钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第121卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第一百二十一卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百二十一卷目录

　算法部汇考十三

　　算法统宗九〈盈朒章第七〉

历法典第一百二十一卷

算法部汇考十三

《算法统宗九》

盈朒章第七

盈，多也。朒，少也。此是假设有馀不足者，以求隐杂之 数也。隐杂者，不见之数，显者，可见之数，故以显者推 隐杂者。且如数人共买物，出钱多则有馀，少则不足， 无可考究者，故以有馀不足数求之，则人数物价可 知矣。

歌曰

算家欲知盈不足，两家互乘，并为物，并盈不足为人 实。分率相减，馀为法。法除物实，为物价；法除人实、人 数目。

《法》曰：“置所出率与盈不足。”〈出率　出率〉互。〈盈率不足率〉以盈不 足互乘所出率并之，共若干，为物实。另并馀不足，共 若干，为人实。置所出率相减，馀若干为法。除人实，得 人数；除物实，得物价。

又法：并盈、不足为人实。以出率相减，馀为法。除实，得 人数，却以出率乘人数，得若干，减盈、增不足，即得物 价。

若人分物者，却是增盈减不足，即得物数也。其盈朒互乘出率，并为物实。又并盈朒为人实，或并盈朒为人实，俱出率相减，馀为法也。“其理则一” ，作“法” 之意也。

今有人买物，每人出银五两，盈六两，每人出银三两， 不足四两，问人物价各若干？

答曰：五人物价银一十九两。

《法》曰：“置盈不足。”〈出五两　出三两〉互。〈盈六两不足四两〉先以出五两 互乘不足四两，得二十两。次以出三两互乘盈六两， 得一十八两。并二位，共三十八两，为物实。另并盈六 两，不足四两，共十两，为人实。却以出五两内减出三 两，馀二两为法。除人实，得五，为人数。除物实，得一十 九两，为物价。

此是《盈》《朒》互乘出率并为实，又并盈朒为人实者。

今有人分物，每人分一十二个，盈一十二个，每人分 一十四个，不足六个，问人数及物若干？

答曰：“九人物，一百二十个。”

法曰：置盈不足并盈十二，不足六，共一十八个，为人 实。以分十四减分十二，馀二为法。除人实，得九人。却 以分一十四个乘人数，得一百二十六个，内减去不 足六个，馀一百二十个，是物数。或置九人，以分一 十二个乘，得一百零八个，内增十二，亦得物数。合问：

此是并盈、朒为人实，出率相减，馀为法。除人实，得人数，以分率乘之，或增盈、减不足，得物数。凡分物，则用增、盈、减不足。若买物者，则用减、盈、增不足。

今有买物，每人出钱八文，盈三文，每人出钱七文，不 足四文，问人数、物价各若干。

答曰：“七人物价五十三文。”

法曰：置盈不足并盈三文，不足四文，共七文，为人实。 以出八文减出七文，馀一文为法。除人实，得七人，却 以出八文乘人数，得五十六文，内减盈三文，馀五十 三文，是物价。或置七人，以《出率》七文乘之，得四十 九文，内增不足四文，亦得物价。合问：

此因前“并盈朒为人实” 者，是买物也。仍前得人数，却以出率乘之，或减盈增不足，即得物价。凡贾物者仿此。

今有人分绢，只云“每人分八匹，盈一十五匹，每人分 九匹，不足五匹，问人绢各若干？”

答曰：“二十人绢一百七十五匹。”

《法》曰：“置盈不足。”〈分八匹　分九匹〉互。〈盈十五匹不足五匹〉先以分八匹 互乘不足五匹，得四十匹。次以分九匹互乘，盈十五 匹，得一百三十五匹，并二位，得一百七十五匹，为绢 数。又并盈十五不足五，共二十，为人数。《合问》。

此是“分八匹” ，分九匹相减，馀一为法者，虽用归之数，亦如故。惟以大数变化为小故，不必用此法。亦得只并盈朒为人实，另并前互乘二位为绢数。

人有绢一匹，欲作帐幅，先折作六幅，比旧帐长六寸； 后折作七幅，比旧帐短四寸。“问绢及旧帐幅长各若 干？”

答曰：“绢长四丈二尺，旧帐幅长六尺四寸。”

法曰：置先折绢六幅，以比旧帐长六寸乘之，得三尺六寸。另置七幅，以短四寸乘，得二尺八寸。如盈不足 列。〈六幅　七幅〉互。〈长三尺六寸宽二尺八寸〉以七幅互乘长三尺六寸， 得二丈五尺二寸。又以六幅互乘二尺八寸，得一丈 六尺八寸。并二数，得四丈二尺，为“绢实。”却以七幅减 去六幅，馀一幅为法。除绢实，得绢长数。另并互乘长 短，得六尺四寸，为“旧帐幅实。”仍前法除之。

今有直田一段，欲截南头卖之。只云“截长六步，不足 七步，截长八步盈九步。问截卖步数及田原阔各若 干。”

答曰：“截卖五十五步，原阔八步。”

《法》曰：“置盈不足。”〈截六步　截八步〉互。〈不足七步盈九步〉先以截六步 乘盈九步，得五十四步。次以截八步乘不足七步，得 五十六步；并二位，共得一百一十步，为截积之实。却 以截卖六步、八步相减，馀二步为法，除之，得截积五 十五步。另以不足七步并多九步，共得一十六步，为 田阔之实。仍以前法二除之，得原阔八步。《合问》：

两盈两不足歌

两盈出率互相乘，多减少剩是物情。两盈相减遗人 实，出率相减法之名。法除物情是物价。法除人实，人 数称。若问算中两不足，与《盈法》例一般行。

法曰：置所出率，与两盈互乘，各得若干，以少减多，馀 为物实。另以两盈相减，馀为人实。又以出率相减，馀 为法。除人实，得人数。除物实，得物数。

今有人买物，每人出银三两五钱，盈六两；每人出三 两三钱，盈二两八钱，问人数、物价各若干？

答曰：“一十六人物价银五十两。”

《法》曰：“置两盈。”〈出三两五钱　出三两三钱〉互。〈盈六两　盈二两八钱〉先以出 三两五钱互乘盈二两八钱，得九两八钱。次以出三 两三钱互乘盈六两，得一十九两八钱。二数相减，馀 十两，为物实。另以置六两内减盈二两八钱，馀三两 二钱，为人实。又以出三两五钱内减出三两三钱，馀 二钱为法，除物实，得五十两，为物价法除人实，得一 十六，为人数。《合问》：

今有人买牛，每人出银五两，不足四两；每人出五两 四钱，不足二两。问人数、物价各若干？

答曰：五人物价银二十九两。

《法》曰：“置两不足。”〈出五两　出五两四钱〉互。〈不足四两　不足二两〉先以出 五两乘不足二两，得一十两；次以出二两四钱乘不 足四两，得二十一两六钱。二数相减，馀一十一两六 钱为物实。另以不足四两减不足二两，馀二两为人 实。又以出五两四钱内减出五两，馀四钱为法，除物 实，得物价。就以法四钱除人实，得五为人数。《合问》 今有里长《值月议》云：“每里科出银五钱，依帐买”物，以 办酒席。多银三两五钱，每里科出四钱，亦多五钱。问 合用银并里数若干。

答曰：“三十里用银一十一两五钱。”

《法》曰：“置两盈。”〈出五钱　出四钱〉互。〈多三两五钱　多五钱〉先以出五钱 互乘多五钱，得二两五钱；次以出四钱互乘，多二两 五钱，得一十四两。二数相减，馀一十一两五钱为用 银实。另以多三两五钱减多五钱，馀三两为人实。再 以出五钱减出四钱，馀一钱为法。除银实，即银数；除 人实，即里数。《合问》。

今有井不知深。先将绳折作三条入井。汲水。绳长四 尺。后将绳折作四条入井。亦长一尺。问井深及绳长 各若干。

答曰：“井深八尺，绳长三丈六尺。”

法曰：两盈置绳长四尺，以折作三条，通之，得一十二 尺。又置长一尺，以折作四条，通之，得四尺。各列置位。 〈三条　四条〉互。〈长十二尺　长四尺〉先以三条乘四尺，得一十二尺。 又以四条乘长一十二尺，得四十八尺。二数相减，馀 三十六尺，为绳实。却以三条四条相减，馀一为法，除 绳实，得绳长。另以前通两盈数相减，馀八尺，为井实。 仍以法一除之，得井深数。合问：

此是三条、四条相减，馀一为法者，不必用法除，即是。

《盈适足不足》适足歌。

盈与适足数相乘，乘数将来为物情，盈数自称为人 实，二位各列要分明。出率相减馀为法，法除物实物 价真，法除人实为人数，不足适足一般行。

法曰：“盈适足”者，置所出率于上，以盈与适足于下，或 以盈数互乘适足、出率，得若干，为物实。另以盈数为 人实，又以出率相减，馀为法。除人实，得人。除物实，得 物。

一法：以盈数为人实，另以出率相减，馀为法。除人实， 得人数若干，却以适足数乘之，得物数。〈此乃捷径〉 今有人买物，每人出银二两五钱，盈六两，每人出银 二两三钱，适足问人数、物价各若干。

答曰：“三十人物价银六十九两。”

《法》曰：“置盈适足列。”〈出二两五钱　出二两三钱〉互。〈盈六两适足〉只以盈 六两互乘，出二两三钱，得一十三两八钱为物实，另 以盈六两为人实，却以出二两五钱，减出二两三钱馀二钱为法，除物实，得物价，除人实得人数。合问 一法，以盈六两为人实，另以出率相减，馀二钱为法， 除人实，得三十，却以二两三钱乘之，亦得物价。 今有人买物，每人出银七两，不足一十四两，每人出 银九两，适足问人数、物价各若干。

答曰：七人物价银六十三两。

《法》曰：“置不足，适足列。”〈出七两　出九两〉互。〈不足十四两适足〉只以 不足一十四两互乘出九两，得一百二十六两，为物 实。另以不足一十四两为人实。却以出九两内减出 七两，馀二两为法。除物实，得物价，除人实，得人数。《合 问》。

一法：以不足一十四两为人，实以出率相减，馀二为 法。除实得七人，以九两乘之，得物价。

今有米换布七匹多，四斗换九匹适足。问米、布价各 若干？

答曰：“米一石八斗，布匹价米二斗。”

法曰：置盈“适足”，以多四斗为实，另以九匹减七匹，馀 二匹为法，除实，得匹价米二斗，却以适足九匹乘之， 得总米一石八斗。合问。

《盈朒》双套。〈今述《释义》于左：〉

《盈朒章》。〈盈不足两盈两不足盈适足不足适足〉三宗皆先贤立法正 律格式，自刘氏《通明》，吴氏《比类》，始增双套者，用分母 子者，皆存于后，以便学者。

双套法：三宗五条布算，俱分左右二行，各列上中、下 三位，俱先以右上、左上相乘，得若干，为乘人率。通法： 以右上乘左中，左上乘右中，二数相减，馀若干为法。 除人实、物实之法。〈三宗双套俱先如此〉

双套盈不足法：先用前双套法，次以右中得数乘左 下，左中得数乘右下，二数相并，为物实。以前除法除， 得物数。却以“右下盈若干，左下不足若干”，二数相并， 为人率。先以前通法乘之，为人实。后仍以前除法除 之，得人数。

双套两盈法：先用前双套法，次以右中得数乘左下， 左中得数乘右下，二数相减，馀为物实。以前除法除， 得物数。却以右下盈若干，左下盈若干，二数相减，馀 为人率。先以前通法乘之，为人实；后仍以前除法除， 得人数。〈两不足同〉

《双套盈适足》法：先用前双套法，次以右中得数乘左 下盈数，就为物实。以前除法除之，得物数。却以左下 盈若干，就为人率。先以前通法乘为人实后，仍以前 除法除之，得人数。〈不足适足同〉

今有人买物，每八人出银七两，盈四两五钱；每九人 出银六两，不足三两，问人数、物价各若干？

答曰：三十六人物价银二十七两。

《法》曰：〈双盈不足〉置。〈右上八人　左上九人〉互。〈中出七两　中出六两〉互。〈得六十三　得四十八〉互。〈下盈四两五钱　下不足三两〉 先以左上九人、右上八人相乘，得七十二，为乘人率 《通法》。又以左上九人互乘右中七两，得六十三。再以 右上八人互乘左中六两，得四十八。二数相减，馀十 五，为除人实、物实法。次以左中得数四十八，互乘右 下盈四两五钱，得二百一十六；又以右中得数六十 三，互乘左下不足三两，得一百八十九。二数相并，共 四百零五，为物实。以法十五除之，得银二十七两。却 以左下不足三两，右下盈四两五钱，二数相并，得七 两五钱，为人实。率先以前通法七十二乘之，得五百 四十，为人实。后仍以前法十五除之，得三十六人。合 问。

今有人买物，每六人出银九两，多三两；每四人出银 七两，多六两。问人数、物价各若干？

答曰：一十二人物价银一十五两。

《法》曰：双两盈置。〈右上六人　左上四人〉互。〈中出九两得三十六　中出七两得四十二〉互。〈下盈三两　下盈六两〉 先以左上四人、右上六人相乘，得二十四，为乘人率。 《通法》。又以左上四人互乘右中九两，得三十六；再以 右上六人互乘左中七两，得四十二；二数相减，馀六 为除人实、物实法。次以左中得数四十二互乘，右下 多三两，得一百二十六；再以右中得数三十六互乘， 左下多六两，得二百一十六；二数相减，馀九十两，为 物实。以前法六除之，得银一十五两。却以左下多六 两，右下多三两，二数相减，馀三两为人实。率先以前 通法二十四乘之，得七十二，为人实。后仍以前法六 除之，得一十二人。合问。〈双套两不足法仿此〉

今有买物，每三人出银五两，多十两，每五人出银九 两，适足问人数、物价各若干。

答曰：七十五人物价银一百三十五两。

《法》曰：“双套盈适足置。”〈右上五人　左上三人〉互。〈中出九两　中出五两得五〉互。〈下适足　下盈十两〉 先以左上三人、右上五人相乘，得十五，为乘人率《通 法》。次以左上三人互乘右中九两，得二十七，再以右 上五人互乘左中五两，得二十五。二数相减，馀二为 除人实、物实法。次以右中得数二十七，乘左下盈十 两，得二百七十两，就为物实。以前法二除之，得银一 百三十五两；却以左下盈十两，就为人实。率。先以前 通法十五乘之，得一百五十，为人实；后仍以前法二除之，得七十五人，合问。〈双套不足适足仿此〉

取钱买物盈朒歌

取钱买物求盈朒，分子互将分母乘，乘讫却来通物 价，以钱并作物之情。互乘物价亦相并，乘子除为钱 实名买率，减馀为法则，除来钱物自分明。

今有银不知其数。欲买田，取银三分之二买之，盈三 两，取银五分之三买之，不足一两，问总银、田价各若 干。

答曰：总银六十两。《田价》银三十七两。

法曰：先以之二互乘五分，得一十；以通不足一两，得 十两。次以之三互乘三分，得九，以通盈三两，得二十 七两，如盈朒法，列位。〈九十〉互。〈多二十七两少一十两〉先以十互 乘，多二十七两，得二百七十两。又以九互乘少十两， 得九十两；并二位，得三百六十两。却以分子之二之 三相乘，得六十两，为银实。却以通十减九，馀一为法， 除之，得总银六十两。次以多二十七两、少十两并之， 得三十七两，为田价实。仍以前法一除之，得田价三 十七两。合问。

“取钱买物”《两盈歌》。〈附：“两朒即两不足” 〉

取钱买物，两皆盈，分子互乘分母，讫，以母通乘物价， 周对减盈钱，为物实。物价互乘少，减多乘子除，为钱 实。积率减零馀为法。行法实相除尽可识。

今有银，不知数。欲买鹿，取银六分之四买之，盈二两； 取银四分之三买之，盈三两五钱。问银数、鹿价各若 干。

答曰：“银一十八两，鹿价一十两。”

法曰：先以之四互乘四分，得一十六，以通盈三两五 钱，得五十六两。次以之三互乘六分，得一十八，以通 盈二两，得三十六两。各列位。〈十八　十六〉互。〈盈三十六　盈五十六〉先 以十六互乘三十六，得五百七十六两，又以十八互 乘五十六，得一千零八两，二位相减，馀四百三十二 两。却以分子之三之四相乘，得十二除之，得三十六 为银实。却以十八、十六相减，馀二为法，除之，得银数 一十八两。另以两盈三十六、五十六相减，馀二十为 鹿价实。仍以前法二除之，得鹿价一十两。合问 今有官派银不知数，依例令上等八户、下等五户纳 之不足五两。复令上等六户、下等八户纳之亦不足 三两。其银下户例如上户例十分之八，问派银数及 《各户则例》若干。

答曰：“官派银六十五两，上户例五两，下户例四 两。”

《法》曰：先置上等八户，以十因之，得八十户。又置下等 五户，以八因之，得四十户，并之得一百二十户列位。 次置上等六户，以十因之，得六十户。又置下等八户， 以八因之，得六十四户，并之得一百二十四户列位。 〈一百二十户　一百二十四户〉互。〈不足五两　不足三两〉先以一百二十户互 乘不足三两，得三百六十两；又以一百二十四户互 乘不足五两，得六百二十两。二位相减，馀二百六十 两为《银实》。却以户数一百二十与一百二十四相减， 馀四为法除之，得官派银六十五两。另以两不足五 两、三两相减，馀二两为《则例实》。仍以前法四除之，得 五钱；以十因之，得上等一户则例银五两，另列五钱， 以“八”因之，得下等一户则例银四两，合问。

“取钱买物” ，盈适足歌。

取钱买物，盈适足，子互乘母，自相通，却以盈钱为物 实，减率留馀，作法宗。取钱，“适足”乘盈数乘子，除，为钱 实宫。如法除之，钱可见不足、“适足”术相同。

假有铜钱不知数，欲买“木一根，取钱二分之一，买之； 盈钱四文，取钱七分之三；买之适足。”问钱数、木价各 若干。

答曰：“总钱五十六文，木价二十四文。”

法曰：先以二分下之一，互乘七分，得七数；次以七分 下之三，互乘二分，得六数。以通盈四文，得二十四文， 如盈适足列位。〈六七〉互。〈盈二十四适足〉先以盈二十四文 为木价实，却以六相减，馀一为法，除之，得木价二十 四文。次以七互乘，盈二十四，得一百六十八，却以之 一之三相乘，得三为法，除之，得钱五十六文。《合问》 今有芝麻，不知数，只云“取麻八分之三，粜银十两不 足二石”，取麻三分之一，粜银八两，适足问麻数及每 两该麻若干。

答曰：“总麻四十八石；每银一两，该麻二石。”

法曰：先以八分下之三，互乘三分，得九数；以通八两， 得七十二两；次以三分下之一，互乘八分，得八数；以 通十两，得八十两；以八通不足二石，得一十六石。如 不足过足列位。〈八十两　七十二两〉互。〈不足十六石适足〉先以七 十二互乘一十六石，得一千一百五十二，却以之一 之，三相乘，得三，除之得三百八十四石，为麻实。却以 八十两减去七十二两，馀八两为法，除之，得总麻四 十八石。另以不足一十六石为银该麻之实。仍以前 法八除之，得每银一两，该麻二石。《合问》。

此“取钱买物” 数条，是带“分母” 之法。。