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测圆海镜/卷08

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○明A1后一十六问

或问:出南门向东有槐树一株,出东门向南有柳树一株。丙丁俱出南门,丙直行,丁往至槐树下。甲乙俱出东门,甲直行,乙往至柳树下。四人遥相望见,各不知所行步数只云丙丁共行了二百七步,甲乙共行了四十六步,又云甲丙立处相距二百八十九步。问答同前。

法曰:以二共相减数又以减距数为实,二为法。得平勾■。

草曰:识别得丙丁共即明和也,甲乙共即A1和也,相距步即极弦也。二共相并即极弦内少个虚黄也,又为极和内少个虚和也。二共相减馀为平勾高股差也,又为虚差极差共也,又为通差内减极差也。立天元为平勾,加入二共相减数,得■为高股,又加天元得■为极弦(寄左)。以相距步二百八十九与左相消,得 ■。上法下实,如法得六十四,即平勾也。以二共相减数加平勾得二百二十五为高股,复以平勾乘之,得一万四千四百步。开平方得一百二十步,即城半径也。合问。

又法:二共数并,以减相距数,馀者半之为泛率。以泛率加丙丁共为长,以泛率加甲乙共为阔。长阔相乘为平方实。得半径。

草曰:置极弦内减二共并数,馀三十六步即虚黄也。半之,副置二位。上以加明和得二百二十五步为高股也,下以加A1和得六十四步为平勾也。二位相乘得一万四千四百步。开平方得一百二十步,即半径也。合问。

或问:依前见丙丁共二百七步,甲乙共四十六步。又云二树相去一百二步。问答同前。

法曰:以甲乙共乘树相去步,得数又以自之为平实;从空;并二共数为幂于上,内减甲乙共自之数、丙丁共自之数为益隅。得A1弦■。

草曰:识别得两树相去步即虚弦也。馀数具前。立天元一为A1弦。置明和以天元乘之,合A1和除,不除,便以■元为明弦也(内带A1和分母)。乃置虚弦以分母A1和乘之,得■太,加入明弦,得■为极股也,内带A1和分母。以自之得下式■为极股幂(内寄A1和幂为分母)。又以天元加虚弦得下■为极勾,以自之得■。又以A1和幂■乘之,得■为勾幂也。勾股幂相并得■为两积一较幂也,内有A1和幂分母(寄左)。然后置明弦■元于上,以A1和乘天元加上位,得 ■元为二弦并也。又置虚弦以A1和乘之得■太,并入上位,得下式■为极弦,以自之得■为同数,与左相消得■。开平方得三十四步,即A1弦也。

又法:以树相去步自之,又以甲乙共乘之为平实,从空,倍丙丁共为虚隅。得A1弦■。

草曰:立天元一为A1弦。依前术求得明弦■元,便以为皇极勾弦差也(内带A1和分母)。以天元A1弦便为皇极股弦差,以乘之,又倍之,得■为虚弦幂(内有A1和分母。寄左)。然后以虚弦自之,又以分母■乘之,得四十七万八千五百八十四为同数,与左相消得■。开平方得三十四步,即A1弦也。合问。

或问:皇极大小差共一百八十七步,明黄、A1黄共六十六步。问答同前。法曰:后数自乘为实,前后数相减,馀为法。得虚黄方三十六。

草曰:别得一百八十七即明A1二弦共也,其六十六即太虚大小差共也。又二数相并,得■即明、A1二和共。若以相减,馀■即明、A1四差共也。立天元一为太虚黄方面,加二黄共,得■即虚弦也。倍虚弦又加天元,得■即城径也。又以虚弦加皇极大小差,得■即极弦也,以极弦乘城径得■,为两段皇极勾股积(寄左)。再以极弦虚弦相并,得■,即皇极勾股共也,自之得■,内减皇极弦幂■,得■为同数,与寄左相消得■。上法下实,如法得三十六步,即太虚黄方面也。合问。

或问:东门南有柳一株,南门东有槐一株。甲出东门直行,丙出南门直行。甲、丙、柳、槐悉与城参相直,既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下,丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下。问答同前。

法曰:云数相乘,倍之便为平方实,开方得虚弦一百二步。以此弦加甲行步即极勾,以此弦加丙行步即极股。馀各依法求之。识别:甲斜行即A1弦也,丙斜行即明弦也。无草。

或问:东门南有柳一株,南门东有槐一株。甲出东门直行,丙出南门直行,二人遥相望,槐柳与城边悉相直。既而甲复斜行至柳树下,丙复斜行至槐树下,各不知步数。只云丙共行了二百八十八步,甲斜行与柳至东门步共得六十四步。问答同前。

法曰:二云数相乘于上,以六十四步自之,又二之,减上位为平实。四之六十四于上,倍丙行内减上位为从。二十常法。得甲直行步一十六。

草曰:别得丙共步即明股、明弦和也,六十四即平勾也,内甲斜行即A1弦也,柳至东门步即A1股也。又二云数相并即明差与极弦共也,二云数相减即明差与平勾高股差共也。又平勾内减A1勾即虚勾也。立天元一为A1勾。置丙共步以天元乘之,复以六十四除之得■为明勾也。又以天元减于六十四,得■为虚勾也,并虚明二勾■为半径也。以自之得■,倍之得■为半段圆城径幂(寄左)。乃以天元加六十四,得■为勾圆差于上;又以明勾加丙共步,得■为股圆差于下。上下相乘得■为同数,与左相消得■。开平方得一十六步,即A1勾也。此A1勾乃甲出东门直行步也。馀皆依数求之。合问。

或问:东门南有柳树一株,南门东有槐树一株。甲出东门直行,丙出南门直行,二人遥相望,槐柳与城边悉相直。既而甲复斜行至柳树下,丙复斜行至槐树下,各不知步数只云甲共行五十步,丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步。问答同前。

法曰:以二百二十五步自之为幂,又以此幂自为幂于上。置甲共行以二百二十五步三度乘之,得数复折半,减上位为平实。置二百二十五步自之数,以二云数相减数乘之,又倍之于上。倍五十步在地,以二百二十五步自之数乘之,复折半加上位为益从。云数相减自乘于上,以云数相乘,复折半,减上位为常法。得明股 ■。

草曰:识别得甲共步即A1勾、A1弦共也,二百二十五即高股也,内丙斜行即明弦,槐至南门步即明勾也。又二云数相并即极弦内减一个A1差也,云数相减即A1差与高股、平勾差共也。又高股内减明股即虚股也。立天元一为明股,即丙出南门直行步也。置五十步以天元乘之得■元,合高股除。不除,便以此■元为A1股也,内带高股■分母。再置高股内减天元得■为虚股,以分母高股乘之,得下式■,加入A1股得■即半径也。以自增乘得下■为半径幂也。内带高股幂为母(寄左)。然后置甲共步以分母高股乘之,得■太,加入A1股得■为勾圆差于上(内带高股分母)。又以天元加高股得■为股圆差于下。上、下相乘得■。又以分母高股乘之,得■,复折半得■为同数,与左相消得■。开平方得一百三十五步,即明股也。合问。

或问:通勾、通弦共一千步,A1勾、A1弦共五十步。问答同前。

法曰:置一千减二之五十步为泛率。以自乘,复半之于上。又置泛率复以五十乘之,加上位为平实。二十二之泛率于上。以四十二乘五十,得数内减泛率,加上位为益从。二百为常法。得A1股■。

草曰:立天元一为A1股。置一千以天元乘之,以五十除之,得■元为通股也。又以天元加五十步,得■即小差也,通股加小差得■即通弦也。以通弦减一千得■,即通勾也。以小差减通勾得■,即圆径也。以圆径减通股得■即大差也。置大差以小差乘之得■(寄左)。然后置圆径以自之得■,折半得■,与左相消得 ■。开平方得三十步,即A1股也。合问。

或问:通勾、通弦共一千步,明勾、明弦共二百二十五步。问答同前。

法曰:以后数再自乘,又以前数乘之为平实;以后数为幂,复以前数乘之为从;以前数幂为虚常法。得明股■。

草曰:别得二百二十五步即高股也。立天元一为明股。置一千以天元乘之,合以高股除不受除,便以此一○○○元为通股(内带高股为母)。以天元加高股,得■即大差也。置大差以高股分母乘之,得■,即带分大差也。以此减于通股,馀■即圆径也。以自增乘,得■(寄左。内带高股幂分母)。然后置一千以高股分母通之,得■太,内减带分大差,得■为两个通勾也。内减两个圆径得■,为两个小差也。以带分大差乘之,得下式■为同数,与左相消得■。开平方得一百三十五步,即明股也。合问。

或问:通股、通弦共一千二百八十步,A1股、A1弦共六十四步。问答同前。

法曰:云数相乘为平实,前数为益从。置前数以后数除之,得二十为泛率。泛率减一以自乘于上,又倍泛率减一加上位为常法。倒积开得A1勾一十六。

草曰:别得六十四步即平勾也。立天元一为A1勾。置前数以天元乘之,以后数除之,得■元即通勾也。又置天元加后数,得■即小差也。以小差减通勾,馀 ■即圆径也。以自之得■(寄左)。然后以小差减于前数,得■为二通股。内减两个圆径,得■为二大差也。以小差乘之得下■,与左相消得■。开平方得一十六步,即A1勾也。合问。

或问:通股、通弦共一千二百八十步,明股、明弦共二百八十八步。问答同前。

法曰:二数相减,以后数乘之,内减后数幂,又半之为泛率。以自之为平实。置前数加二之后数而半之为次率,以乘泛率,倍之于上,以后数乘泛率减上位为益从。次率自乘于上,以前数加次率,复以后数乘之,减上位为隅法。得明勾■。

草曰:别得二数相减,馀■为通勾、通股及明勾共也。立天元一为明勾。置前数以天元乘之,合以后数除之。不除,便以此■元为通勾也(内寄后数分母)。又以二数相减,得数内又减天元得■为通和也。乃以分母二百八十八之,得下式■,内减通勾,馀■为通股也。又以天元加后数,又以分母(即后数也)通之,得■ 为大差也。以此大差减于通股,得下式■,为一个圆径也。半之得■,以自之得■为半径幂(寄左)。然后以半圆径减通勾,得■为底勾,又以天元乘之,又以分母二百八十八之,得■为同数,与左相消得■。开平方得七十二步,即明勾也。合问。

或问:明股、明弦并二百八十八步,A1勾、A1弦并五十步。又云明股、A1勾并多于虚弦四十九步。问答同前。

法曰:前二数相并,内减二之多步,即圆径。又只以前二数相乘,便是半径幂。

草曰:识别得前二数相减而半之,即极差也。其多步名傍差,又为圆径不及极弦数。

或问:平差、高差共一百六十一步,明股、A1勾并多于虚弦四十九步。问答同前。法曰:二数相减又半之,以自乘为实,后数为法。得平勾■。

草曰:立天元一为平勾。以加前数得■为高股也。又以天元加高股得■为极弦,内减后数得■,又半之,得■为半径。以自之,得■(寄左)。然后以天元乘高股,得■为同数,与左相消得■。上法下实,得六十四步,即平勾也。合问。

或问:平勾、高股差一百六十一步,明差、A1差并七十七步。又云极弦多于城径四十九步。问答同前。

法曰:并上二位而半之为平率。其四十九即旁率也。副置平率,上加旁率,下减旁率,以相乘为实。倍旁差为法。得勾圆差■。

法曰:并上二位而半之,为平率。其四十九即旁率也。副置旁率,上以减于平率,下以减于前数,以相乘为实。倍旁差为法。得勾圆差■。

又法:求半径:副置平率,上加旁率,下减旁率,以相乘为实,倍旁差为法。得半径。

草曰:立天元一为半径,又为半之股圆差上弦较较,又为半之勾圆差上弦较和也。内减勾圆差上勾股较■,馀■为半之勾圆差上弦较较也。置股圆差上勾股较 ■,以半之勾圆差上弦较较乘之,得■(寄左)。然后以半之股圆差上弦较较乘勾圆差上勾股较,得■元为同数,与左相消得下式■。上法下实,得一百二十步,即半径也。合问。

草曰:识别得平勾、高股差名角差。副置角差,上加七十七而半之,得■,即极差也。下减七十七而半之,得■,即虚差也。角差加极差得■,即通差也。又极弦多于城径步名为旁差。副置角差,上加旁差得■,为两个高段上勾股较,下减旁差得■为两个平段上勾股较也。又副置极差,上加旁差得■为股圆差上勾股较,下减旁差■为勾圆差上勾股较也。立天元一为勾圆差。依法求得通差,加入天元得■即大差也。以天元乘之得■为半段圆径幂(寄左)。乃置大差■内减股圆差上勾股较■,馀有■为股圆差之勾于上。再置天元内加勾圆差上勾股较■,得■为勾圆差之股。以乘上位得■为同数,与左相消得■。上法下实,得八十步,即勾圆差也。

又依前问:见角差一百六十一步,见明差A1差并七十七步,又见太虚弦较较六十步。问答同前。

法曰:前二数相减而半之,得数加入半之太虚弦较较为泛率,以自乘为平实。置一百六十一内减二之泛率为从,一常法。得平勾■。

草曰:别得■即二A1股也。立天元一为平勾。先以前二数相减而半之,得■为虚差。以虚差加A1股得■,即明勾也。以明勾加天元得■,为平弦,以自之得■,内减天元幂,得■为半径幂(寄左)。然后以天元加一百六十一为高股,以天元乘之,得■为同数,与左相消得■。开平方得六十四步,即平勾也。

又法曰:前数内加半之太虚弦较较,以自乘,内减前数自乘为实,前数内减太虚弦较较为从,一常法。开平方得平勾六十四。此更不用明差A1差并也。

草曰:依前求平勾。前高股内加A1股,得■为高弦也。以自之得■于上位,内减高股幂■,馀得■为半径幂(寄左)。然后以天元乘高股,得■为同数,与左相消得下■。开平方得六十四步,即平勾也。合问。

或问:高差、平差并一百六十一步,明差、A1差并七十七步。问答同前。

法曰:以前数自乘于上,二数相并而半之,以自乘减上位,得数复自增乘为平实。前数自之于上,又以四之前数乘之,寄位。以前数自之于上,并二数而半之,以自乘减上位,得数又以四之前数乘,又倍之,减于寄位为从。前数自之,又四之于上。又以四之前数为幂,加上位,权寄。以前数为幂于上,并二数而半之,以自乘减上位,得数复八之于上。又以四之前数为幂加入上位,并以减于权寄为常法。得平勾■。

草曰:识别得二位相并而半之,得■,即极差也。立天元一为平勾,加一百六十一得■为高股,高股内又加天元,得■为极弦。以自之得■于上,内减极差幂一万四千一百六十一,馀■为两段极积。合以极弦除,不除寄为母,便以此为城径。以自增乘得■为圆径幂(内有极弦幂分母。寄左)。然后以天元乘高股,又四之得■,又以分母极弦幂■通之,得■为同数,与左相消得■。开平方得六十四步,即平勾也。合问。

或问:见明和二百七步,A1和四十六步。问答同前。

法曰:二和上下相减,数同则止,名为泛率。又以二和直相减,馀为泛实(此则角差也)。乃以泛率除泛实,所得为差率也。以差率加减泛率,若半讫,与勾股相应者,其泛率便为和率,其泛实便为较率乘和率也。若不相应,则直取差率以消息之,定为相管和率(其勾股数少,得见弦黄而相为率者。勾三股四,则其和七,而其较一也。勾五股十二,则其和一十七,而其较七也。勾八股十五,则其和二十三,而其较亦得七也。勾七股二十四,则其和三十一,而其较一十七也。勾九股四十,则其和四十九,而其较三十一也。此消息之大略也。馀皆仿此)。乃以和率约二和,其明和所得为明垒率,其A1和所得为A1垒率也。又副置和率,上加差率而半之,则为股率也;下位减差率而半之,则为勾率也。既见勾、股及差三率,各以垒率乘之,即各得勾、股及差之真数也。

又法:二云数相并,以自乘于上。二云数相乘,又四之以减上位为实。二云数相并,以六步半乘之于上,又二数相并,以四步半乘之,又四之,以并入上位为从方。以七十步○四分三厘七毫五丝为常法。得A1小差四步。

草曰:以二和相约分得A1率一、明率四步半,其两数大小差率并同。又别得明小差、A1大差俱为半虚黄也。立天元一为A1小差,以四步半乘之得■为A1大差也,又为明小差,又为半虚黄。置此A1大差又以四步半乘之得■为明大差也。其四差相并得■,减于二和并,得■即两段太虚大小差并也。内加三段虚黄方■,得■,合成一个太虚三事和,即圆城径也。以自增乘得■为径幂(寄左)。乃置A1和加半虚黄,得■为平勾。又置明和内加半虚黄,得■为高股,勾股相乘得下式■,又四之得■为同数,与左相消得下式■。开平方得四步,即A1小差也。合问。

或问:明A1二勾共八十八步,明A1二股共一百六十五步。问答同前。

法曰:先识别得二大差共、二小差共及四差共。乃以二大差、二小差相乘为实,以四差共为法。如法得半之虚黄方一十八。

草曰:先置前后云数以约法约之,得一十一即垒率也。复各置前后数如垒率而一,前得八即勾率也,后得一十五即股率也。再以勾、股率求得较率七,和率二十三,弦率一十七,黄方率六,大差率九,小差率二。既见诸率,各以垒率乘之,其二和共得■,二较共得■,二弦共得■,二黄共得■,二大差共■,二小差共 ■,四差共■。已上皆为明A1所得之共数也。乃立天元一为半虚黄,便为明小差,又为A1大差也。以减于大差共,得■即明大差也。又以减于小差共,得■即A1小差也。以二数相增乘,得■(寄左)。以天元幂与寄左相消,得■。上法下实,得一十八步,即半之虚黄方也。以倍之得■,又加于二黄共六十六共得一百二,即明勾、A1股共也,又为极黄方,又为虚弦也。又以三十六减于一百八十七,馀一百五十一,即明股A1勾共也。此数内减虚弦,馀■为明A1二差较也,此名旁差。以旁差减二弦共一百八十七,馀得■,即太虚和也。却加入虚弦一百二,并得■,为太虚三事和,即圆城径也。合问。

又法:以虚黄方加于二和共二百五十三,得■为极弦也。以旁差减极弦馀二百四十步。亦同。

草曰:前后副置勾、股、较、和、弦、黄六率在地,前以小差率二因之,则勾得■,股得■,较得■,和得■,弦得■,黄得■,即A1段各数也。后以大差率九因之,则勾得■,股得■,较得■,和得■,弦得■,黄得■,即明段各数也。既得明、A1各数,馀皆可知。

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