几何原本/卷五

卷四 ◄

几何原本 卷五

► 卷六

西洋利玛窦译

卷五之首

界说十九则

前四卷所论皆独几何也此下二卷所论皆自两以 上多几何同例相比者也而本卷则总说完几何 之同例相比者也诸卷中独此卷以虚例相比绝 不及线面体诸类也第六卷则论线论角论圜界 诸类及诸形之同例相比者也今先解向后所用 名目为界说十九

第一界

分者几何之几何也小能度大以小为大之分 以小几何度大几何谓之分曰几何之几 何者谓非此小几何不能为此大几何之 分也如一点无分亦非几何即不能为线 之分也一线无广狭之分非广狭之几何 　即不能为面之分也一面无厚薄之分非厚薄之几 　何即不能为体之分也曰能度大者谓小几何度大 　几何能尽大之分者也如甲为乙为丙之分则甲为 　乙三分之一为丙六分之一无赢不足也若戊为丁 　之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不 　足是小不尽大则丁不能为戊己之分也以数明之 　若四于八于十二于十六于二十诸数皆能尽分无 　赢不足也若四于六于七于九于十于十八于三十 　八诸数或赢或不足皆不能尽分者也本书所论皆 　指能尽分者故称为分若不尽分者当称几分几何 　之几如四于六为三分六之二不得正名为分不称 　小度大也不为大几何内之小几何也

第二界

若小几何能度大者则大为小之几倍 　如第一界图甲与乙能度丙则丙为甲与乙之几倍 　若丁戊不能尽己之分则己不为丁戊之几倍

第三界

比例者两几何以几何相比之理 　两几何者或两数或两线或两面或两体各以同类 　大小相比谓之比例若线与面或数与线相比此异 　类不为比例又若白线与黒线热线与冷线相比虽 　同类不以几何相比亦不为比例也

　比例之说在几何为正用亦有借用者如时如音如 　声如所如动如称之属皆以比例论之

　凡两几何相比以此几何比他几何则此几何为前 　率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之 　线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之 　线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也

　比例为用甚广故详论之如左

　凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合 　如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为 　小合如直角方形之两边与其对角线可以相比而 　非数可明者是也

　如上二种又有二名其大合线为有两度之线如二 　十尺比八尺两线为大合则二尺四尺皆可两度之 　者是也如此之类凡数之比例皆大合也何者有数 　之属或无他数可两度者无有一数不可两度者若 　七比九无他数可两度之以一则可两度之也其小 　合线为无两度之线如直角方形之两边与其对角 　线为小合即分至万分以及无数终无小线可以尽 　分能度两率者是也〈此论详见十卷末题〉 　小合之比例至十卷详之本篇所论皆大合也

　凡大合有两种有等者如二十比二十十尺之线比 　十尺之线是也有不等者如二十比十八比四十六 　尺之线比二尺之线是也

　如上等者为相同之比例其不等者又有两种有以 　大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十 　是也大合比例之以大不等者又有五种一为几倍 　大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一 　分五为几倍大带几分

　一为几倍大者谓大几何内有小几何或二或三或 　十或八也如二十与四是二十内为四者五如三十 　尺之线与五尺之线是三十尺内为五尺者六则二 　十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为 　六倍大之比例也仿此为名可至无穷也

　二为等带一分者谓大几何内既有小之一别带一 　分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至 　无穷者是也如三与二是三内既有二别带一一为二 　之半如十二尺与九尺之线是十二内既有九别带 　三三为九三分之一则三与二名为等带半也十二 　尺与九尺名为等带三分之一也

　三为等带几分者谓大几何内既有小之一别带几 　分而此几分不能合为一尽分者是也如八与五是 　八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不 　能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别 　带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却 　能为八四分之一是为带一分属在第二不属三也 　则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即 　名为等带六分也四为几倍大带一分者谓大几何 　内既有小几何之二之三之四等别带一分此一分 　或元一之半或三分四分之一以至无穷者是也如 　九与四是九内既有二四别带一一为四之分之一 　则九与四名为二倍大带四分之一也

　五为几倍大带几分者谓大几何内既有小几何之 　二之三之四等别带几分而此几分不能合为一尽 　分者是也如十一与三是十一内既有三三别带二 　一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也 　则十一与三名为三倍大带二分也

　大合比例之以小不等者亦有五种俱与上以大不 　等五种相反为名一为反几倍大二为反等带一分 　三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几 　倍大带几分

　凡比例诸种如前所设诸数俱有书法书法中有全 　数有分数全数者如一二三十百等是也分数者如 　分一以二以三以四等是也书全数依本数书之不 　必立法书分数必有两数一为命分数一为得分数 　如分一以三而取其二则为三分之二即三为命分 　数二为得分数也分一为十九而取其七则为十九 　分之七即十九为命分数七为得分数也

　书以大小不等各五种之比例其一几倍大以全数 　书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若 　四倍即书四六倍即书六也其反几倍大即用分数 　书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之 　数如大为五倍大之比例则此书五之一是也若四 　倍即书四之一六倍即书六之一也

　其二等带一分之比例有两数一全数一分数其全 　数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一 　为得分数如三与二名为等带半即书一别书二之 　一也其反等带一分则全用分数而以大比例之命 　分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此 　之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又 　如等带八分之一反书之即书九之八也又如等带 　一千分之一反书之即书一千○○一之一千也

　其三等带几分之比例亦有两数一全数一分数其 　全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以 　所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书 　一别书七之三也其反等带几分亦全用分数而以 　大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分 　数加大之得分数为此之命分数如大为等带七之 　三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如 　等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二 　十也

　其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全 　数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十 　二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一 　名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分 　数一为得分数书三别书七之一也其反几倍大带 　一分则以大比例之命分数为此之得分数以大之 　命分数乘大之倍数加一为此之命分数如大为三 　带七之一即以七乘三得二十一又加一为命分数 　书二十二之七也又加五带九之一反书之九乘五 　得四十五加一为四十六即书四十六之九也

　其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全 　数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如 　二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三 　倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分 　数书三别书八之五也其反几倍大带几分则以大 　比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数 　乘大之倍数加大之得分数为此之命分数如大为 　三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九 　书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之 　五也

　以上大小十种足尽比例之凡不得加一减一

第四界

两比例之理相似为同理之比例 　两几何相比谓之比例两比例相比谓之同理之比 例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁 两几何之比例其理相似为同理之比 例又若戊与己两几何之比例偕己与 庚两几何之比例其理相似亦同理之 　比例 　凡同理之比例有三种有数之比例有量法之比例 　有乐律之比例本篇所论皆量法之比例也量法比 　例又有二种一为连比例连比例者相续不断其中 　率与前后两率递相为比例而中率既为前率之后 　又为后率之前如后图戊与己比己又与庚比是也 　二为断比例断比例者居中两率一取不再用如前 　图甲自与乙比丙自与丁比是也

第五界

两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何 　上文言为比例之几何必同类然同类中亦有无比 　例者故此界显有比例之几何也曰倍其身而能相 　胜者如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身 　即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方 　形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明 　而直角方形之一边一倍之即大于对角线〈两边等三角形〉 　〈其两边并必大于一边见一卷二十〉是亦有小合比例之线也又圜之 　径四倍之即大于圜之界则圜之径与界亦有小合 　比例之线也〈圜之界当三径七分径之一弱别见圜形书〉又曲线与直线 　亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一 　直角方形与之等〈六卷三十三一増题今附〉即曲直两线相视有 　大有小亦有比例也又方形与圜虽自古至今学士 　无数不能为相等之形然两形相视有大有小亦不 　可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如上 　图直角钝角锐角皆有与曲线角等者若第一图甲 乙丙直角在甲乙乙丙两直线内而其间设 有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙 丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙 丙直角等矣依显壬庚癸曲线角与己庚辛 钝角等也又依显卯丑辰曲线角与子丑寅 锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两 角亦等也此五者皆疑无比例而实有比例 者也他若有穷之线与无穷之线虽则同类 　实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之 　线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者 　毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切 　圜角与直线锐角亦无比例何者依三卷十六题所 　说毕世倍切边角不能胜至小之锐角故也此后诸 　篇中每有倍此几何令至胜彼几何者故备著其理 　以需后论也

第六界

四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第 　一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或 　俱为大俱为小恒如是

　两几何曷显其能为比例乎上第五界所说是也两 　比例曷显其能为同理之比例乎此所说是也其术 　　　　　　　　通大合小合皆以加倍法求之如 　　　　　　　　一甲二乙三丙四丁四几何于一 　　　　　　　　甲三丙任加几倍为戊为己戊倍 　甲己倍丙其数自相等次于二乙四丁任加几倍为 　庚为辛庚倍乙辛倍丁其数自相等而戊与己偕庚 　与辛相视或等或俱大或俱小如是等大小累试之 　恒如是即知一甲与二乙偕三丙与四丁为同理之 　比例也

　如初试之甲几倍之戊小于乙几倍之庚而丙几倍 　之己亦小于丁几倍之辛又试之倍甲之戊与倍乙 　之庚等而倍丙之己亦与倍丁之辛等三试之倍甲 　　　　　　　　之戊大于倍乙之庚而倍丙之己 　　　　　　　　亦大于倍丁之辛此之谓或相等 　　　　　　　　或虽不等而俱为大俱为小若累 　合一差即元设四几何不得为同理之比例如下第 　八界所指是也

　下文所论若言四几何为同理之比例即当推显第 　一第三之几倍与第二第四之几倍或等或俱大俱 　小若许其四几何为同理之比例亦如之

　以数明之如有四几何第一为三第二为二第三为 　六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为 　十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍 为十四为二十八其倍第一之十二既 小于倍第二之十四而倍第三之二十 四亦小于倍第四之二十八也又以第 一之三第三之六同加六倍为十八为 三十六次以第二之二第四之四同加 　九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍 　第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之 　三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九 　为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为 　八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之 　十八亦大于倍第四之八也若尔或俱大俱小或等 　累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例 　也

　以上论四几何者断比例之法也其连比例法仿此 　但连比例之中率两用之既为第二又为第三视此 　异耳

第七界

同理比例之几何为相称之几何 　甲与乙若丙与丁是四几何为同理之 　比例即四几何为相称之几何又戊与 　己若己与庚即三几何亦相称之几何

第八界

四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几 　倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第 　三与四之比例 　此反上第六界而释不同理之两比例其相视曷显 　为大曷显为小也谓第一第三之几 　倍与第二第四之几倍依上累试之 　其间有第一之几倍大于第二之几 　倍而第三之几倍乃或等或小于第四之几倍即第 　一与二之比例大于第三与四之比例也如上图甲 　一乙二丙三丁四甲与丙各三倍为戊己乙与丁各 　四倍为庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙 　三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲与乙之比例大 　于丙与丁也若第一之几倍小于第二之几倍而第 　三之几倍乃或等或大于第四之几倍即第一与二 　之比例小于第三与四之比例如是等大小相戾者 　但有其一不必再试

　以数明之中设三二四三四几何先有第一之倍大 　于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍后复有 第一之倍大于第二之倍而第三之倍 乃或等或小于第四之倍即第一与二 之比例大于第三与四也若以上图之 数反用之以第一为二第二为一第三 为四第四为三则第一与二之比例小 　于第三与四

第九界

同理之比例至少必三率 同理之比例必两比例相比如甲与乙 若丙与丁是四率断比例也若连比例 之戊与己若己与庚则中率己既为戊 之后又为庚之前是以三率当四率也

第十界

三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例 　四几何为同例之连比例则第一与四为三加之比 　例仿此以至无穷

　甲乙丙丁戊五几何为同理之连比例其甲与乙若 　乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊即一甲 与三丙视一甲与二乙为再加之比例 又一甲与四丁视一甲与二乙为三加 之比例何者甲丁之中有乙丙两几何 　为同理之比例如甲与乙故也又一甲与五戊视一 　甲与二乙为四加之比例也若反用之以戊为首则 　一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加 　也

　下第六卷二十题言此直角方形与彼直角方形为 　此形之一边与彼形之一边再加之比例何者若作 　三几何为同理之连比例则此直角方形与彼直角 　方形若第一几何与第三几何故也以数明之如此 　直角方形之边三尺而彼直角方形之边一尺即此 　形边与彼形边若九与一也夫九与一之间有三为 　同理之比例则九三一三几何之连比例既有三与 　一为比例又以九比三三比一为再加之比例也则 　彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分 　之一也大略第一与二之比例若线相比第一与三 　若平面相比第一与四若体相比也〈第一与五若筭家三乘方与六〉 　〈若四乘方与七若五乘方仿此以至无穷〉

第十一界

同理之几何前与前相当后与后相当 　上文己解同理之比例此又解同理之几何者盖一 　比例之两几何有前后而同理之两 　比例四几何有两前两后故特解言 　比例之论常以前与前相当后与后 　相当也如上甲与乙丙与丁两比例 　同理则甲与丙相当乙与丁相当也戊己己庚两比 　例同理则己既为前又为后两相当也如下文有两 　三角形之边相比亦常以同理之两边相当不可混 　也

　上文第六第八界说几何之几倍常以一与三同倍 　二与四同倍则以第一第三为两前第二第四为两 　后各同理故

第十二界

有属理更前与前更后与后 　此下说比例六理皆后论所需也 　四几何甲与乙之比例若丙与丁今 　更推甲与丙若乙与丁为属理　下言属理皆省曰 　更 　此论未证证见本卷十六 　此界之理可施于四率同类之比例若两线两面或 　两面两数等不为同类即不得相更也

第十三界

有反理取后为前取前为后 甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与 甲若丁与丙为反理 　证见本篇四之系 　此界之理亦可施于异类之比例

第十四界

有合理合前与后为一而比其后 甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合 甲丙为一而比乙丙合丁己为一而比戊 己即推甲丙与乙内若丁己与戊己是合 两前后率为两一率而比两后率也

　证见本卷十八

第十五界

有分理取前之较而比其后 甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分 推甲乙之较甲丙与丙乙若丁戊之较丁 己与己戊

证见本卷十七 　

第十六界

有转理以前为前以前之较为后 甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转 推甲乙与甲丙若丁戊与丁己

证见本卷十九 　

第十七界

有平理彼此几何各自三以上相为同理之连比例则 　此之第一与三若彼之第一与三又曰去其中取其 　首尾甲乙丙三几何丁戊己三几何 　等数相为同理之连比例者甲与乙 　若丁与戊乙与丙若戊与己也今平 　推首甲与尾丙若首丁与尾己 　平理之分又有二种如后二界

第十八界

有平理之序者此之前与后若彼之前与后而此之后 　与他率若彼之后与他率 　甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙 　若后戊与他率己是序也今平推甲 　　　　　　　与丙若丁与己也〈此与十七界同重宣序义以别后界也〉

　证见本卷二十二

第十九界

有平理之错者此数几何彼数几何此之前与后若彼 　之前与后而此之后与他率若彼之他率与其前 　甲乙丙数几何丁戊己数几何其甲 　与乙若戊与己又此之后乙与他率 　丙若彼之他率丁与前戊是错也今 　平推甲与丙若丁与己也〈十八十九界推法于十七界中通论之故两题中不再著也〉 　证见本卷二十三

増一几何有一几何相与为比例即此几何必有 彼几何相与为比例而两比例等一几何有一几 何相与为比例即必有彼几何与此几何为比例 而两比例等〈比例同理省曰比例等〉 甲几何与乙几何为比例即此几何丙 亦必有彼几何如丁相与为比例若甲 与乙也丙几何与丁几何为比例即必 有彼几何如戊与此几何丙为比例若丙与丁也 此理推广无碍于理有之不必举其率也举率之 理备见后卷

卷五

西洋利玛窦撰

第一题

此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则 　此之并率亦几倍于彼之并率

解曰：如甲乙丙丁此二几何大于戊己彼二

几何各若干倍题言甲乙丙丁并大于戊己 并亦若干倍

论曰：如甲乙与丙丁既各三倍大于戊与己

即以甲乙三分之各与戊等为甲庚庚辛辛 乙又以丙丁三分之各与己等为丙壬壬癸 癸丁即甲乙与丙丁所分之数等而甲庚既 与戊等丙壬既与己等既于甲庚加丙壬于 　戊加己其甲庚丙壬并与戊己并必等依显庚辛壬 　癸并辛乙癸丁并与戊己并各等夫甲乙与丙丁之 　分三合于戊己皆等〈本卷界说二〉则甲乙丙丁并三倍大 　于戊己并

第二题

六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而 　第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第 　五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数

解曰：一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四己之数又

　五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四己之数题言一 甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六 戊辛并倍四己之数

论曰：甲乙丁戊之倍于丙己其数等则甲

乙几何内有丙几何若干与丁戊几何内 　有己几何若干其数亦等〈本卷界说二〉依显乙庚丙有丙 　若干与戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊两等 　数率每加一等数之乙庚戊辛率则甲庚丁辛两几 　何内之分数等而一五并之甲庚内有二丙若干与 　三六并之丁辛内有四己若干亦等

注曰：若第一第三两几何之数与第二第四两几

何之数各等而第五倍第二之数等于第六倍第 四之数或第一倍第二之数等于第三倍第四之 数而第五第二两几何之数与第六第四两几何 　　　　　　　　　　之数各等俱同本论如上二 　　　　　　　　　　图甲庚为第一第五之并率 　　　　　　　　　　其倍二丙之数与丁辛为第 　　三第六之并率其倍四己之数等也〈甲庚内有丙若干与丁辛〉 　　〈内有己若干等故同理〉他若第一第三两几何之数第五第 六两几何之数与第二第四两几何之数各等此 理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六 并之倍第四俱两倍故

第三题

四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍 　第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第 　三所倍之与第四

解曰：一甲所倍于二乙若三丙所倍于

四丁次作戊己两几何同若干倍于甲 于丙题言以平理推戊倍乙之数若己倍丁

论曰：戊与己之倍甲与丙其数既等试

以戊作若干分各与甲等为戊庚庚辛 辛壬次分己亦如之为己癸癸子子丑 即戊内有甲若干与己内有丙若干等 　〈本卷界说二〉夫戊庚与甲己癸与丙既等而甲之倍乙与 　丙之倍丁又等则戊庚倍乙若己癸倍丁也依显庚 　辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫 　一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛 　之倍二乙亦若六癸子之倍四丁则一戊庚五庚辛 　并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也〈本篇二〉 　又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛 　壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁则一戊辛五辛 　壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛 　壬子丑以上任作多分皆仿此论 　

第四题〈其系为反理〉

四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同 　任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍 　与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等

解曰：甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与己同任若

　干倍于一甲三丙别作庚与辛同任若干倍于二乙 　　　　　　　　　　　　　　　四丁题言一甲 　　　　　　　　　　　　　　　所倍之戊与二 　　　　　　　　　　　　　　　乙所倍之庚偕 　　　　　　　　　　　　　　　三丙所倍之己 　　　　　　　　　　　　　　　与四丁所倍之 　　　　　　　　　　　　　　　辛比例亦等

论曰：试以戊己二㡬何同任倍之为壬为癸别以庚

　辛同任倍之为子为丑其戊之倍甲既若己之倍丙 　而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之 　倍丙也〈本篇三〉依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲 　与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子 　丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍 　乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等 　即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣〈本卷界说〉 　〈六〉夫戊己之倍为壬癸也庚辛之倍为子丑也不论 　㡬许倍其等大小三试之恒如是也则一戊所倍之 　壬与二庚所倍之子偕三己所倍之癸与四辛所倍 　之丑等大小皆同类也而戊与庚偕己与辛之比例 　必等〈本卷界说六〉 　一系凡四㡬何第一与二偕第三与四比例等即可 　反推第二与一偕第四与三比例亦等何者如上倍 　甲之壬与倍乙之子偕倍丙之癸与倍丁之丑等大 　小俱同类而显甲与乙若丙与丁即可反说倍乙之 　子与倍甲之壬偕倍丁之丑与倍丙之癸等大小俱 　同类而乙与甲亦若丁与丙〈本卷界说六〉 　二系别有一论亦本书中所恒用也曰若甲与乙偕 　两与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或 　三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例 　俱等仿此以至无穷

第五题

大小两㡬何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍 　于彼全截取之分则此全之分馀所倍于彼全之分 　馀亦如之

解曰：甲乙大㡬何丙丁小㡬何甲乙所倍

于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁 之截分丙己题言甲戊之分馀戊乙所倍 于丙巳之分馀巳丁亦如其数

论曰：试作一他㡬何为庚丙今戊巳之倍庚丙若甲

　戊之倍丙巳也〈本卷界说増〉甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其 　数等即其两并甲乙之倍庚巳亦若〈甲〉戊之倍丙巳 　也〈本篇一〉而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍 丙己则丙丁与庚己等也次毎减同用之 丙巳即庚丙与巳丁亦等而戊乙之倍巳 丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚 丙既若甲戊之倍丙己则戊乙为甲戊之 分馀所倍于巳丁为丙巳之分馀者亦若 甲乙之倍丙丁也

又论曰：试作一他㡬何为庚甲令庚甲之

　倍己丁若甲戊之倍丙巳〈本说界说二十〉即其两并庚戊之 　倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也〈本篇一〉而甲乙之倍丙 　丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊与甲乙等矣次毎减 　同用之甲戊即庚甲与戊乙等也而庚甲之倍己丁 　若甲乙之倍丙丁也则戊乙之倍巳丁亦若甲乙之 　倍丙丁也

第六题

此两㡬何各倍于彼两㡬何其数等于此两㡬何毎减 　一分其一分之各倍于所当彼㡬何其数等则其分 　馀或各与彼㡬何等或尚各倍于彼㡬何其数亦等

解曰：甲乙丙丁两㡬何各倍于戊巳两㡬

何其数等毎减一甲庚丙辛甲庚丙辛之 倍戊巳其数等题言分馀庚乙辛丁或与 　戊巳等或尚各倍于戊巳其数亦等

论曰：甲乙全与其分甲庚既各多倍于戊则分馀庚

　乙与戊其或等或尚㡬倍必矣何者庚乙与戊不等 不㡬倍其加于甲庚不成为戊之多倍也 然则庚乙与戊等曷为辛丁与巳亦等试 作壬丙与己等其一甲庚之倍二戊既若 　三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙 之等四巳则第一第五并之甲乙所倍于 二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳 　也〈本篇二〉而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己 即壬辛与丙丁亦等次毎减同用之丙辛 　即壬丙与辛丁必等是辛丁与己亦等矣然则庚乙 　之倍戊曷为与辛丁之倍己等试作壬丙其倍己若 　庚乙之倍戊依前论甲乙之倍戊若壬辛之倍己〈本篇〉 　〈二〉而壬辛与丙丁等壬丙与辛丁亦等是辛丁之倍 　己亦若庚乙之倍戊矣 　

第七题〈二支〉

此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与 　此相等之两几何各为比例亦等

解曰：甲乙两几何等彼几何丙不论等大

小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比 例必等又反上言丙与甲偕丙与乙各为 比例亦等

论曰：试作丁戊两率任同若干倍于甲乙

即丁与戊等别作己任若干倍于丙其丁 戊既等即丁视己与戊视己或等或大或 小必同类矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕 　当二又当四之丙所倍之己其等大小既同类〈本卷界说〉 　〈六〉则一甲与二丙之比例若三乙与四丙矣反说之 　当一当三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊 　其等大小既同类则一丙与二甲之比例若三丙与 　四乙矣 　后论与本篇第四题之系同用反理如甲与丙若乙 　与丙反推之丙与甲亦若丙与乙也

第八题

大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大 　于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例

解曰：不等两几何甲乙大丙小又有他几

何丁不论等大小于甲乙于丙题言甲乙 与丁之比例大于丙与丁之比例又反上 言丁与丙之比例大于丁与甲乙之比例

论曰：试于大几何甲乙内分甲戊与小几何丙等而

　戊乙为分馀次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚 　己而庚己为戊乙之倍必令大于丁辛庚为甲戊之 倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加 之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等 即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣〈本篇〉 〈一〉甲戊即丙也次作一壬癸为丁之倍令 　仅大于辛庚两倍不足三之又不足任加之己大勿 　倍也次于壬癸截取子癸与丁等即壬子必不大于 　辛庚何者向作壬癸为丁之倍元令仅大于辛庚若 　壬子大于辛庚者何必又倍之为壬癸也故仅大之 　壬癸截去子癸者必不大于辛庚也则壬子或等或 　小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸与丁等即庚 　己必大于子癸又辛庚不小于壬子〈或大或等〉即辛己亦 　大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第 　三丙也而壬癸之倍于当二之丁当四之丁又同一 　率也则第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而 　第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸〈辛庚元小于壬〉 　〈癸〉是一甲乙与二丁之比例大于三丙与四丁矣〈本卷〉 　〈界说八〉次反上说一丁所倍之壬癸〈反说则丁当一当三丙二甲乙四〉 　大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于 　四甲乙所倍之辛己〈壬癸必小于辛己〉是一丁与二丙之比 　例大于三丁与四甲乙矣〈本卷界说八〉

第九题〈二支〉

两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几 　何与两几何各为比例而等则两几何亦等 先解曰甲乙两几何各与丙为比例等题言甲 与乙等

论曰：如云不然而甲大于乙即甲与丙之比例

　宜大于乙与丙〈本篇八〉何先设两比例等也故比例等 　则甲与乙等 　后解曰丙几何与甲与乙各为比例等题言甲与乙等

论曰：如云不然而甲大于乙即丙与乙之比例宜大

　于丙与甲〈本篇八〉何先设两比例等也 　

第十题〈二支〉

彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之 　比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大 　于他与此之比例则彼几何小于此 先解曰甲乙两几何复有丙几何甲与丙之比 例大于乙与丙题言甲大于乙

论曰：如云不然甲与乙等即所为两比例宜等

　〈本篇七〉何先设甲与丙大也又不然甲小于乙即乙与 　丙之比例宜大于甲与丙〈本篇八〉何先设甲与丙大也 　后解曰丙与乙之比例大于丙与甲题言乙小于甲

论曰：如云不然乙与甲等即所为两比例宜等

〈本篇七〉何先设丙与乙大也又不然乙大于甲即 丙与甲之比例宜大于丙与乙何先设丙与乙 　大也

第十一题

此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何 　之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比 　例与此两几何之比例亦等

解曰：甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比

例等题言甲乙与丙丁之比例亦等

论曰：试于各前率之甲丙戊同任倍之为

庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之 为癸子丑其一甲与二乙之比例既若三 戊与四己即三试之若倍一甲之庚小于 倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四 己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大 于癸即壬亦大于丑矣〈本卷界说六〉依显壬之 　视丑若辛之视子其等大小亦同类矣此三前三后 　率任作几许倍其等大小皆同类也〈本卷界说六〉则甲与 　乙之比例若丙与丁也

第十二题

数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若 　各前率与各后率之比例

解曰：甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与

乙若丙与丁丙与丁若戊与己也题言甲 丙戊诸前率并与乙丁己诸后率并之比 例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之 比例也

论曰：试于各前率之甲丙戊同任倍之为

庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之 为癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若 庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若 癸之倍乙也〈本篇一〉夫一甲与二乙既若三 　丙与四丁又若三戊与四己则庚之倍一甲与癸之 　倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊与子五 　之倍四丁己等大小同类也又各前所倍庚辛壬并 　与各后所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前 　所自倍与各后所自倍其等大小必同类也〈本卷界说六〉 　则一甲与二乙之比例若三甲丙戊并与四乙丁己 　并矣

第十三题

数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三 　与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之 　比例亦大于第五与六之比例

解曰：一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与

　四丁之比例大于五戊与六己题言甲与乙之比例 亦大于戊与己

论曰：试以甲丙戊各前率同任倍之为庚

辛壬别以乙丁己各后率同任倍之为癸 子丑其甲与乙既若丙与丁即三试之若 倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必 大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等 若庚小于癸即辛亦小于子矣〈本卷界说六〉次 丙与丁既大于戊与己又三试之即倍丙 　之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之 　丑也或等或小矣〈本卷界说八〉夫庚癸与辛子等大小同 　类则壬丑不类于辛子者亦不类于庚癸也故甲与 　乙之比例亦大于戊与己〈本卷界说八〉

注曰：若三丙与四丁之比例或小或等于五戊六

己则一甲与二乙之比例亦小亦等于五戊六己 依此论推显

第十四题

四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一 　几何大于第三则第二几何亦大于第四第一或等 　或小于第三则第二亦等亦小于第四

解曰：甲与乙之比例若丙与丁题言甲大

于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小

先论曰：如甲大于丙即甲与乙之比例大

　于丙与乙矣〈本篇八〉夫一丙与二丁之比例既若三甲 　与四乙而三甲与四乙之比例大于五丙与六乙即 　一丙与二丁之比例亦大于五丙与六乙〈本篇十三〉是丁 几何小于乙也〈本篇十一〉

次论曰：如甲丙等即甲与乙之比例若丙

与乙〈本篇七〉夫甲与乙之比例元若丙与丁 　而又若丙与乙是丙与丁之比例亦若丙与乙也〈本篇〉 　〈十一〉则乙与丁等也〈本篇九〉

后论曰：如甲小于丙即丙与乙之比例大于甲与乙

　矣〈本篇八〉夫一丙与二丁之比例既若三甲与四乙而 三甲与四乙之比例小于五丙与六乙即 一丙与二丁之比例亦小于五丙与六乙 　也〈本篇十三〉是乙小于丁也〈本篇十〉

第十五题

两分之比例与两多分并之比例等

解曰：甲与乙同任倍之为丙丁为戊己题言丙丁与

　戊己之比例若甲与乙

论曰：丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲

若干与戊己内有乙若干等次分丙丁为丙庚 庚辛辛丁各与甲分等分戊己为戊壬壬癸癸 己各与乙分等即丙庚与戊壬若甲与乙也〈丙庚〉 　　　〈与甲等戊壬与乙等故见本篇七〉庚辛与壬癸辛丁与癸己皆 若甲与乙也〈本篇十一〉则等甲之丙庚与等乙之戊 　壬定若丙丁全与戊己全而丙丁全与戊己全若甲 　与乙矣〈本篇十二〉 　

第十六题〈更理〉

四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等

解曰：甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若

丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若 乙与丁

论曰：试以甲与乙之任倍之为戊为己别

以丙与丁同任倍之为庚为辛即戊与己 若甲与乙也〈本篇十五〉庚与辛若丙与丁也夫 　甲与乙若丙与丁而戊与己亦若甲与乙即戊与己 　亦若丙与丁矣依显庚与辛若丙与丁即戊与己亦 　若庚与辛也〈本篇十一〉次三试之若戊大于庚则己亦大 　于辛也若等亦等若小亦小任作几许倍恒如是也 　〈本篇十四〉则倍一甲之戊倍三乙之己与倍二丙之庚倍 　四丁之辛其等大小必同类也而甲与丙若乙与丁 　矣

第十七题〈分理〉

相合之两几何为比例等则分之为比例亦等

解曰：相合之两几何其一为甲乙丁乙其

一为丙戊己戊比例等者甲乙与丁乙若 丙戊与己戊也题言分之为比例亦等者 甲丁与丁乙若丙己与己戊也

论曰：试以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之

为庚辛辛壬为癸子子丑即庚壬之倍甲 　乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也〈本篇一〉 　夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍 　甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任 　倍之为壬寅为丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三 　子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑 　卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己 　戊也〈本篇二〉夫一甲乙与二丁乙之比例既若三丙戊 　与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若 　一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三 　丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若 等亦等若小亦小也〈本卷界说六〉如庚壬小于 辛寅而癸丑小于子卯者即每减一同用 之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而 癸子亦小于丑卯矣依显庚壬等辛寅而 癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等 丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯 　者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛为 　甲丁之倍癸子为丙己之倍壬寅为丁乙之倍丑卯 　为己戊之倍而甲丁丙己之所倍视丁乙己戊之所 　倍其等大小皆同类则甲丁与丁乙若丙己与己戊 　也〈本卷界说六〉 　

第十八题〈合理〉

两几何分之为比例等则合之为比例亦等

解曰：甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其

比例等者甲丁与丁乙若丙己与己戊是 也题言合之为比例亦等者甲乙与丁乙 若丙戊与己戊也

论曰：如前论以甲丁丁乙丙己己戊同任

倍之为庚辛辛壬为癸子子丑〈本篇二〉次别 以丁乙己戊同任倍之为壬寅为丑卯即庚壬之倍 　　甲乙若癸丑之倍丙戊也〈本篇一〉而辛寅之倍丁乙若 　　子卯之倍乙戊也〈本篇二〉夫一甲丁与二丁乙既若三 丙己与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试 之若一甲丁所倍之庚辛小于二丁乙所倍之壬寅 即三丙己所倍之癸子亦小于四己戊所 倍之丑卯也若等亦等若大亦大也〈本卷界说〉 〈六〉如庚辛小于壬寅而癸子亦小于丑卯 即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小于 辛寅而癸丑亦小于子卯矣依显庚辛等 壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸 　丑等子卯矣庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯即庚 　壬大于辛寅而癸丑大于子卯矣夫一甲乙所倍之 　庚壬与二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑 　与四己戊所倍之子卯其等大小皆同类则甲乙与 　丁乙若丙戊与己戊也〈本卷界说六〉 　

第十九题〈其系为转理〉

两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例 　等则分馀之比例与两全之比例亦等

解曰：甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁全之比例

　若截取之甲戊与丙己题言分馀戊乙与己丁之比 例亦若甲乙与丙丁

论曰：甲乙与丙丁既若甲戊与丙己试更之甲

乙与甲戊若丙丁与丙己也〈本篇十六〉次分之戊乙 与甲戊若己丁与丙己也〈本篇十七〉又更之戊乙与 己丁若甲戊与丙己也〈本篇十六〉夫甲戊与丙己元 若甲乙与丙丁则戊乙与己丁亦若甲乙与丙 　丁矣 　一系从此题可推界说第十六之转理如上甲乙与 　戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与 　丙己也何者甲乙与戊乙既若丙丁与己丁试更之 　甲乙与丙丁若截取之戊乙与己丁也〈本篇十六〉即甲乙 　全与丙丁全又若分馀之甲戊与丙己矣〈本题〉又更之 　则甲乙与甲戊若丙丁与丙己也〈本篇十六〉此转理也

注曰：凡更理可施于同类之比例不可施于异类

若转理不论同异类皆可用也依此系即转理亦 赖更理为用似亦不可施于异类矣今别作一论 不赖更理以为转理明转理可施于异类也

论曰：甲乙与丙乙若丁戊与己戊即转推甲

乙与甲丙若丁戊与丁己何者甲乙与丙乙既 若丁戊与己戊试分之甲丙与丙乙若丁己与 　　己戊也〈本篇十七〉次反之丙乙与甲丙若己戊与丁己也 　　〈本篇四〉次合之甲乙与甲丙若丁戊与丁己也〈本篇十八〉 　

第二十题〈三支〉

有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于 　第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则 　第四亦等亦小于第六

先解曰：甲乙丙三几何丁戊己三几何其

甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例 若戊与己而甲大于丙题言丁亦大于己

论曰：甲既大于丙即甲与乙之比例大于

　丙与乙矣〈本篇八〉而甲与乙之比例若丁与戊即丁与 　戊之比例亦大于丙与乙矣〈本篇十三〉又丙与乙之比例 　若己与戊〈乙与丙若戊与己反之则丙与乙若己与戊〉即丁与戊之比例 　大于己与戊矣是丁大于己也〈本篇十〉 次解曰若甲丙等题言丁己亦等

论曰：甲丙既等即甲与乙之比例若丙与

乙矣〈本篇七〉而甲与乙之比例若丁与戊即 丁与戊之比例亦若丙与乙矣〈本篇十一〉又丙 　与乙之比例若己与戊〈反理〉即丁与戊之比例亦若己 　与戊矣是丁己等也〈本篇九〉

后解曰：若甲小于丙题言丁亦小于己

论曰：甲既小于丙即甲与乙之比例小于

丙与乙矣〈本篇八〉而甲与乙之比例若丁与 戊即丁与戊之比例亦小于丙与乙矣又 　丙与乙之比例若己与戊〈反理〉即丁与戊之比例小于 　己于戊矣是丁小于己也〈本篇十〉 　

第二十一题〈三支〉

有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之 　若第一几何大于第三则第四亦大于第六若第一 　或等或小于第三则第四亦等亦小于第六

解曰：甲乙丙三几何丁戊己三几何相为

连比例不序不序者甲与乙若戊与己乙 与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于 　丙题言丁亦大于己

论曰：甲既大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙〈本篇〉

　〈八〉而甲与乙若戊与己即戊与己之比例亦大于丙 　与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若 　戊与丁也〈本篇四〉则戊与己大于戊与丁也是丁大于己也 　〈本篇二十〉 次解曰若甲丙等题言丁己亦等

论曰：甲丙既等即甲与乙之比例若丙与

　乙〈本篇七〉而甲与乙若戊与己即丙与乙之 　比例亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即 　丙与乙亦若戊与丁也〈本篇四〉则戊与己若戊与丁也 　是丁己等也〈本篇九〉 后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己

论曰：甲既小于丙即甲与乙之比例小于

丙与乙〈本篇八〉而甲与乙若戊与己即戊与 　己之比例小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反 　之即丙与乙若戊与丁〈本篇四〉则戊与己小于戊与丁 　也是丁小于己也〈本篇十〉 　

第二十二题〈平理之序〉

有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以 　平理推 　　　　　　　　　　解曰有若干几何甲乙丙又 　　　　　　　　　　有若干几何丁戊己而甲与 　　　　　　　　　　乙之比例若丁与戊乙与丙 　　　　　　　　　　之比例若戊与己题言以平 　　　　　　　　　　理推之甲与丙之比例若丁 　与己

论曰：试以甲与丁同任倍之为庚为辛别以乙与戊

　同任倍之为壬为癸别以丙与己同任倍之为子为 　丑其一甲与二乙既若三丁与四戊即倍甲之庚与 　　　　　　　　　　倍乙之壬若倍丁之辛与倍 　　　　　　　　　　戊之癸也〈本篇四〉依显一乙与 　　　　　　　　　　二丙既若三戊与四己即倍 　　　　　　　　　　乙之壬与倍丙之子若倍戊 　　　　　　　　　　之癸与倍己之丑也是庚壬 　子三几何辛癸丑三几何又相为连比例矣次三试 　之若庚大于子即辛必大于丑也〈本篇二十〉若等亦等者 　小亦小也则倍一甲之庚倍三丁之辛与倍二丙之 　子倍四己之丑等大小皆同类也是甲与丙若丁与 　己也〈本卷界说六〉其几何自三以上如更有丙与寅若己 　与卯亦依显甲与寅若丁与卯也何者上既显甲与 　丙若丁与己而今称丙与寅若己与卯即以甲丙寅 　作三几何以丁己卯作又三几何相为连比例依上 　推论亦得甲与寅之比例若丁与卯也自四以上可 　至无穷依此推显

第二十三题〈平理之错〉

若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推 　　　　　　　　　　解曰甲乙丙若干几何丁戊 　　　　　　　　　　己若干几何相为连比例而 　　　　　　　　　　错者甲与乙若戊与己乙与 　　　　　　　　　　丙若丁与戊也题言以平理 　推之甲与丙之比例亦若丁与己

论曰：试以甲乙丁同任倍之为庚辛壬别以丙戊己

　同任倍之为癸子丑即甲与乙若所自倍之庚与辛 　　　　　　　　　　〈本篇十五〉而甲与乙既若戊与己 　　　　　　　　　　即庚与辛亦若戊与己〈本篇十一〉 　　　　　　　　　　戊与己又若所自倍之子与 　　　　　　　　　　丑即庚与辛亦若子与丑〈本篇〉 　〈十一〉依显一乙与二丙既若三丁与四戊即倍一乙之 　辛与倍二丙之癸若倍三丁之壬与倍四戊之子也 　〈本篇四〉是庚辛癸三几何壬子丑三几何又相为连比 　例而错矣次三试之若庚大于癸即壬亦大于丑若 　等亦等若小亦小〈本篇廿一〉则一甲三丁所倍之庚壬与 　二丙四己所倍之癸丑等大小皆同类也是一甲与 　二丙若三丁与四己〈本卷界说六〉如三以上既有甲与乙 　若己与卯乙与丙若戊与己又有丙与寅若丁与戊 　亦显甲与寅若丁与卯何者依上论先显甲与丙若 　戊与卯次丙与寅又若丁与戊即以甲丙寅作三几 　何丁戊卯作又三几何相为连比例而错依上论亦 　得甲与寅若丁与卯四以上悉依此推显

第二十四题

凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而 　第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二 　之比例若第三第六并与四

解曰：一甲乙与二丙之比例若三丁戊与四己而五

乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一甲乙五 乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己

论曰：乙庚与丙既若戊辛与己反之丙与乙庚

若己与戊辛也〈本篇四〉又甲乙与丙既若丁戊与 　己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若 　丁戊与戊辛也〈本篇廿二〉又合之甲庚全与乙庚若丁辛 　全与戊辛也〈本篇十八〉夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛 　而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛 　与己矣〈本篇廿二〉

注曰：依本题论可推广第六题之义作后増题〈第六〉

〈题言几倍后增题不止言倍其义稍广矣〉 増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何 每截取一分其截取两几何与彼两几何比例等 则分馀两几何与彼两几何比例亦等

解曰：如上图甲庚丁辛此两几何与丙己彼两几

何比例等者甲庚与丙若丁辛与己也题言截取 之甲乙与丙若丁戊与己则分馀之乙庚与丙亦 若戊辛与己

论曰：甲乙与丙既若丁戊与己即反之丙与甲乙

若己与丁戊也〈本篇四〉又甲庚与丙既若丁辛与己 而丙与甲乙亦若己与丁戊即平之甲庚与 甲乙若丁辛与丁戊也〈本篇廿二〉又分之乙庚与 甲乙若戊辛与丁戊也〈本篇十七〉夫乙庚与甲乙 既若戊辛与丁戊而甲乙与丙若丁戊与己 即平之若戊辛与己也〈本篇廿三〉

第二十五题

四几何为断比例则最大与最小两几何并大于馀两 　几何并

解曰：甲乙与丙丁之比例若戊与己甲乙最大己最

　小题言甲乙己并大于丙丁戊并

论曰：试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛

　与己等即甲庚与丙辛之比例若戊与己也亦若甲 乙与丙丁也夫甲乙全与丙丁全既若截取之 甲庚与丙辛即亦若分馀之庚乙与辛丁也〈本篇〉 〈十九〉而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛 丁矣又甲庚与戊丙辛与己既等即于戊加丙 　辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁则甲 　乙己并岂不大于丙丁戊并

第二十六题

第一与二几何之比例大于第三与四之比例反之则 　第二与一之比例小于第四与三之比例

解曰：一甲与二乙之比例大于三丙与四丁

题言反之二乙与一甲之比例小于四丁与 三丙

论曰：试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与

　乙之比例大于戊与乙而甲几何大于戊〈本篇十〉则乙 　与戊之比例大于乙与甲也〈本篇八〉反之则乙与戊之 　比例若丁与丙〈本篇四〉而乙与甲之比例小于丁与丙

第二十七题

第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一 　与三之比例亦大于第二与四之比例

解曰：一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题

言更之则一甲与三丙之比例亦大于二乙与 四丁

论曰：试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙

　之比例大于戊与乙而甲㡬何大于戊〈本篇十〉则甲与 　丙之比例大于戊与丙也〈本篇八〉夫戊与乙之比例既 　若丙与丁更之则戊与丙之比例亦若乙与丁〈本篇十六〉 　而甲与丙之比例大于乙与丁矣

第二十八题

第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一 　第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比 　例

解曰：一甲乙与二乙丙之比例大于三丁戊与四戊

己题言合之则甲丙与乙丙之比例亦大于 丁己与戊己

论曰：试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊

　己即甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙而甲乙 　几何大于庚乙矣〈本篇十〉此二率者每加一乙丙即甲 　丙亦大于庚丙而甲丙与乙丙之比例大于庚丙与 　乙丙也〈本篇八〉夫庚乙与乙丙之比例既若丁戊与戊 　己合之则庚丙与乙丙之比例亦若丁己与戊己也 　〈本篇十八〉而甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己矣

第二十九题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例 　分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例

解曰：甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己

题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁 戊与戊己

论曰：试作庚丙与乙丙之比例若丁己与戊

　己即甲丙与乙丙之比例亦大于庚丙与乙丙而甲 　丙几何大于庚丙矣〈本篇十〉此二率者每减一同用之 　乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙与乙丙之比例大 于庚乙与乙丙也〈本篇八〉夫庚丙与乙丙之比 例既若丁己与戊己分之则庚乙与乙丙之 比例亦若丁戊与戊己也〈本篇十七〉而甲乙与乙 丙之比例大于丁戊与戊己矣

第三十题

第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比 　例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第 　四与三之比例

解曰：甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言转

　之则甲丙与甲乙之比例小于丁己与丁戊

论曰：甲丙与乙丙之比例既大于丁己与戊己

分之即甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊 己也〈本篇廿九〉又反之乙丙与甲乙之比例小于戊 　己与丁戊矣〈本篇廿六〉又合之甲丙与甲乙之比例亦小 　于丁己与丁戊也〈本篇廿八〉

第三十一题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第 　一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二 　与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之 　比例亦大于彼第一与三之比例

解曰：甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙

之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于 戊与己如是序者题言以平理推则甲与 丙之比例亦大于丁与己

论曰：试作庚与丙之比例若戊与己即乙

与丙之比例大于庚与丙而乙几何大于 　庚〈本篇十〉是甲与小庚之比例大于甲与大 　乙矣〈本篇八〉夫甲与乙之比例元大于丁与戊即甲与 　庚之比例更大于丁与戊也次作辛与庚之比例若 　丁与戊即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何 　大于辛〈本篇十〉是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣 　〈本篇八〉夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也〈本篇〉 　〈廿二〉则甲与丙之比例大于丁与己也

第三十二题

此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二 　与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二 　之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例 　亦大于彼第一与三之比例

解曰：甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙

　之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊如 是错者题言以平理推则甲与丙之比 例亦大于丁与己

论曰：试作庚与丙之比例若丁与戊即

乙与丙之比例大于庚与丙而乙㡬何 大于庚〈本篇十〉是甲与小庚之比例大于 　甲与大乙矣〈本篇八〉夫甲与乙之比例既大于戊与己 　即甲与庚之比例更大于戊与己也次作辛与庚之 　比例若戊与己即甲与庚之比例亦大于辛与庚而 　甲几何大于辛〈本篇十〉是大甲与丙之比例大于小 　辛与丙矣〈本篇八〉夫辛与丙之比例以平理推之 　若丁与己也〈本篇廿三〉则甲与丙之比例大于丁与 　己也

第三十三题

此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比 　例则此全分馀与彼全分馀之比例大于此全与彼 　全之比例

解曰：甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲

戊与丙己题言两分馀戊乙与己丁之比例大 于甲乙与丙丁

论曰：甲乙与丙丁之比例既大于甲戊与丙己

更之即甲乙与甲戊之比例亦大于丙丁与丙 己也〈本篇廿七〉又转之甲乙与戊乙之比例小于丙 丁与己丁也〈本篇三十〉又更之甲乙与丙丁之比例 小于戊乙与己丁也〈本篇廿七〉戊乙与己丁分馀也 则分馀之比例大于甲乙全与丙丁全矣依显 两全之比例小于截分则分馀之比例小于 　两全 　

第三十四题〈三支〉

若干几何又有若干㡬何其数等而此第一与彼第一 　之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼 　第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱 　如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比 　例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小 　于此第一与彼第一之比例

解曰：如甲乙丙三几何又有丁戊己三几何其甲与

　丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己 　题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙与己 次言亦大于乙丙并与戊己并后言小于甲 与丁

论曰：甲与丁之比例既大于乙与戊更之即

甲与乙之比例大于丁与戊也〈本篇廿七〉又合之 甲乙并与乙之比例大于丁戊并与戊也〈本篇〉 　〈廿八〉又更之甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也 　〈本篇廿七〉是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减 　并戊也既尔即减馀甲与减馀丁之比例大于甲乙 全与丁戊全也〈本篇卅三〉依显乙与戊之比例亦 大于乙丙全与戊己全即甲与丁之比例更 大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙 并之比例大于丁与戊己并也〈本篇廿七〉又合之 甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全 　与戊己并也〈本篇廿八〉又更之甲乙丙全与丁戊己全之 　比例大于乙丙并与戊己并也〈本篇廿七〉则得次解也又 　甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与 　减并戊己即减馀甲与减馀丁之比例大于甲乙丙 　全与丁戊己全也〈本篇卅三〉则得后解也又乙与戊之比 　例既大于丙与己更之即乙与丙之比例大于戊与 　己也〈本篇卄七〉又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全 　与己也〈本篇卄八〉又更之乙丙并与戊己并之比例大于 　丙与己也〈本篇卄七〉而甲乙丙并与丁戊己并之比例既 　大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也 　则得先解也 　若两率各有四几何而丙与己之比 　例亦大于庚与辛即与前论同理 　盖依上文论乙与戊之比例大于乙丙庚 　并与戊己辛并即甲与丁之比例更 　大于乙丙庚并与戊己辛并也更之 　即甲与乙丙庚并之比例大于丁与 　戊己辛并也〈本篇十八〉又合之甲乙丙庚 　全与乙丙庚并之比例大于丁戊 　己辛全与戊己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊 　己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也〈本篇廿七〉 　则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例 　既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减馀甲与减 　馀丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也〈本篇〉 　〈卅三〉则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并 　之比例既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛 　全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末 　庚与末辛也则得先解也自五以上至于无穷俱仿 　此论可显全题之旨

　几何原本卷五