幾何原本/卷三

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西洋利瑪竇譯

卷三之首

界説十則

第一界

凡圜之徑線等或從心至圜界線等為等圜 三卷將論圜之情故先為圜界説此解 圜之等者如上圖甲乙乙丙兩徑等或 丁己戊庚從心至圜界等即甲己乙乙 庚丙兩圜等若下圖甲乙乙丙兩徑不 　等或丁己戊庚從心至圜界不等則兩圜亦不等矣

第二界

凡直線切圜界過之而不與界交為切線 甲乙線切乙己丁圜之界乙又引長之至 丙而不與界交其甲丙線全在圜外為切 線若戊己線先切圜界而引之至庚入圜 內則交線也

第三界

凡兩圜相切而不相交為切圜 　甲乙兩圜不相交而相切於丙或切於外如第一圖 　　　　　　　　　　或切於內如第三圖其第二 　　　　　　　　　　第四圖則交圜也

第四界

凡圜內直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距 　心逺近之度 凡一點至一直線上惟垂線至近其他即 逺垂線一而已逺者無數也故欲知點與 線相去逺近必用垂線為度試如前圖甲 點與乙丙線相去逺近必以甲丁垂線為 度為甲丁一線獨去直線至近他若甲戊 甲己諸線愈大愈逺乃至無數故如後圖 　説甲乙丙丁圜內之甲乙丙丁兩線其去戊心逺近 　等為己戊庚戊兩垂線等故若辛壬線去戊心近矣 　為戊癸垂線小故

第五界

凡直線割圜之形為圜分 甲乙丙丁圜之乙丁直線任割圜之一分 如甲乙丁及乙丙丁兩形皆為圜分凡分 　有三形其過心者為半圜分函心者為圜大分不函 　心者為圜小分又割圜之直線為弦所割圜界之一 　分為弧

第六界

凡圜界偕直線內角為圜分角 　以下三界論圜角三種本界所言雜 　圜也其在半圜分內為半圜角在大 　分內為大分角在小分內為小分角

第七界

凡圜界任於一點出兩直線作一角為負圜分角 甲乙丙圜分甲丙為底於乙點出兩直線作 甲乙丙角形其甲乙丙角為負甲乙丙圜分 　角

第八界

若兩直線之角乘圜之一分為乘圜分角 甲乙丙丁圜內於甲點出甲乙甲丁兩線其 乙甲丁角為乘乙丙丁圜分角 圜角三種之外又有一種為切邊角或直線切圜 或兩圜相切其兩圜相切者又或內或外 如上圖甲乙線切丙丁戊圜於丙即甲丙 丁乙丙戊兩角為切邊角又丙丁戊己戊 庚兩圜外相切於戊及己戊庚己辛壬兩 圜內相切於己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱 為切邊角

第九界

凡從圜心以兩直線作角偕圜界作三角形為分圜形 甲乙丙丁圜從戊心出戊甲戊丙兩線偕甲 丁丙圜界作角形為分圜形

第十界

凡圜內兩負圜分角相等即所負之圜分相似 甲乙丙丁圜內有甲乙己與丁丙戊兩負 圜分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戊 兩圜分相似 又有兩圜或等或不等其負圜分角等即圜分俱 　　　　　　　　　　　　　　相似如上三圖三 　　　　　　　　　　　　　　圜之甲乙丙丁戊 己庚辛壬三負圜分角等即所負甲乙丙丁戊己 　　庚辛壬三圜分相似〈相似者如雲同為幾分圜之幾也〉

　

卷三

第一題

有圜求尋其心

法曰甲乙丙丁圜求尋其心先於圜之兩 界任作一甲丙直線次兩平分之於戊〈一卷〉 　〈十〉次於戊上作乙丁垂線兩平分之於己即己為圜 　心

　論曰如雲不然令言心何在彼不得言在己之上下 　何者乙丁線既平分於己離平分不能為心故必言 　心在乙丁線外為庚即令自庚至丙至戊至甲各作 直線則甲庚戊角形之甲戊既與丙庚戊 角形之丙戊兩邊等戊庚同邊而庚甲庚 　丙兩線俱從心至界宜亦等即對等邊之庚戊甲庚 　戊丙兩角宜亦等〈一卷八〉而為兩直角矣〈一卷界説十〉夫乙 　戊甲既直角而庚戊甲又為直角可不可也 　系因此推顯圜內有直線分他線為兩平分而作直 　角即圜心在其內

第二題

圜界任取二點以直線相聯則直線全在圜內

解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二點作直 線相聨題言甲丙線全在圜內

　論曰如雲在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙圜之戊 　心〈本篇一〉次作戊甲戊丙兩直線次於甲丁丙線上作 　戊乙丁線而與圜界遇於乙即戊甲丁丙當為三角 　形以甲丁丙為底戊甲戊丙兩腰等其戊甲丙戊丙 　甲兩角宜等〈一卷五〉而戊丁甲為戊丙丁之外角宜大 　於戊丙丁角即亦宜大於戊甲丁角〈一卷十六〉則對戊丁 　甲大角之戊甲線宜大於戊丁線矣〈一卷十九〉夫戊甲與 戊乙本同圜之半徑等據如所論則戊乙 亦大於戊丁不可通也若雲不在圜外而 　在圜界依前論令戊甲大於戊乙亦不可通也

第三題

直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角 　為兩直角必兩平分

解曰乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁 線為兩平分於己題言甲己必是垂線而 　己旁為兩直角又言己旁既為兩直角則甲己分乙 　丁必兩平分

　先論曰試從甲作甲乙甲丁兩線即甲乙己角形之 　乙己與甲丁己角形之丁己兩邊等甲己同邊甲乙 　甲丁兩線俱從心至界又等即兩形等則其對等邊 　之甲己乙甲己丁亦等〈一卷八〉而為兩直角矣

　後論曰如前作甲乙甲丁兩線甲乙丁角形之甲乙 　甲丁兩邊既等則甲乙丁甲丁乙兩角亦等〈一卷五〉又 　甲乙己角形之甲己乙甲乙己兩角與甲丁己角形 　之甲己丁甲丁己兩角各等而對直角之甲乙甲丁 　兩邊又等則己乙己丁兩邊亦等〈一卷廿六〉 　欲顯次論之㫖又有一説如甲丁上直角方形與甲 　己己丁上兩直角方形並等〈一卷四七〉而甲乙上直角方 形與甲己乙己上兩直角方形並亦等即 甲己己乙上兩直角方形並與甲己己丁 　上兩直角方形並亦等此二率者每減一甲己上直 　角方形則所存乙己己丁上兩直角方形自相等而 　兩邊亦等

第四題

圜內不過心兩直線相交不得俱為兩平分

解曰甲丙乙丁圜內有甲乙丙丁兩直線 　　　　　俱不過己心〈若一過心一不過心即兩線不得俱為兩平分其理易顯〉 　而交於戊題言兩直線或有一線為兩平分不得俱 　為兩平分

　論曰若雲不然而甲乙丙丁能俱兩平分於戊試令 　尋本圜心於己〈本篇一〉從己至戊作甲乙之垂線其己 　戊既分甲乙為兩平分即為兩直角〈本篇三〉而又能分 　丙丁為兩平分亦宜為兩直角是己戊甲為直角而 　己戊丙亦直角全與其分等矣

第五題

兩圜相交必不同心

解曰甲乙丁戊乙丁兩圜交於乙於丁題 言兩圜不同心

　論曰若言丙為同心令自丙至乙至甲各作直線其 丙乙至圜交而丙甲截兩圜之界於戊於 甲夫丙既為戊乙丁圜之心則丙乙與丙 　戊等而又為甲乙丁圜之心則丙乙與丙甲又等是 　丙戊與丙甲亦等而全與其分等也

第六題

兩圜內相切必不同心

解曰甲乙丙乙兩圜內相切於乙題言兩圜 不同心

　論曰若言丁為同心令自丁至乙至丙各作直線其 　丁乙至切界而丁丙截兩圜之界於甲於丙夫丁既 　為甲乙圜之心則丁乙與丁甲等而又為丙乙圜之 　心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與 　其分等也

第七題

圜徑離心任取一點從點至圜界任出幾線其過心線 　最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過 　心線者愈小而諸線中止兩線等

解曰甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離 心任取一點為庚從庚至圜界任出幾線 為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸線 惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小 三言庚丙大於庚丁庚丁大於庚戊愈近 心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁止 　可出兩線等

　先論曰試從已心出三線至丙至丁至戊其丙己庚 　角形之丙己己庚兩邊並大於丙庚一邊〈一卷二十〉而丙 　己己庚等於甲己己庚則庚甲大於庚丙依顯庚丁 　庚戊俱小於庚甲是庚甲最大

　次論曰己庚戊角形之己戊一邊小於己庚庚戊兩 　邊並〈一卷二十〉而己戊與己乙等則己乙小於己庚庚戊 　並矣次各減同用之己庚則庚乙小於庚戊依顯庚 　戊小於庚丁庚丁小於庚丙是庚乙最小

　三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己 　兩邊等己庚同邊而丙己庚角大於丁己庚角〈全大於分〉 　則對大角之庚丙邊大於對小角之庚丁邊〈一卷廿四〉依 　顯庚丁大於庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小

　後論曰試依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界為 　己辛線次從庚作庚辛線其戊己庚角形之戊己腰 　與庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰兩腰間角 　又等則對等角之庚戊庚辛兩底亦等〈一卷四〉而庚乙 　兩旁之庚戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之 　上即依第三論大於庚辛在辛之下即小於庚辛故 　雲庚乙兩旁止可出庚戊庚辛兩線等

第八題

圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規內則過圜心線 　最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑 　之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止兩線 　等

　　　　　　　　解曰乙丙丁戊圜之外從甲㸃任 　　　　　　　　出幾線其一為過癸心之甲壬其 　　　　　　　　餘為甲辛為甲庚為甲己皆至規 　　　　　　　　內〈規內線者如車輻之指牙〉題先言過心之甲 　壬最大次言近心之甲辛大於離心之甲庚甲庚又 　大於甲己三反上言規外之甲乙為乙壬徑餘者〈規外〉 　〈線者如車輻之湊轂〉最小四言甲丙近徑餘小於甲丁甲丁又 　小於甲戊後言甲乙兩旁止可出兩線等

　先論曰試從癸心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲 　癸辛角形之甲癸癸辛兩邊並大於甲辛一邊〈一卷二十〉 　而甲癸癸辛與甲壬等則甲壬大於甲辛依顯甲壬 　更大於甲庚甲己而過心之甲壬最大

　次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚 　兩邊等甲癸同邊而甲癸辛角大於甲癸庚角〈全大於分〉 　則對大角之甲辛邊大於對小角之甲庚邊〈一卷廿四〉依 　顯甲庚大於甲己而規內線愈離心愈小

　　　　　　　　三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊 　　　　　　　　小於甲丙丙癸兩邊並〈一卷二十〉次每 　　　　　　　　減一相等之乙癸丙癸則甲乙小 　　　　　　　　於甲丙矣依顯甲乙更小於甲丁 　甲戊而規外甲乙最小

　四論曰甲丁癸角形之內從甲與癸出甲丙丙癸兩 　邊並小於甲丁丁癸兩邊並〈一卷廿一〉此二率者每減一 　相等之丙癸丁癸則甲丙小於甲丁矣依顯甲丙更 　小於甲戊而愈近徑餘甲乙者愈小

　後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角牴圜界次作 　甲子線其甲子癸角形之甲癸癸子兩腰與甲癸丙 　角形之甲癸癸丙兩腰各等而兩腰間角又等則對 　等角之甲子甲丙兩底亦等也〈一卷四〉此外若有從甲 　出線在子之上即依第四論小於甲丙在子之下即 　大於甲丙故云甲乙兩旁止可出甲丙甲子兩線等

第九題

圜內從一㸃至界作三線以上皆等即此㸃必圜心

解曰從甲㸃至乙丙丁圜界作甲乙甲丙 甲丁三直線若等題言甲㸃為圜心三以 上等者更不待論

論曰試於乙丙丙丁界作乙丙丙丁兩直 線相聨此兩線各兩平分於戊於己從甲 出兩直線為甲戊為甲己其甲乙戊角形 　之甲乙與甲戊丙角形之甲丙兩腰既等甲戊同腰 　乙戊戊丙兩底又等即甲戊乙與甲戊丙兩角亦等 　〈一卷八〉為兩直角依顯甲己丙甲己丁亦等為兩直角 　則甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分為直角而此兩 　線俱為函心線〈本篇一之系〉定相遇於甲甲為圜心矣

又論曰若言甲非心心在於戊者令戊甲 相聨引作己庚徑線即甲是戊心外所取 一㸃而從甲所出線愈近心者宜愈大矣 　〈本篇七〉則甲丁宜大於甲丙而先設等何也

第十題

兩圜相交止於兩㸃

論曰若言甲乙丙丁戊己圜與甲庚乙丁 辛戊圜三相交於甲於乙於丁令作甲乙 乙丁兩直線相聯此兩線各兩平分於壬 於癸次從壬癸作子壬子癸兩垂線其子 　壬分甲乙子癸分乙丁既皆兩平分而各為兩直角 　即子壬子癸兩線俱為甲庚乙丁辛戊圜之函心線 〈本篇一之系〉而子為其心矣依顯甲乙丙丁戊 己圜亦以子為心也夫兩交之圜尚不得 同心〈本篇五〉何縁得有三交

又論曰若言兩圜三相交於甲於乙於丁 令先尋甲庚乙丁辛戊圜之心於壬〈本篇一〉 次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線 此三線等也〈一卷界説十五〉又甲乙丙丁戊己圜 內有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線 　則壬又為甲乙丙丁戊己圜之心〈本篇九〉不亦交圜同 　心乎〈本篇五〉

第十一題

兩圜內相切作直線聯兩心引出之必至切界

解曰甲乙丙甲丁戊兩圜內相切於甲而 己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心題言 作直線聨庚己兩心引抵圜界必至甲

　論曰如雲不至甲而截兩圜界於乙丁及丙戊令從 　甲作甲己甲庚兩線其甲己庚角形之庚己己甲 　兩邊並大於庚甲一邊〈一卷二十〉而同圜心所出之庚甲庚 　丁宜等即庚己己甲大於庚丁矣此二率者各減同 　用之庚己即己甲亦大於己丁矣夫己甲與己乙是 　內圜同心所出等線則己乙亦大於己丁而分大於 　全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心亦依 　前轉説之甲己庚角形之己庚庚甲兩邊並大於 　甲己一邊〈一卷二十〉而同圜心所出之己甲己戊宜等即 己庚庚甲大於己戊矣此二率者各減同 用之己庚即庚甲大於庚戊矣夫庚甲 與庚丙是內圜同心所出等線則庚丙 　亦大於庚戊而分大子全也可乎

第十二題

兩圜外相切以直線聯兩心必過切界

　解曰甲乙丙丁乙戊兩圜外相切於乙其甲乙丙心 　為己丁乙戊心為庚題言作己庚直線必過乙

論曰如雲不然而己庚線截兩圜界於戊於 丙令於切界作乙己乙庚兩線其乙己庚角 形之己乙乙庚兩邊並大於己庚一邊而乙 　庚與庚戊乙己與己丙俱同心所出線宜各等即庚 　戊丙己兩線並亦大於庚己一線矣〈一卷二十〉夫庚己線 　分為庚戊丙己尚餘丙戊而雲庚戊丙己大於庚己 　則分大於全也故直線聨己庚必過乙

第十三題〈二支〉

圜相切不論內外止以一㸃

先論曰甲乙丙丁與甲戊丙己兩圜內相 切若雲有兩㸃相切於甲又於丙令作直 線函兩圜心庚辛引出之如前圖宜至相 切之甲之丙〈本篇十一〉則甲丙為兩圜之同徑 矣而此徑線者兩平分於庚又兩平分於 　　　　　辛何也〈一直線止以一㸃兩平分〉若雲庚辛引出直線 　一抵甲一截兩圜之界於癸於壬即如後圖令從兩 　心各作直線至又相切之丙次問之甲乙丙丁圜之 　心為庚邪辛邪如曰庚也而辛為甲戊內己之心則 　丙庚辛角形之庚辛辛丙兩邊並大於庚丙一邊〈一卷〉 　〈二十〉而庚辛辛丙與庚癸宜等〈辛癸辛丙同圜心所出故〉即庚癸亦 　大於庚丙矣夫庚丙與庚壬者外圜同心所出等線 　也將庚癸亦大於庚壬可乎如曰辛也而庚為甲戊 　丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙兩邊並大於 　辛丙一邊〈一卷二十〉而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙亦 　大於辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦 　大於庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圜心所出等線 　也而安有大小

後論曰甲乙與乙丙兩圜外相切於已從甲 乙之丁心丙乙之戊心作直線相聨必過已 〈本篇十三〉若雲又相切於乙令自乙至丁至戊各 　作直線其丁乙乙戊並宜與丁戊等而為角形之兩 　腰又宜大於丁戊〈一卷二十〉則兩圜相切安得兩㸃 又後論曰更令於兩相切之乙之己作直線 相聨其直線當在甲乙圜內〈本篇二〉又當在乙 丙圜內何所置之

第十四題〈二支〉

圜內兩直線等即距心之逺近等距心之逺近等即兩 　直線等 　先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜內甲乙丁丙兩線等 　題言兩線距戊心逺近亦等

論曰試從戊心向甲乙作戊己向丁丙作 戊庚各垂線次自丁自甲至戊各作直線 其戊己戊庚既各分甲乙丁丙線為兩平 　分〈本篇三〉而甲乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫 　甲戊上直角方形與甲己己戊上兩直角方形並等 　〈一卷四七〉等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上兩 　直角方形並等而甲己丁庚上兩直角方形既等即 　戊己戊庚上兩直角方形亦等則戊己戊庚兩線亦 　等是甲乙丁丙兩線距心之度等〈本卷界説四〉 　後解曰甲乙丁丙兩線距戊心逺近等題言甲乙丁 　丙兩線亦等

論曰依前論從戊作戊己戊庚兩垂線既 　　　　　等〈本卷界説四〉而分甲乙丁丙各為兩平分〈本篇〉 〈三〉其甲戊上直角方形與甲己己戊上兩 　直角方形並等〈一卷四七〉等甲戊之丁戊上直角方形與 　丁庚庚戊上兩直角方形並等即甲己己戊上兩直 　角方形並與丁庚庚戊上兩直角方形並亦等此二 　率者每減一相等之己戊戊庚上直角方形即所存 　甲己丁庚上兩直角方形亦等是甲己丁庚兩線等 　也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等

第十五題

徑為圜內之大線其餘線者近心大於逺心

　解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其徑甲己其近心線 　為辛壬逺心線為丙丁題言甲乙最大辛壬近心大 於丙丁逺心

論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚 子各垂線其丙丁距心逺於辛壬即庚癸 　大於庚子〈本卷界説四〉次於庚癸線截庚丑與庚子等次 　從丑作乙戊為庚癸之垂線末於庚乙庚丙庚丁庚 　戊各作直線相聯其庚丑既等於庚子即乙戊與辛 　壬各以垂線距心逺近等〈本卷界説四〉而兩線亦等〈本篇十四〉 　夫庚乙庚戊並大於乙戊〈一卷二十〉而與甲己等即甲己 大於乙戊亦大於辛壬矣依顯甲己大於 他線則甲己最大又乙庚戊角形之乙庚 庚戊兩腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁兩 　腰等而乙庚戊角大於丙庚丁角則乙戊底大於丙 　丁底〈一卷廿四〉故等乙戊之辛壬亦大於丙丁也是近心 　線大於逺心線也

第十六題〈三支〉

圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊 　角不得更作一直線入其內其半圜分角大於各直 　線鋭角切邊角小於各直線鋭角 先解曰甲乙丙圜丁為心甲丙為徑從 甲作甲丙之垂線題言此線全在圜外

論曰若言在內如甲乙令自丁至乙作 　直線即丁甲乙與丁乙甲兩角等〈一卷五〉丁甲既為直 　角丁乙又為直角乎夫角形三角並等兩直角〈一卷十七〉 　豈得形內自有兩直角也則垂線必在圜外若己戊 　必不在圜內若甲乙又不在圜界之上〈如雲在界亦依此論〉故 　曰全在圜外 　次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角 　不得更作一直線入其內

論曰若雲可作如庚甲令從丁心向庚 甲作丁辛為庚甲之垂線〈一卷十二〉夫丁甲 辛角形之丁甲辛丁辛甲兩角並小於 　兩直角〈一卷十七〉而丁辛甲為直角即對小角之丁辛線 　小於對大角之甲丁線矣〈一卷十九〉甲丁者與丁壬為同 　圜相等者也將丁壬亦大於丁辛乎則戊甲乙角之 　內不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本 　圜之內也 　後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲圜界所作丙甲乙 　圜分角大於各直線鋭角而戊甲垂線偕乙甲圜界 　所作切邊角小於各直線鋭角

　論曰依前論甲戊下有直線既雲必入圜內即此直 　線偕戊甲所作各直線鋭角皆小於圜分角而切邊 　角小於各直線鋭角 　系己甲線必切圜以一㸃

　増先解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲 　丙從甲作戊甲為甲丙之垂線題言 　戊甲全在圜外

増正論曰試於甲戊線內任取一㸃為庚自庚至 丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲兩角 　　小於兩直角〈一卷十七〉而丁甲庚為直角即丁庚甲小 於直角對大角之丁庚線大於對小角之丁甲線 　　矣〈一卷十九〉則庚㸃在圜之外也凡戊甲以內作㸃皆 　依此論故戊甲線全在圜外

　増次解曰從甲作甲辛線在戊甲之 　下題言甲辛必割圜為分

増正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁 壬辛甲丁兩角並等於戊甲丁直角必小於兩直 　　角而丁壬甲辛兩線必相遇〈分論十一〉其相遇又必在 圜之內如壬何者壬甲丁壬丁甲兩角既與一直 　　角等即甲壬丁必為直角〈一卷卅二〉而對大角之甲丁 　　線必大於對小角之丁壬線矣〈一卷十九〉夫甲丁線僅 至圜界則丁壬不能抵圜界必在圜之內也 後支前已正論

或難曰切邊角有大有小何以畢不得兩分向者 聞幾何之分不可窮盡如莊子尺棰之義深著明 矣今切邊之內有角非幾何乎此幾何何獨不可 分邪又十卷第一題言設一小幾何又設一大幾 何若從大者半減之減之又減必至一處小於所 設小率此題最明無可疑者今言切邊之角小於 直線鋭角是亦小幾何也彼直線鋭角是亦大幾 何也若從直線鋭角半減之減之又減何以終竟 不得小於切邊角邪既本題推顯切邊角中不得 容一直線如此著明便當並無切邊角無角則無 幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至 大不可加之率無有至小不可減之率若切邊角 不可分豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也 有圜有線安得無切邊角且既言直線鋭角大於 切邊角即有切邊角矣苟無角安所較大小哉且 　　　　　　　　　子言直線與圜界並無切邊角 　　　　　　　　　則兩圜外相切亦無角乎曰然 　　　　　　　　　曰試如作甲己乙圜其心丙而 丁戊為切線即丁甲己為切邊角次移心於庚又 作甲辛癸圜即丁甲辛為切邊角而小於丁甲己 次移心於子又作甲丑寅圜即丁甲丑為切邊角 而又小於丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又 於切線之外以辰為心作甲己午圜而與前圜外 相切於甲依子所説疑無角焉然兩圜外相切而 以丁戊線分之不可分乎更自辰至寅作直線截 兩圜之界而分丁戊為兩平分不可分乎兩圜兩 直線交羅相遇於甲也能不皆以一㸃乎如以一 㸃也即此一㸃之外不能無空即不能不為四切 邊角矣子所據尺棰之分無盡又言幾何原本書 中無至小不可減之率也是也夫切邊角但不可 以直線分之耳若用圜線則可分矣如 甲乙庚圜與丙甲丁直線相切於甲作 丁甲庚切邊大角若移一心作甲戊辛 圜又得丁甲辛切邊角即小於丁甲庚也又移一 心作甲己壬圜又得丁甲壬切邊小角即又小於 丁甲辛也如此以至無窮則切邊角分之無盡何 謂不可減邪若十卷第一題所言元無可疑但以 圜角分圜角則與其説合矣彼所言大小兩幾何 者謂夫能相較為大能相較為小者也如以直線 分直線角以圜線分圜線角是已此切邊角與直 線角豈能相較為大小哉

増題有兩種幾何一大一小以小率半増之遞増 至於無窮以大率半減之遞減至於無窮其元大 者恆大元小者恆小

解曰戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直 線鋭角為大率今別作甲丙甲丁等圜 俱切戊己線於甲其切邊角愈増愈大 如前論別以庚癸庚子線作角分壬庚 辛角於庚愈分愈小然直線角恆大切 邊角恆小乃至終古不得相比

又増題舊有一説以一小率加一大率之上或以 一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至 一相等之處又一説有率大於此率者有率小於 此率者則必有率等於此率者昔人以為皆公論 也若用以律本題即不可得故今斥不為公論

解曰甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲 界定在於甲而引丙線逐線漸移之向 已其所經丁戊己及中間逐線所經無 數然依本題論則甲丙所經凡割圜時皆為鋭角 即小於半圜分角纔離鋭角便為直角即大於半 圜分角是所經無數線終無有相等線可見前一 舊説未為公論又直線鋭角皆小於半圜分角直 角與鈍角皆大於半圜分角是有大者有小者終 無等者可見後一舊説未為公論也

第十七題

設一㸃一圜求從㸃作切線

法曰甲㸃求作直線切乙丙圜其圜心丁 先從甲作甲丁直線截乙丙圜於乙次以 丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁 　之垂線而遇甲戊圜於戊次作戊丁直線而截乙丙 　圜於丙末作甲丙直線即切乙丙圜於丙

論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙兩腰與甲 丙丁角形之甲丁丁丙兩腰各等〈一卷界説十五〉 丁角同即甲丙乙戊兩底亦等〈一卷四〉而戊 　乙丁為直角即甲丙丁亦直角則甲丙偕乙丙圜之 　半徑丁丙為一直角矣豈非圜之切線〈本篇十六之系〉

第十八題

直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線

解曰甲乙直線切丙丁圜於丙從戊心至 切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線

論曰如雲不然令從戊別作垂線如至已 　而截丙丁圜於丁其丙戊己角形之戊己丙既為直 　角即宜大於己丙戊角〈一卷十七〉而對大角之戊丙邊宜 　大於對小角之戊己邊矣〈一卷十九〉夫戊丙與戊丁等也 　戊丙大於戊已則戊丁亦大於戊己乎

　又論曰若雲丙非直角即其兩旁角一鋭一鈍令乙 　丙戊為鋭角則鋭角乃大於半圜分角乎〈本篇十六〉

第十九題

直線切圜圜內作切線之垂線則圜心必在垂線之內

　解曰甲乙線切丙丁戊圜於丙圜內作戊丙為甲乙 之垂線題言圜心在戊丙線內

論曰如雲不然心在於已令從已作己丙 直線即己丙亦為甲乙之垂線〈本篇十八〉而已 　丙甲與戊丙甲等為直角是全與其分等矣

第二十題

負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍 　大於負圜角

　解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負 　圜角同以乙丙圜分為底題言乙丁丙角倍大於乙 　甲丙角

先論分圜角在乙甲甲丙之內者曰如上 圖試從甲過丁心作甲戊線其甲丁乙角 形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲兩角 　等〈一卷五〉而乙丁戊外角與內相對兩角並等〈一卷卅二〉即 　乙丁戊倍大於乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大於丙 　甲丁則乙丁丙全角亦倍大於乙甲丙全角

次論分圜角不在乙甲甲丙之內而甲乙 線過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁 丙外角等於內相對之丁甲丙丁丙甲兩 　角並〈一卷卅二〉而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等〈一卷〉 　〈五〉則乙丁丙角倍大於乙甲丙角

後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截 丁丙者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊 線其戊丁丙分圜角與戊甲丙負圜角同 　以戊乙兩圜分為底如前次論戊丁丙角倍大於戊 　甲丙角依顯戊丁乙分圜角亦倍大於戊甲乙負圜 角次於戊丁丙角減戊丁乙角戊甲丙 角減戊甲乙角則所存乙丁丙角必倍 大於乙甲丙角

増若乙丁丁丙不作角於心或為半圜 或小於半圜則丁心外餘地亦倍大於 同底之負圜角

論曰試從甲過丁心作甲戊線即丁心外餘地分 為乙丁戊戊丁丙兩角依前論推顯此兩角倍大 於乙甲丁丁甲丙兩角

第二十一題

凡同圜分內所作負圜角俱等

解曰甲乙丙丁圜其心戊於丁甲乙丙圜 分內任作丁甲丙丁乙丙兩角題言此兩 角等

　先論函心大分所作曰試從戊作戊丁戊丙線其丁 　戊丙分圜角既倍大於丁甲丙角丁乙丙角〈本篇十二〉即 甲乙兩角自相等〈公論七〉

後論半圜分不函心小分所作曰丁甲乙 丙或為半圜分或為不函心小分俱從甲 從乙過戊作甲己乙庚兩線若不函心更 從戊作戊丁戊丙兩線其丁戊己分圜角 既倍大於丁甲己負圜角〈本篇二十〉依顯丙戊 　己分圜角亦倍大於丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊 　己兩角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戊己己戊丙 　三角必倍大於丁甲丙依顯此三角亦倍大於丁乙 　丙則丁甲丙丁乙丙兩角自相等

　又後論曰二十題増言分圜不作角其心外餘地倍 大於同底各負圜角即各角自相等

又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇為已試 作甲乙線相聯其甲丁己角形之三角並 與乙丙己角形之三角並等〈一卷卅二〉次每減 一交角相等之甲己丁乙己丙〈一卷十五〉即己 甲丁己丁甲兩角並與己丙乙己乙丙兩 角並等矣而甲丁乙乙丙甲兩角同在甲 丁丙乙函心大分內又等〈本題第一論〉則丁甲 丙與丙乙丁亦等

　又後論曰丁丙之外任取一界為已作丁己丙己兩 　線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙甲丁己俱為大 分次於甲己乙己各作直線相聨其丁甲 已與丁乙己兩角同負於甲乙丙己圜界 即等〈本題第一論〉依顯丙乙己與丙甲已兩角 同負丙乙甲丁己圜界又等此二相等率 並之則丁甲丙丁乙丙兩全角亦等

第二十二題

圜內切界四邊形每相對兩角並與兩直角等

　解曰甲乙丙丁圜其心戊圜內有甲乙丙丁四邊形 題言甲乙丙丙丁甲兩角並乙丙丁丁甲 乙兩角並各與兩直角等

論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁 甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圜分即等〈本篇〉 〈廿一〉依顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等則甲乙 丁丙乙丁兩角並為甲乙丙一角與甲丙 　丁丙甲丁兩角並等次每加一丙丁甲角即甲乙丙 　丙丁甲並與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角並等此三 　角並元與兩直角等〈一卷卅二〉則甲乙丙丙丁甲相對兩 　角並與兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙並亦與兩直 　角等

第二十三題

一直線上作兩圜分不得相似而不相等

論曰如雲不然令於甲乙線上作同方兩 圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲 丁乙其兩圜相交止於甲乙兩㸃〈本篇十〉即 　一圜分全在內一圜分全在外矣次令作甲丁線截 　甲丙乙圜於丙末令作丙乙丁乙兩線相聨夫兩圜 　分相似者其負圜角宜等〈本卷界説十〉則乙丙甲外角與 　相對之乙丁甲內角等乎〈一卷十六〉

第二十四題

相等兩直線上作相似兩圜分必等

　解曰甲乙丙丁兩線上作甲丙乙丙己丁相似兩圜 　分題言兩圜分等

論曰甲乙丙丁兩線既等試以甲乙線加 丙丁線上兩線必相合即甲丙乙丙己丁 兩圜分相加亦相合如雲不然必兩圜分 相加或在內或在外或半在內半在外矣 若在內在外即一直線上有兩圜分相似 而不相等也〈本篇廿三〉若半在內半在外即兩 圜三相交也〈本篇十〉兩俱不可故相似者必 　等

第二十五題

有圜之分求成圜

法曰甲乙丙圜分求成圜先於分之兩端作 甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙 線相聯其丁乙甲角或大於丁甲乙角或等 　或小若大即甲乙丙當為圜之小分何也乙丁分甲 　丙為兩平分即知圜之心必在乙丁線內〈本篇一之系〉而 　心在丁㸃之外則從丁㸃所出丁乙為不過心徑線 　至小〈本篇七〉故對小邊之丁甲乙角小於對大邊之丁 　乙甲角也〈一卷十八〉即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從 　乙丁引出一線與甲戊線遇於戊即戊為圜心

　論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與 　丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁 　戊兩皆直角即對直角之甲戊與戊丙兩線等〈一卷四〉 　夫甲戊與乙戊以對角等故既等〈一卷六〉戊丙與甲戊 　又等則從戊至界三線皆等而戊為心〈本篇九〉

次法兼論曰若丁乙甲丁甲乙兩角等即甲 乙丙為半圜而甲丙為徑丁為心何也丁乙 丁甲兩邊等然後丁乙甲丁甲乙兩角等〈一卷〉 　〈五〉今丁乙甲丁甲乙兩角既等即丁乙丁甲兩線必 　等〈一卷六〉丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁 為圜心〈本篇九〉

後法曰若丁乙甲小於丁甲乙即甲乙丙 當為圜大分何也乙丁分甲丙為兩平分 　即知圜心在乙丁線內〈本篇一之系〉而丁㸃在心之外則 　所出丁乙為過心徑線至大〈本篇七〉故對大邊之丁甲 　乙大於對小邊之丁乙甲也〈一卷十八〉即作乙甲戊角與 　丁乙甲角等而甲戊線與乙丁線遇於戊即戊為圜 　心

　論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與 　丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁 　戊兩皆直角即對直角之甲戊戊丙兩線亦等〈一卷四〉 　夫乙戊與甲戊以對角等故既等〈一卷五〉戊丙與甲戊 　亦等則從戊至界三線皆等而戊為心〈本篇九〉

増求圜分之心有一簡法於甲乙丙圜 分任取三㸃於甲於乙於丙以兩直線 聯之各兩平分於丁於戊從丁從戊作 甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇於己 即已為圜心

論曰己丁己戊既各以兩直角平分甲乙乙丙兩 線即圜之心當在兩垂線內〈本篇一〉而相遇於已即 已為圜心

其用法圜界上任取四㸃為甲為乙為 丙為丁每兩㸃各自為心相向各任作 圜分四圜分兩兩相交於戊於己於庚 於辛從戊己從庚辛各作直線引長之 交於壬即壬為圜心

論曰試作甲戊戊乙乙己己甲四直線此四線各 為同圜等圜之半徑各等即甲戊己角形之甲戊 己甲己戊兩角等而乙戊己角形之乙戊己乙己 戊兩角亦等次作甲乙直線分戊己於癸即甲己 癸角形之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己 癸同邊而對甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角 之乙癸邊亦等〈一卷八〉則甲癸己乙癸己俱為直角 而戊己線必過心〈本篇一〉依顯庚辛線亦過心而相 遇於壬為圜心

第二十六題〈二支〉

等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦 　等

先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圜等其 心為庚為辛有甲庚丙與丁辛己兩乘圜 角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等

論曰試於甲乙丙丁戊己兩圜分之上任 取兩㸃於乙於戊從乙作乙甲乙丙從戊 作戊丁戊己各兩線次作甲丙丁己兩線 相聯其乙與戊兩角既各半於庚辛兩角 即乙與戊自相等〈本篇二十〉而所負甲乙丙與 丁戊己兩圜分相似〈本卷界説十〉又甲庚丙角 形之甲庚庚丙兩邊與丁辛己角形之丁 　辛辛己兩邊各等庚角與辛角又等即甲丙與丁己 　兩邊亦等〈一卷四〉而相似之甲乙丙與丁戊己兩圜分 　在等線上亦等〈本篇卄四〉夫相等圜減相等圜分則所存 　甲丙丁己兩圜分亦等故云等角所乘之圜分等

　後解在界者曰兩圜之乙與戊兩乘圜角等題言所 　乘之甲丙丁己兩圜分亦等

　論曰乙戊兩角既等而庚辛兩角各倍於乙戊即庚 　辛自相等〈本篇二十〉依前論甲丙丁己兩邊亦自相等而 　甲乙丙與丁戊己兩圜分亦等〈本篇廿四〉今於相等圜減 　相等圜分則所存甲丙丁己兩圜分亦等

注曰後解極易明蓋庚辛角既各倍於乙戊則依 　　先論甲丙丁己自相等〈在心之乘圜角即分圜角隨類異名〉

第二十七題〈二支〉

等圜之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等 　　　　　　　　先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩 　　　　　　　　圜等其心為庚為辛若甲庚丙乘 　圜角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁己分等題 　言甲庚丙丁辛己兩角等

　論曰如雲不然而庚大於辛令作甲庚壬角與丁辛 己角等即甲壬圜分宜與丁己圜分等〈本篇〉 〈廿六〉而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦 等乎

後解在界者曰甲丙丁己兩圜分等題言 其上乙戊兩角亦等

　論曰如雲不然而乙大於戊令作甲乙壬角與戊角 　等其甲乙壬與丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜 　等〈本篇廿六〉而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎

増題從此推顯兩直線不相交而在一 圜之內若兩線界相去之圜分等則兩 線必平行若兩線平行則兩線界相去 之圜分等

先解曰甲乙丙丁圜內有甲丁乙丙兩線其相去 之甲乙丁丙兩圜分等題言兩線必平行

論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等 即甲丙乙與丙甲丁兩乘圜角亦等〈本題〉既內相對 之兩角等即兩線必平行〈一卷廿七〉

後解曰甲丁乙丙為平行線題言甲乙 丁丙兩圜分必等

論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行 　　即內相對之兩角甲丙乙丙甲丁必等〈一卷廿七〉而所 乘圜分甲乙丁丙亦等〈本篇廿六〉

第二十八題

等圜內之直線等則其割本圜之分大與大小與小各 　等

解曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為 辛圜內有甲丙丁己兩直線等題言甲乙 丙與丁戊己兩大分甲丙與丁己兩小分 各等

論曰試於甲庚庚丙丁辛辛己各作直線 其甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之 　丁己兩底既等而甲庚庚丙兩腰與丁辛辛己兩腰 　又等即庚辛兩角亦等〈一卷八〉其所乘之甲丙丁己兩 　小分必等〈本篇廿六〉次減相等之甲丙丁己兩小分則所 　存甲乙丙丁戊己兩大分亦等

第二十九題

等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等

　　　　　　　　解曰依前題兩圜之甲乙丙丁戊 　　　　　　　　己兩圜分等而甲丙丁己兩圜分 　亦等題言甲丙丁己兩線必等

論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲 庚庚丙兩腰與丁辛己角形之丁辛辛己 兩腰等而庚辛兩角所乘之甲丙丁己兩 圜分等即庚辛兩角亦等〈本篇廿七〉而對等角 之甲丙丁己兩線必等〈一卷四〉

注曰第二十六至二十九四題所説俱等圜其在 同圜亦依此論

第三十題

有圜之分求兩平分之

法曰甲乙丙圜分求兩平分先於分之兩 界作甲丙線次兩平分於丁從丁作乙丁 為甲丙之垂線即乙丁分甲乙丙圜分為 　兩平分

　論曰從乙作乙甲乙丙兩線其甲乙丁角形之甲丁 　與丙乙丁角形之丙丁兩腰等丁乙同腰而甲丁乙 　與丙丁乙兩直角又等即對直角之甲乙乙丙兩底 　亦等〈一卷四〉而甲乙與乙丙兩圜分亦等〈本篇十八〉則甲乙 　丙圜界兩平分於乙矣

第三十一題〈五支〉

負半圜角必直角負大分角小於直角負小分角大於 　直角大圜分角大於直角小圜分角小於直角

解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙於半 圜分內任作甲乙丙角形即甲乙丙角 負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙 　大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半 　圜之甲乙丙為直角二言負大分之乙甲丙角小於 　直角三言負小分之乙戊丙角大於直角四言丙乙 　甲大圜分角大於直角後言丙乙戊小圜分角小於 　直角

　先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至已其丁 　乙丁甲兩線等即丁乙甲丁甲乙兩角等〈一卷五〉依顯 　丁乙丙丁丙乙兩角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙 　甲丙乙兩角並等又己乙丙外角亦與相對之乙甲 　丙甲丙乙兩內角並等〈一卷卅二〉則己乙丙與甲乙丙等 　為直角

　二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既為直角則乙甲丙 　小於直角〈一卷十七〉

　三論曰甲乙戊丙四邊形在圜之內其乙甲丙乙戊 　丙相對兩角並等兩直角〈本篇廿二〉而乙甲丙小於直角 　則乙戊丙大於直角

　四論曰甲乙丙直角為丙乙甲大圜分角之分則大 　於直角

　後論曰丙乙戊小圜分角為己乙丙直角之分則小 　於直角 此題別有四解四論先解曰甲乙丙半圜其 心丁其上任作甲乙丙角題言此為直角

論曰試作乙丁線其丁乙丁甲兩線既等即 　丁乙甲丁甲乙兩角亦等〈一卷五〉而乙丁丙外角既與 　丁乙甲丁甲乙相對之兩內角並等〈一卷卅二〉即倍大於 　丁乙甲角依顯乙丁甲外角亦倍大於丁乙丙角即 　乙丁甲乙丁丙兩角並亦倍大於甲乙丙角夫乙丁 　甲乙丁丙並等兩直角〈一卷十三〉則甲乙丙為直角

二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙 丙角題言此小於直角

論曰試作甲丁戊徑線次作乙戊線相聯 　其甲乙戊既為直角〈本題一論〉即甲乙丙為其分而小於 　直角

三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙 丙角題言此大於直角

論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至 　戊次作乙戊線其甲乙戊既負半圜之直角而為甲 　乙丙角之分則甲乙丙大於直角 　四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊 　題言丙甲乙大圜分角大於直角丙甲丁小圜分角 小於直角

論曰試作乙戊丙徑線次作乙甲線引 長之至己其乙甲丙直角為丙甲乙大 　圜分角之分而丙甲丁小圜分角又為己甲丙直角 　之分則大分角大於直角小分角小於直角 　一系凡角形之內一角與兩角並等其一角必直角 　何者其外角與內相對之兩角等則與外角等之內 　交角豈非直角 　二系大分之角大於直角小分之角小於直角終無 　有角等於直角又從小過大從大過小非大即小終 　無相等依此題四五論甚明與本篇十六題増注互 　相發也

第三十二題

直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分內各任為 　負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互 　相等

　解曰甲乙線切丙丁戊圜於丙從丙任作丙戊直線 　割圜為兩分兩分內任作丙丁戊丙庚戊兩負圜角 題言甲丙戊角與丙庚戊角乙丙戊角與 丙丁戊角交互相等

先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戊乙 丙戊兩皆直角〈一卷十八〉而丙庚戊丙丁戊兩 負半圜角亦皆直角〈本篇卅一〉則交互相等

後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙 己過心直線次作戊己線相聯其己丙為 　　　　　甲乙之垂線〈一卷十八〉而丙戊己為直角〈本篇卅一〉 即戊丙己戊己丙兩角並等於一直角亦 　等於甲丙己角矣此兩率者各減同用之戊丙己角 　即所存戊己丙與甲丙戊等也夫戊己丙與丙庚戊 　元等〈本卷廿一〉則甲丙戊與丙庚戊交互相等又丙丁戊 　庚四邊形之丙丁戊丙庚戊兩對角並等兩直角〈本篇〉 　〈廿二〉而甲丙戊乙丙戊兩交角亦等兩直角〈一卷十三〉此二 　率者各減一相等之甲丙戊丙庚戊則所存丙丁戊 　乙丙戊亦交互相等

第三十三題

一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等

先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負 圜分角與丙等其丙角或直或鋭或鈍若直 角先以甲乙兩平分於丁次以丁為心甲乙 　為界作半圜圜分內作甲戊乙角即負半圜角為直 　角〈本篇卅一〉如所求

次法曰若設丙鋭角先於甲㸃上作丁 甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲丁之 垂線於甲乙之上次作己乙甲角與己 甲乙角等而乙己線與甲戊線遇於己 　即己乙己甲兩線等〈一卷六〉末以己為心甲為界作甲 　庚圜必過乙即甲庚乙圜分內甲乙線上所作負圜 　角必為鋭角而與丙等

　論曰試作甲庚乙角其甲己戊線過己心而丁甲又 　為戊甲之垂線即丁甲線切甲庚乙圜於甲〈本篇十六之系〉 　則丁甲乙與甲庚乙兩角交互相等〈本篇卅二〉如所求 　後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次 　作戊甲為壬甲之垂線餘倣第二法而於甲乙線上 　作甲癸乙等即與辛等

　後論同次

第三十四題

設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等

法曰設甲乙丙圜求割一分而負圜分角 與丁等先作戊己直線切圜於甲〈本篇十七〉次 作已甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上 所作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等 　何者已甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故〈本篇〉 　〈卅二〉

第三十五題

圜內兩直線交而相分各兩分線矩內直角形等

解曰甲丙乙丁圜內有甲乙丙丁兩線交 而相分於戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕 戊丁兩矩內直角形等其兩線或俱過心 　或一過心一不過心或俱不過心若俱過心者其各 　分四線等即兩矩內直角形亦等

　先論曰圜內線獨丙丁過己心者又有二種其一丙 　丁平分甲乙線於戊即丙戊線在甲乙上為兩直角 〈本篇三〉試作已乙線相聯其丙丁線既兩平 分於己又任兩分於戊即丙戊偕戊丁矩 內直角形及已戊上直角方形並與等已 　丁之已乙上直角方形等〈二卷五〉夫已乙上直角方形 　與已戊戊乙上兩直角方形並等〈一卷四七〉即丙戊偕戊 　丁矩內直角形及已戊上直角方形並與已戊戊乙 　上兩直角方形並亦等矣次每減同用之已戊上直 　角方形則所存丙戊偕戊丁矩內直角形不與戊乙 　上直角方形等乎戊乙與甲戊既等即甲戊偕戊乙 　矩內直角形與丙戊偕戊丁矩內直角形亦等

次論曰若丙丁任分甲乙線於戊即以甲 乙線兩平分於庚次於庚己巳乙各作直 線相聯即已庚為甲乙之垂線而成兩直 　角〈本篇三〉其丙戊偕戊丁矩內直角形及巳 戊上直角方形並與等已丁之已乙上直 角方形等〈二卷五〉而已戊上直角方形與已 　庚庚戊上兩直角方形並等〈一卷四七〉已乙上直角方形 　與已庚庚乙上兩直角方形並亦等則丙戊偕戊丁 　矩內直角形及已庚庚戊上兩直角方形並與已庚 　庚乙上兩直角方形並等次每減同用之已庚上直 　角方形即所存丙戊偕戊丁矩內直角形及庚戊上 　直角方形不與庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊 　乙矩內直角形及庚戊上直角方形並亦與庚乙上 　直角方形等〈二卷五〉此二相等率者每減同用之庚戊 　上直角方形則丙戊偕戊丁與甲戊偕戊乙兩矩內 　直角形等矣

後論曰圜內兩線俱不過心者又有二種 或一線平分或兩俱任分皆從已心與戊 相聨作直線引長之為庚辛線依上論甲 戊偕戊乙矩內直角形不論甲乙線平分 任分皆與過心之庚戊偕戊辛矩內直角 形等又依上論丙戊偕戊丁矩內直角形 　不論丙丁線平分任分亦與過心之庚戊偕戊辛矩 　內直角形等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩內 　直角形等

第三十六題

圜外任取一㸃從㸃出兩直線一切圜一割圜其割圜 　之全線偕規外線矩內直角形與切圜線上直角方 　形等

　解曰甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙線切圜於 　乙〈本篇十七〉作丁甲線截圜界於丙題言甲丁偕丙丁矩 　內直角形與丁乙上直角方形等

先論丁甲過戊心者曰試作乙戊線為丁 乙之垂線〈本篇十八〉其甲丙線平分於戊又引 出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩內直角形 　及等戊丙之戊乙上直角方形並與戊丁上直角方 　形等〈二卷六〉而戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直 　角方形並等〈一卷四七〉即甲丁偕丙丁矩內直角形及戊 　乙上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形並等此 　兩率者每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁 　偕丙丁矩內直角形與丁乙上直角方形等

　　　　　　　　　　後論丁甲不過戊心者曰試 　　　　　　　　　　以甲丙線兩平分於已次從 　　　　　　　　　　戊心作戊已戊丙戊丁戊乙 　四線即戊乙為丁乙之垂線〈本篇十八〉戊已為甲丙之垂 　線〈本篇三〉其甲丙線既兩平分於已又引出一丙丁線 即甲丁偕丁丙矩內直角形及已丙上直 角方形並與已丁上直角方形等〈二卷六〉次 每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙 矩內直角形及已丙戊已上兩直角方形 並與己丁戊己上兩直角方形並等夫己 丙戊己上兩直角方形並與等戊丙之戊 　乙上直角方形等〈一卷四七〉而戊丁上直角方形與己丁 　戊己上兩直角方形並等即甲丁偕丁丙矩內直角 　形及戊乙上直角方形與戊丁上直角方形等矣又 　戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形並等 　即甲丁偕丁丙矩內直角形及戊乙上直角方形並 　與戊乙丁乙上兩直角方形並等次每減同用之戊 　乙上直角方形則所存甲丁偕丁丙矩內直角形與 丁乙上直角方形等

一系若從圜外一㸃作數線至規內各全 線偕規外線矩內直角形俱等如從甲作 　甲丙甲丁甲戊各線截圜界於己於庚於辛其甲丙 　偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩內直角形俱 　等何者試作甲乙切圜線則各矩線內直角形與甲 　乙上直角方形俱等故〈本題〉

二系從圜外一㸃作兩直線切圜此兩線 等如甲㸃作甲乙甲丙兩切圜線即甲丙 與甲乙等何者試從甲作甲丁線截圜界 　於戊其甲乙甲丙上兩直角方形各與甲丁偕甲戊 　矩內直角形等〈本題〉則此兩直角方形自相等

三系從圜外一㸃止可作兩直線切圜若 言從甲既作甲乙甲丙兩線切圜又可作 甲丁線亦切圜令從戊心作戊乙戊丁兩 　線即甲乙戊為直角而甲丁戊亦宜等為直角〈本篇十八〉 　試作甲戊直線則甲乙戊角形內有甲丁戊角應大 　於甲乙戊角〈一卷廿一〉安得為直角也又甲乙甲丁若俱 　切圜即兩線宜等〈本題二系〉試作甲戊線截圜於己則甲 　丁為近己線甚小當小於逺己之甲乙線〈本篇八〉又安 　得相等也故一㸃上止可作切圜線兩也

第三十七題

圜外任於一㸃出兩直線一至規外一割圜至規內而 　割圜全線偕割圜之規外線矩內直角形與至規外 　之線上直角方形等則至規外之線必切圜

　解曰甲乙丙圜其心戊從丁㸃作丁乙至規外之線 　遇圜界於乙又作丁甲割圜至規內之線而截圜界 於丙其丁甲偕丁丙矩內直角形與丁乙 上直角方形等題言丁乙為切圜線

論曰試從丁作丁己線切圜於己〈本篇十七〉次 作戊乙戊己兩線相聯若丁甲不過戊心 者又作丁戊直線其丁己上直角方形與 丁甲偕丁丙矩內直角形等〈本篇卅六〉而丁乙 　上直角方形與丁甲偕丁丙矩內直角形亦等則丁 　乙丁己上兩直角方形自相等而丁乙丁己兩線亦 　等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊與丁己戊角形之丁 　己己戊各兩腰等丁戊同底即兩角形之三角各等 　〈一卷八〉而對丁戊底之丁己戊為直角〈本篇十八〉即丁乙戊 　亦直角故丁乙為切圜線〈本篇十六之系〉

幾何原本卷三