角方形并等此 　两率者每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁 　偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等

　　　　　　　　　　後論丁甲不過戊心者曰試 　　　　　　　　　　以甲丙線两平分于已次從 　　　　　　　　　　戊心作戊已戊丙戊丁戊乙 　四線即戊乙為丁乙之垂線〈本篇十八〉戊已為甲丙之垂 　線〈本篇三〉其甲丙線既两平分于已又引出一丙丁線 即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直 角方形并與已丁上直角方形等〈二卷六〉次 每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙 矩内直角形及已丙戊已上两直角方形 并與己丁戊己上两直角方形并等夫己 丙戊己上两直角方形并與等戊丙之戊 　乙上直角方形等〈一卷四七〉而戊丁上直角方形與己丁 　戊己上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角 　形及戊乙上直角方形與戊丁上直角方形等矣又 　戊丁上直角方形與戊乙丁乙上两直角方形并等 　即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并 　與戊乙丁乙上两直角方形并等次每減同用之戊 　乙上直角方形則所存甲丁偕丁丙矩内直角形與 丁乙上直角方形等

一系若從圜外一㸃作數線至規内各全 線偕規外線矩内直角形俱等如從甲作 　甲丙甲丁甲戊各線截圜界于己于庚于辛其甲丙 　偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱 　等何者試作甲乙切圜線則各矩線内直角形與甲 　乙上直角方形俱等故〈本題〉

二系從圜外一㸃作两直線切圜此两線 等如甲㸃作甲乙甲丙两切圜線即甲丙 與甲乙等何者試從甲作甲丁線截圜界 　于戊其甲乙甲丙上两直角方形各與甲丁偕甲戊 　矩内直角形等〈本題〉則此两直角方形自相等

三系從圜外一㸃止可作两直線切圜若 言從甲既作甲乙甲丙两線切圜又可作 甲丁線亦切圜令從戊心作戊乙戊丁两 　線即甲乙戊為直角而甲丁戊亦宜等為直角〈本篇十八〉 　試作甲戊直線則甲乙戊角形内有甲丁戊角應大 　于甲乙戊角〈一卷廿一〉安得為直角也又甲乙甲丁若俱 　切圜即两線宜等〈本題二系〉試作甲戊線截圜于己則甲 　丁為近己線甚小當小于逺己之甲乙線〈本篇八〉又安 　得相等也故一㸃上止可作切圜線两也

第三十七題

圜外任于一㸃出两直線一至規外一割圜至規内而 　割圜全線偕割圜之規外線矩内直角形與至規外 　之線上直角方形等則至規外之線必切圜

　解曰甲乙丙圜其心戊從丁㸃作丁乙至規外之線 　遇圜界于乙又作丁甲割圜至規内之線而截圜界 于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形與丁乙 上直角方形等題言丁乙為切圜線

論曰試從丁作丁己線切圜于己〈本篇十七〉次 作戊乙戊己两線相聯若丁甲不過戊心 者又作丁戊直線其丁己上直角方形與 丁甲偕丁丙矩内直角形等〈本篇卅六〉而丁乙 　上直角方形與丁甲偕丁丙矩内直角形亦等則丁 　乙丁己上两直角方形自相等而丁乙丁己两線亦 　等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊與丁己戊角形之丁 　己己戊各两腰等丁戊同底即两角形之三角各等 　〈一卷八〉而對丁戊底之丁己戊為直角〈本篇十八〉即丁乙戊 　亦直角故丁乙為切圜線〈本篇十六之系〉

幾何原本卷三