欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第121卷

欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十一卷

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十一卷目錄

　算法部彙考十三

　　算法統宗九〈盈朒章第七〉

曆法典第一百二十一卷

算法部彙考十三

《算法統宗九》

盈朒章第七

盈，多也。朒，少也。此是假設有餘不足者，以求隱雜之 數也。隱雜者，不見之數，顯者，可見之數，故以顯者推 隱雜者。且如數人共買物，出錢多則有餘，少則不足， 無可考究者，故以有餘不足數求之，則人數物價可 知矣。

歌曰

算家欲知盈不足，兩家互乘，併為物，併盈不足為人 實。分率相減，餘為法。法除物實，為物價；法除人實、人 數目。

《法》曰：「置所出率與盈不足。」〈出率　出率〉互。〈盈率不足率〉以盈不 足互乘所出率併之，共若干，為物實。另併餘不足，共 若干，為人實。置所出率相減，餘若干為法。除人實，得 人數；除物實，得物價。

又法：併盈、不足為人實。以出率相減，餘為法。除實，得 人數，卻以出率乘人數，得若干，減盈、增不足，即得物 價。

若人分物者，卻是增盈減不足，即得物數也。其盈朒互乘出率，併為物實。又併盈朒為人實，或併盈朒為人實，俱出率相減，餘為法也。「其理則一」 ，作「法」 之意也。

今有人買物，每人出銀五兩，盈六兩，每人出銀三兩， 不足四兩，問人物價各若干？

答曰：五人物價銀一十九兩。

《法》曰：「置盈不足。」〈出五兩　出三兩〉互。〈盈六兩不足四兩〉先以出五兩 互乘不足四兩，得二十兩。次以出三兩互乘盈六兩， 得一十八兩。併二位，共三十八兩，為物實。另併盈六 兩，不足四兩，共十兩，為人實。卻以出五兩內減出三 兩，餘二兩為法。除人實，得五，為人數。除物實，得一十 九兩，為物價。

此是《盈》《朒》互乘出率併為實，又併盈朒為人實者。

今有人分物，每人分一十二箇，盈一十二箇，每人分 一十四箇，不足六箇，問人數及物若干？

答曰：「九人物，一百二十箇。」

法曰：置盈不足併盈十二，不足六，共一十八箇，為人 實。以分十四減分十二，餘二為法。除人實，得九人。卻 以分一十四箇乘人數，得一百二十六箇，內減去不 足六箇，餘一百二十箇，是物數。或置九人，以分一 十二箇乘，得一百零八箇，內增十二，亦得物數。合問：

此是併盈、朒為人實，出率相減，餘為法。除人實，得人數，以分率乘之，或增盈、減不足，得物數。凡分物，則用增、盈、減不足。若買物者，則用減、盈、增不足。

今有買物，每人出錢八文，盈三文，每人出錢七文，不 足四文，問人數、物價各若干。

答曰：「七人物價五十三文。」

法曰：置盈不足併盈三文，不足四文，共七文，為人實。 以出八文減出七文，餘一文為法。除人實，得七人，卻 以出八文乘人數，得五十六文，內減盈三文，餘五十 三文，是物價。或置七人，以《出率》七文乘之，得四十 九文，內增不足四文，亦得物價。合問：

此因前「併盈朒為人實」 者，是買物也。仍前得人數，卻以出率乘之，或減盈增不足，即得物價。凡賈物者倣此。

今有人分絹，只云「每人分八匹，盈一十五匹，每人分 九匹，不足五匹，問人絹各若干？」

答曰：「二十人絹一百七十五匹。」

《法》曰：「置盈不足。」〈分八匹　分九匹〉互。〈盈十五匹不足五匹〉先以分八匹 互乘不足五匹，得四十匹。次以分九匹互乘，盈十五 匹，得一百三十五匹，併二位，得一百七十五匹，為絹 數。又併盈十五不足五，共二十，為人數。《合問》。

此是「分八匹」 ，分九匹相減，餘一為法者，雖用歸之數，亦如故。惟以大數變化為小故，不必用此法。亦得只併盈朒為人實，另併前互乘二位為絹數。

人有絹一匹，欲作帳幅，先摺作六幅，比舊帳長六寸； 後摺作七幅，比舊帳短四寸。「問絹及舊帳幅長各若 干？」

答曰：「絹長四丈二尺，舊帳幅長六尺四寸。」

法曰：置先摺絹六幅，以比舊帳長六寸乘之，得三尺六寸。另置七幅，以短四寸乘，得二尺八寸。如盈不足 列。〈六幅　七幅〉互。〈長三尺六寸寬二尺八寸〉以七幅互乘長三尺六寸， 得二丈五尺二寸。又以六幅互乘二尺八寸，得一丈 六尺八寸。併二數，得四丈二尺，為「絹實。」卻以七幅減 去六幅，餘一幅為法。除絹實，得絹長數。另併互乘長 短，得六尺四寸，為「舊帳幅實。」仍前法除之。

今有直田一段，欲截南頭賣之。只云「截長六步，不足 七步，截長八步盈九步。問截賣步數及田原闊各若 干。」

答曰：「截賣五十五步，原闊八步。」

《法》曰：「置盈不足。」〈截六步　截八步〉互。〈不足七步盈九步〉先以截六步 乘盈九步，得五十四步。次以截八步乘不足七步，得 五十六步；併二位，共得一百一十步，為截積之實。卻 以截賣六步、八步相減，餘二步為法，除之，得截積五 十五步。另以不足七步併多九步，共得一十六步，為 田闊之實。仍以前法二除之，得原闊八步。《合問》：

兩盈兩不足歌

兩盈出率互相乘，多減少剩是物情。兩盈相減遺人 實，出率相減法之名。法除物情是物價。法除人實，人 數稱。若問算中兩不足，與《盈法》例一般行。

法曰：置所出率，與兩盈互乘，各得若干，以少減多，餘 為物實。另以兩盈相減，餘為人實。又以出率相減，餘 為法。除人實，得人數。除物實，得物數。

今有人買物，每人出銀三兩五錢，盈六兩；每人出三 兩三錢，盈二兩八錢，問人數、物價各若干？

答曰：「一十六人物價銀五十兩。」

《法》曰：「置兩盈。」〈出三兩五錢　出三兩三錢〉互。〈盈六兩　盈二兩八錢〉先以出 三兩五錢互乘盈二兩八錢，得九兩八錢。次以出三 兩三錢互乘盈六兩，得一十九兩八錢。二數相減，餘 十兩，為物實。另以置六兩內減盈二兩八錢，餘三兩 二錢，為人實。又以出三兩五錢內減出三兩三錢，餘 二錢為法，除物實，得五十兩，為物價法除人實，得一 十六，為人數。《合問》：

今有人買牛，每人出銀五兩，不足四兩；每人出五兩 四錢，不足二兩。問人數、物價各若干？

答曰：五人物價銀二十九兩。

《法》曰：「置兩不足。」〈出五兩　出五兩四錢〉互。〈不足四兩　不足二兩〉先以出 五兩乘不足二兩，得一十兩；次以出二兩四錢乘不 足四兩，得二十一兩六錢。二數相減，餘一十一兩六 錢為物實。另以不足四兩減不足二兩，餘二兩為人 實。又以出五兩四錢內減出五兩，餘四錢為法，除物 實，得物價。就以法四錢除人實，得五為人數。《合問》 今有里長《值月議》云：「每里科出銀五錢，依帳買」物，以 辦酒席。多銀三兩五錢，每里科出四錢，亦多五錢。問 合用銀併里數若干。

答曰：「三十里用銀一十一兩五錢。」

《法》曰：「置兩盈。」〈出五錢　出四錢〉互。〈多三兩五錢　多五錢〉先以出五錢 互乘多五錢，得二兩五錢；次以出四錢互乘，多二兩 五錢，得一十四兩。二數相減，餘一十一兩五錢為用 銀實。另以多三兩五錢減多五錢，餘三兩為人實。再 以出五錢減出四錢，餘一錢為法。除銀實，即銀數；除 人實，即里數。《合問》。

今有井不知深。先將繩摺作三條入井。汲水。繩長四 尺。後將繩摺作四條入井。亦長一尺。問井深及繩長 各若干。

答曰：「井深八尺，繩長三丈六尺。」

法曰：兩盈置繩長四尺，以摺作三條，通之，得一十二 尺。又置長一尺，以摺作四條，通之，得四尺。各列置位。 〈三條　四條〉互。〈長十二尺　長四尺〉先以三條乘四尺，得一十二尺。 又以四條乘長一十二尺，得四十八尺。二數相減，餘 三十六尺，為繩實。卻以三條四條相減，餘一為法，除 繩實，得繩長。另以前通兩盈數相減，餘八尺，為井實。 仍以法一除之，得井深數。合問：

此是三條、四條相減，餘一為法者，不必用法除，即是。

《盈適足不足》適足歌。

盈與適足數相乘，乘數將來為物情，盈數自稱為人 實，二位各列要分明。出率相減餘為法，法除物實物 價真，法除人實為人數，不足適足一般行。

法曰：「盈適足」者，置所出率于上，以盈與適足于下，或 以盈數互乘適足、出率，得若干，為物實。另以盈數為 人實，又以出率相減，餘為法。除人實，得人。除物實，得 物。

一法：以盈數為人實，另以出率相減，餘為法。除人實， 得人數若干，卻以適足數乘之，得物數。〈此乃捷徑〉 今有人買物，每人出銀二兩五錢，盈六兩，每人出銀 二兩三錢，適足問人數、物價各若干。

答曰：「三十人物價銀六十九兩。」

《法》曰：「置盈適足列。」〈出二兩五錢　出二兩三錢〉互。〈盈六兩適足〉只以盈 六兩互乘，出二兩三錢，得一十三兩八錢為物實，另 以盈六兩為人實，卻以出二兩五錢，減出二兩三錢餘二錢為法，除物實，得物價，除人實得人數。合問 一法，以盈六兩為人實，另以出率相減，餘二錢為法， 除人實，得三十，卻以二兩三錢乘之，亦得物價。 今有人買物，每人出銀七兩，不足一十四兩，每人出 銀九兩，適足問人數、物價各若干。

答曰：七人物價銀六十三兩。

《法》曰：「置不足，適足列。」〈出七兩　出九兩〉互。〈不足十四兩適足〉只以 不足一十四兩互乘出九兩，得一百二十六兩，為物 實。另以不足一十四兩為人實。卻以出九兩內減出 七兩，餘二兩為法。除物實，得物價，除人實，得人數。《合 問》。

一法：以不足一十四兩為人，實以出率相減，餘二為 法。除實得七人，以九兩乘之，得物價。

今有米換布七匹多，四斗換九匹適足。問米、布價各 若干？

答曰：「米一石八斗，布匹價米二斗。」

法曰：置盈「適足」，以多四斗為實，另以九匹減七匹，餘 二匹為法，除實，得匹價米二斗，卻以適足九匹乘之， 得總米一石八斗。合問。

《盈朒》雙套。〈今述《釋義》于左：〉

《盈朒章》。〈盈不足兩盈兩不足盈適足不足適足〉三宗皆先賢立法正 律格式，自劉氏《通明》，吳氏《比類》，始增雙套者，用分母 子者，皆存于後，以便學者。

雙套法：三宗五條布算，俱分左右二行，各列上中、下 三位，俱先以右上、左上相乘，得若干，為乘人率。通法： 以右上乘左中，左上乘右中，二數相減，餘若干為法。 除人實、物實之法。〈三宗雙套俱先如此〉

雙套盈不足法：先用前雙套法，次以右中得數乘左 下，左中得數乘右下，二數相併，為物實。以前除法除， 得物數。卻以「右下盈若干，左下不足若干」，二數相併， 為人率。先以前通法乘之，為人實。後仍以前除法除 之，得人數。

雙套兩盈法：先用前雙套法，次以右中得數乘左下， 左中得數乘右下，二數相減，餘為物實。以前除法除， 得物數。卻以右下盈若干，左下盈若干，二數相減，餘 為人率。先以前通法乘之，為人實；後仍以前除法除， 得人數。〈兩不足同〉

《雙套盈適足》法：先用前雙套法，次以右中得數乘左 下盈數，就為物實。以前除法除之，得物數。卻以左下 盈若干，就為人率。先以前通法乘為人實後，仍以前 除法除之，得人數。〈不足適足同〉

今有人買物，每八人出銀七兩，盈四兩五錢；每九人 出銀六兩，不足三兩，問人數、物價各若干？

答曰：三十六人物價銀二十七兩。

《法》曰：〈雙盈不足〉置。〈右上八人　左上九人〉互。〈中出七兩　中出六兩〉互。〈得六十三　得四十八〉互。〈下盈四兩五錢　下不足三兩〉 先以左上九人、右上八人相乘，得七十二，為乘人率 《通法》。又以左上九人互乘右中七兩，得六十三。再以 右上八人互乘左中六兩，得四十八。二數相減，餘十 五，為除人實、物實法。次以左中得數四十八，互乘右 下盈四兩五錢，得二百一十六；又以右中得數六十 三，互乘左下不足三兩，得一百八十九。二數相併，共 四百零五，為物實。以法十五除之，得銀二十七兩。卻 以左下不足三兩，右下盈四兩五錢，二數相併，得七 兩五錢，為人實。率先以前通法七十二乘之，得五百 四十，為人實。後仍以前法十五除之，得三十六人。合 問。

今有人買物，每六人出銀九兩，多三兩；每四人出銀 七兩，多六兩。問人數、物價各若干？

答曰：一十二人物價銀一十五兩。

《法》曰：雙兩盈置。〈右上六人　左上四人〉互。〈中出九兩得三十六　中出七兩得四十二〉互。〈下盈三兩　下盈六兩〉 先以左上四人、右上六人相乘，得二十四，為乘人率。 《通法》。又以左上四人互乘右中九兩，得三十六；再以 右上六人互乘左中七兩，得四十二；二數相減，餘六 為除人實、物實法。次以左中得數四十二互乘，右下 多三兩，得一百二十六；再以右中得數三十六互乘， 左下多六兩，得二百一十六；二數相減，餘九十兩，為 物實。以前法六除之，得銀一十五兩。卻以左下多六 兩，右下多三兩，二數相減，餘三兩為人實。率先以前 通法二十四乘之，得七十二，為人實。後仍以前法六 除之，得一十二人。合問。〈雙套兩不足法倣此〉

今有買物，每三人出銀五兩，多十兩，每五人出銀九 兩，適足問人數、物價各若干。

答曰：七十五人物價銀一百三十五兩。

《法》曰：「雙套盈適足置。」〈右上五人　左上三人〉互。〈中出九兩　中出五兩得五〉互。〈下適足　下盈十兩〉 先以左上三人、右上五人相乘，得十五，為乘人率《通 法》。次以左上三人互乘右中九兩，得二十七，再以右 上五人互乘左中五兩，得二十五。二數相減，餘二為 除人實、物實法。次以右中得數二十七，乘左下盈十 兩，得二百七十兩，就為物實。以前法二除之，得銀一 百三十五兩；卻以左下盈十兩，就為人實。率。先以前 通法十五乘之，得一百五十，為人實；後仍以前法二除之，得七十五人，合問。〈雙套不足適足倣此〉

取錢買物盈朒歌

取錢買物求盈朒，分子互將分母乘，乘訖卻來通物 價，以錢併作物之情。互乘物價亦相併，乘子除為錢 實名買率，減餘為法則，除來錢物自分明。

今有銀不知其數。欲買田，取銀三分之二買之，盈三 兩，取銀五分之三買之，不足一兩，問總銀、田價各若 干。

答曰：總銀六十兩。《田價》銀三十七兩。

法曰：先以之二互乘五分，得一十；以通不足一兩，得 十兩。次以之三互乘三分，得九，以通盈三兩，得二十 七兩，如盈朒法，列位。〈九十〉互。〈多二十七兩少一十兩〉先以十互 乘，多二十七兩，得二百七十兩。又以九互乘少十兩， 得九十兩；併二位，得三百六十兩。卻以分子之二之 三相乘，得六十兩，為銀實。卻以通十減九，餘一為法， 除之，得總銀六十兩。次以多二十七兩、少十兩併之， 得三十七兩，為田價實。仍以前法一除之，得田價三 十七兩。合問。

「取錢買物」《兩盈歌》。〈附：「兩朒即兩不足」 〉

取錢買物，兩皆盈，分子互乘分母，訖，以母通乘物價， 周對減盈錢，為物實。物價互乘少，減多乘子除，為錢 實。積率減零餘為法。行法實相除盡可識。

今有銀，不知數。欲買鹿，取銀六分之四買之，盈二兩； 取銀四分之三買之，盈三兩五錢。問銀數、鹿價各若 干。

答曰：「銀一十八兩，鹿價一十兩。」

法曰：先以之四互乘四分，得一十六，以通盈三兩五 錢，得五十六兩。次以之三互乘六分，得一十八，以通 盈二兩，得三十六兩。各列位。〈十八　十六〉互。〈盈三十六　盈五十六〉先 以十六互乘三十六，得五百七十六兩，又以十八互 乘五十六，得一千零八兩，二位相減，餘四百三十二 兩。卻以分子之三之四相乘，得十二除之，得三十六 為銀實。卻以十八、十六相減，餘二為法，除之，得銀數 一十八兩。另以兩盈三十六、五十六相減，餘二十為 鹿價實。仍以前法二除之，得鹿價一十兩。合問 今有官派銀不知數，依例令上等八戶、下等五戶納 之不足五兩。復令上等六戶、下等八戶納之亦不足 三兩。其銀下戶例如上戶例十分之八，問派銀數及 《各戶則例》若干。

答曰：「官派銀六十五兩，上戶例五兩，下戶例四 兩。」

《法》曰：先置上等八戶，以十因之，得八十戶。又置下等 五戶，以八因之，得四十戶，併之得一百二十戶列位。 次置上等六戶，以十因之，得六十戶。又置下等八戶， 以八因之，得六十四戶，併之得一百二十四戶列位。 〈一百二十戶　一百二十四戶〉互。〈不足五兩　不足三兩〉先以一百二十戶互 乘不足三兩，得三百六十兩；又以一百二十四戶互 乘不足五兩，得六百二十兩。二位相減，餘二百六十 兩為《銀實》。卻以戶數一百二十與一百二十四相減， 餘四為法除之，得官派銀六十五兩。另以兩不足五 兩、三兩相減，餘二兩為《則例實》。仍以前法四除之，得 五錢；以十因之，得上等一戶則例銀五兩，另列五錢， 以「八」因之，得下等一戶則例銀四兩，合問。

「取錢買物」 ，盈適足歌。

取錢買物，盈適足，子互乘母，自相通，卻以盈錢為物 實，減率留餘，作法宗。取錢，「適足」乘盈數乘子，除，為錢 實宮。如法除之，錢可見不足、「適足」術相同。

假有銅錢不知數，欲買「木一根，取錢二分之一，買之； 盈錢四文，取錢七分之三；買之適足。」問錢數、木價各 若干。

答曰：「總錢五十六文，木價二十四文。」

法曰：先以二分下之一，互乘七分，得七數；次以七分 下之三，互乘二分，得六數。以通盈四文，得二十四文， 如盈適足列位。〈六七〉互。〈盈二十四適足〉先以盈二十四文 為木價實，卻以六相減，餘一為法，除之，得木價二十 四文。次以七互乘，盈二十四，得一百六十八，卻以之 一之三相乘，得三為法，除之，得錢五十六文。《合問》 今有芝麻，不知數，只云「取麻八分之三，糶銀十兩不 足二石」，取麻三分之一，糶銀八兩，適足問麻數及每 兩該麻若干。

答曰：「總麻四十八石；每銀一兩，該麻二石。」

法曰：先以八分下之三，互乘三分，得九數；以通八兩， 得七十二兩；次以三分下之一，互乘八分，得八數；以 通十兩，得八十兩；以八通不足二石，得一十六石。如 不足過足列位。〈八十兩　七十二兩〉互。〈不足十六石適足〉先以七 十二互乘一十六石，得一千一百五十二，卻以之一 之，三相乘，得三，除之得三百八十四石，為麻實。卻以 八十兩減去七十二兩，餘八兩為法，除之，得總麻四 十八石。另以不足一十六石為銀該麻之實。仍以前 法八除之，得每銀一兩，該麻二石。《合問》。

此「取錢買物」 數條，是帶「分母」 之法。。