测圆海镜/卷08
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○明Ａ１后一十六问
或问：出南门向东有槐树一株，出东门向南有柳树一株。丙丁俱出南门，丙直行，丁往至槐树下。甲乙俱出东门，甲直行，乙往至柳树下。四人遥相望见，各不知所行步数只云丙丁共行了二百七步，甲乙共行了四十六步，又云甲丙立处相距二百八十九步。问答同前。
法曰：以二共相减数又以减距数为实，二为法。得平勾■。
草曰：识别得丙丁共即明和也，甲乙共即Ａ１和也，相距步即极弦也。二共相并即极弦内少个虚黄也，又为极和内少个虚和也。二共相减馀为平勾高股差也，又为虚差极差共也，又为通差内减极差也。立天元为平勾，加入二共相减数，得■为高股，又加天元得■为极弦（寄左）。以相距步二百八十九与左相消，得 ■。上法下实，如法得六十四，即平勾也。以二共相减数加平勾得二百二十五为高股，复以平勾乘之，得一万四千四百步。开平方得一百二十步，即城半径也。合问。
又法：二共数并，以减相距数，馀者半之为泛率。以泛率加丙丁共为长，以泛率加甲乙共为阔。长阔相乘为平方实。得半径。
草曰：置极弦内减二共并数，馀三十六步即虚黄也。半之，副置二位。上以加明和得二百二十五步为高股也，下以加Ａ１和得六十四步为平勾也。二位相乘得一万四千四百步。开平方得一百二十步，即半径也。合问。
或问：依前见丙丁共二百七步，甲乙共四十六步。又云二树相去一百二步。问答同前。
法曰：以甲乙共乘树相去步，得数又以自之为平实；从空；并二共数为幂于上，内减甲乙共自之数、丙丁共自之数为益隅。得Ａ１弦■。
草曰：识别得两树相去步即虚弦也。馀数具前。立天元一为Ａ１弦。置明和以天元乘之，合Ａ１和除，不除，便以■元为明弦也（内带Ａ１和分母）。乃置虚弦以分母Ａ１和乘之，得■太，加入明弦，得■为极股也，内带Ａ１和分母。以自之得下式■为极股幂（内寄Ａ１和幂为分母）。又以天元加虚弦得下■为极勾，以自之得■。又以Ａ１和幂■乘之，得■为勾幂也。勾股幂相并得■为两积一较幂也，内有Ａ１和幂分母（寄左）。然后置明弦■元于上，以Ａ１和乘天元加上位，得 ■元为二弦并也。又置虚弦以Ａ１和乘之得■太，并入上位，得下式■为极弦，以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三十四步，即Ａ１弦也。
又法：以树相去步自之，又以甲乙共乘之为平实，从空，倍丙丁共为虚隅。得Ａ１弦■。
草曰：立天元一为Ａ１弦。依前术求得明弦■元，便以为皇极勾弦差也（内带Ａ１和分母）。以天元Ａ１弦便为皇极股弦差，以乘之，又倍之，得■为虚弦幂（内有Ａ１和分母。寄左）。然后以虚弦自之，又以分母■乘之，得四十七万八千五百八十四为同数，与左相消得■。开平方得三十四步，即Ａ１弦也。合问。
或问：皇极大小差共一百八十七步，明黄、Ａ１黄共六十六步。问答同前。法曰：后数自乘为实，前后数相减，馀为法。得虚黄方三十六。
草曰：别得一百八十七即明Ａ１二弦共也，其六十六即太虚大小差共也。又二数相并，得■即明、Ａ１二和共。若以相减，馀■即明、Ａ１四差共也。立天元一为太虚黄方面，加二黄共，得■即虚弦也。倍虚弦又加天元，得■即城径也。又以虚弦加皇极大小差，得■即极弦也，以极弦乘城径得■，为两段皇极勾股积（寄左）。再以极弦虚弦相并，得■，即皇极勾股共也，自之得■，内减皇极弦幂■，得■为同数，与寄左相消得■。上法下实，如法得三十六步，即太虚黄方面也。合问。
或问：东门南有柳一株，南门东有槐一株。甲出东门直行，丙出南门直行。甲、丙、柳、槐悉与城参相直，既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下，丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下。问答同前。
法曰：云数相乘，倍之便为平方实，开方得虚弦一百二步。以此弦加甲行步即极勾，以此弦加丙行步即极股。馀各依法求之。识别：甲斜行即Ａ１弦也，丙斜行即明弦也。无草。
或问：东门南有柳一株，南门东有槐一株。甲出东门直行，丙出南门直行，二人遥相望，槐柳与城边悉相直。既而甲复斜行至柳树下，丙复斜行至槐树下，各不知步数。只云丙共行了二百八十八步，甲斜行与柳至东门步共得六十四步。问答同前。
法曰：二云数相乘于上，以六十四步自之，又二之，减上位为平实。四之六十四于上，倍丙行内减上位为从。二十常法。得甲直行步一十六。
草曰：别得丙共步即明股、明弦和也，六十四即平勾也，内甲斜行即Ａ１弦也，柳至东门步即Ａ１股也。又二云数相并即明差与极弦共也，二云数相减即明差与平勾高股差共也。又平勾内减Ａ１勾即虚勾也。立天元一为Ａ１勾。置丙共步以天元乘之，复以六十四除之得■为明勾也。又以天元减于六十四，得■为虚勾也，并虚明二勾■为半径也。以自之得■，倍之得■为半段圆城径幂（寄左）。乃以天元加六十四，得■为勾圆差于上；又以明勾加丙共步，得■为股圆差于下。上下相乘得■为同数，与左相消得■。开平方得一十六步，即Ａ１勾也。此Ａ１勾乃甲出东门直行步也。馀皆依数求之。合问。
或问：东门南有柳树一株，南门东有槐树一株。甲出东门直行，丙出南门直行，二人遥相望，槐柳与城边悉相直。既而甲复斜行至柳树下，丙复斜行至槐树下，各不知步数只云甲共行五十步，丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步。问答同前。
法曰：以二百二十五步自之为幂，又以此幂自为幂于上。置甲共行以二百二十五步三度乘之，得数复折半，减上位为平实。置二百二十五步自之数，以二云数相减数乘之，又倍之于上。倍五十步在地，以二百二十五步自之数乘之，复折半加上位为益从。云数相减自乘于上，以云数相乘，复折半，减上位为常法。得明股 ■。
草曰：识别得甲共步即Ａ１勾、Ａ１弦共也，二百二十五即高股也，内丙斜行即明弦，槐至南门步即明勾也。又二云数相并即极弦内减一个Ａ１差也，云数相减即Ａ１差与高股、平勾差共也。又高股内减明股即虚股也。立天元一为明股，即丙出南门直行步也。置五十步以天元乘之得■元，合高股除。不除，便以此■元为Ａ１股也，内带高股■分母。再置高股内减天元得■为虚股，以分母高股乘之，得下式■，加入Ａ１股得■即半径也。以自增乘得下■为半径幂也。内带高股幂为母（寄左）。然后置甲共步以分母高股乘之，得■太，加入Ａ１股得■为勾圆差于上（内带高股分母）。又以天元加高股得■为股圆差于下。上、下相乘得■。又以分母高股乘之，得■，复折半得■为同数，与左相消得■。开平方得一百三十五步，即明股也。合问。
或问：通勾、通弦共一千步，Ａ１勾、Ａ１弦共五十步。问答同前。
法曰：置一千减二之五十步为泛率。以自乘，复半之于上。又置泛率复以五十乘之，加上位为平实。二十二之泛率于上。以四十二乘五十，得数内减泛率，加上位为益从。二百为常法。得Ａ１股■。
草曰：立天元一为Ａ１股。置一千以天元乘之，以五十除之，得■元为通股也。又以天元加五十步，得■即小差也，通股加小差得■即通弦也。以通弦减一千得■，即通勾也。以小差减通勾得■，即圆径也。以圆径减通股得■即大差也。置大差以小差乘之得■（寄左）。然后置圆径以自之得■，折半得■，与左相消得 ■。开平方得三十步，即Ａ１股也。合问。
或问：通勾、通弦共一千步，明勾、明弦共二百二十五步。问答同前。
法曰：以后数再自乘，又以前数乘之为平实；以后数为幂，复以前数乘之为从；以前数幂为虚常法。得明股■。
草曰：别得二百二十五步即高股也。立天元一为明股。置一千以天元乘之，合以高股除不受除，便以此一○○○元为通股（内带高股为母）。以天元加高股，得■即大差也。置大差以高股分母乘之，得■，即带分大差也。以此减于通股，馀■即圆径也。以自增乘，得■（寄左。内带高股幂分母）。然后置一千以高股分母通之，得■太，内减带分大差，得■为两个通勾也。内减两个圆径得■，为两个小差也。以带分大差乘之，得下式■为同数，与左相消得■。开平方得一百三十五步，即明股也。合问。
或问：通股、通弦共一千二百八十步，Ａ１股、Ａ１弦共六十四步。问答同前。
法曰：云数相乘为平实，前数为益从。置前数以后数除之，得二十为泛率。泛率减一以自乘于上，又倍泛率减一加上位为常法。倒积开得Ａ１勾一十六。
草曰：别得六十四步即平勾也。立天元一为Ａ１勾。置前数以天元乘之，以后数除之，得■元即通勾也。又置天元加后数，得■即小差也。以小差减通勾，馀 ■即圆径也。以自之得■（寄左）。然后以小差减于前数，得■为二通股。内减两个圆径，得■为二大差也。以小差乘之得下■，与左相消得■。开平方得一十六步，即Ａ１勾也。合问。
或问：通股、通弦共一千二百八十步，明股、明弦共二百八十八步。问答同前。
法曰：二数相减，以后数乘之，内减后数幂，又半之为泛率。以自之为平实。置前数加二之后数而半之为次率，以乘泛率，倍之于上，以后数乘泛率减上位为益从。次率自乘于上，以前数加次率，复以后数乘之，减上位为隅法。得明勾■。
草曰：别得二数相减，馀■为通勾、通股及明勾共也。立天元一为明勾。置前数以天元乘之，合以后数除之。不除，便以此■元为通勾也（内寄后数分母）。又以二数相减，得数内又减天元得■为通和也。乃以分母二百八十八之，得下式■，内减通勾，馀■为通股也。又以天元加后数，又以分母（即后数也）通之，得■ 为大差也。以此大差减于通股，得下式■，为一个圆径也。半之得■，以自之得■为半径幂（寄左）。然后以半圆径减通勾，得■为底勾，又以天元乘之，又以分母二百八十八之，得■为同数，与左相消得■。开平方得七十二步，即明勾也。合问。
或问：明股、明弦并二百八十八步，Ａ１勾、Ａ１弦并五十步。又云明股、Ａ１勾并多于虚弦四十九步。问答同前。
法曰：前二数相并，内减二之多步，即圆径。又只以前二数相乘，便是半径幂。
草曰：识别得前二数相减而半之，即极差也。其多步名傍差，又为圆径不及极弦数。
或问：平差、高差共一百六十一步，明股、Ａ１勾并多于虚弦四十九步。问答同前。法曰：二数相减又半之，以自乘为实，后数为法。得平勾■。
草曰：立天元一为平勾。以加前数得■为高股也。又以天元加高股得■为极弦，内减后数得■，又半之，得■为半径。以自之，得■（寄左）。然后以天元乘高股，得■为同数，与左相消得■。上法下实，得六十四步，即平勾也。合问。
或问：平勾、高股差一百六十一步，明差、Ａ１差并七十七步。又云极弦多于城径四十九步。问答同前。
法曰：并上二位而半之为平率。其四十九即旁率也。副置平率，上加旁率，下减旁率，以相乘为实。倍旁差为法。得勾圆差■。
法曰：并上二位而半之，为平率。其四十九即旁率也。副置旁率，上以减于平率，下以减于前数，以相乘为实。倍旁差为法。得勾圆差■。
又法：求半径：副置平率，上加旁率，下减旁率，以相乘为实，倍旁差为法。得半径。
草曰：立天元一为半径，又为半之股圆差上弦较较，又为半之勾圆差上弦较和也。内减勾圆差上勾股较■，馀■为半之勾圆差上弦较较也。置股圆差上勾股较 ■，以半之勾圆差上弦较较乘之，得■（寄左）。然后以半之股圆差上弦较较乘勾圆差上勾股较，得■元为同数，与左相消得下式■。上法下实，得一百二十步，即半径也。合问。
草曰：识别得平勾、高股差名角差。副置角差，上加七十七而半之，得■，即极差也。下减七十七而半之，得■，即虚差也。角差加极差得■，即通差也。又极弦多于城径步名为旁差。副置角差，上加旁差得■，为两个高段上勾股较，下减旁差得■为两个平段上勾股较也。又副置极差，上加旁差得■为股圆差上勾股较，下减旁差■为勾圆差上勾股较也。立天元一为勾圆差。依法求得通差，加入天元得■即大差也。以天元乘之得■为半段圆径幂（寄左）。乃置大差■内减股圆差上勾股较■，馀有■为股圆差之勾于上。再置天元内加勾圆差上勾股较■，得■为勾圆差之股。以乘上位得■为同数，与左相消得■。上法下实，得八十步，即勾圆差也。
又依前问：见角差一百六十一步，见明差Ａ１差并七十七步，又见太虚弦较较六十步。问答同前。
法曰：前二数相减而半之，得数加入半之太虚弦较较为泛率，以自乘为平实。置一百六十一内减二之泛率为从，一常法。得平勾■。
草曰：别得■即二Ａ１股也。立天元一为平勾。先以前二数相减而半之，得■为虚差。以虚差加Ａ１股得■，即明勾也。以明勾加天元得■，为平弦，以自之得■，内减天元幂，得■为半径幂（寄左）。然后以天元加一百六十一为高股，以天元乘之，得■为同数，与左相消得■。开平方得六十四步，即平勾也。
又法曰：前数内加半之太虚弦较较，以自乘，内减前数自乘为实，前数内减太虚弦较较为从，一常法。开平方得平勾六十四。此更不用明差Ａ１差并也。
草曰：依前求平勾。前高股内加Ａ１股，得■为高弦也。以自之得■于上位，内减高股幂■，馀得■为半径幂（寄左）。然后以天元乘高股，得■为同数，与左相消得下■。开平方得六十四步，即平勾也。合问。
或问：高差、平差并一百六十一步，明差、Ａ１差并七十七步。问答同前。
法曰：以前数自乘于上，二数相并而半之，以自乘减上位，得数复自增乘为平实。前数自之于上，又以四之前数乘之，寄位。以前数自之于上，并二数而半之，以自乘减上位，得数又以四之前数乘，又倍之，减于寄位为从。前数自之，又四之于上。又以四之前数为幂，加上位，权寄。以前数为幂于上，并二数而半之，以自乘减上位，得数复八之于上。又以四之前数为幂加入上位，并以减于权寄为常法。得平勾■。
草曰：识别得二位相并而半之，得■，即极差也。立天元一为平勾，加一百六十一得■为高股，高股内又加天元，得■为极弦。以自之得■于上，内减极差幂一万四千一百六十一，馀■为两段极积。合以极弦除，不除寄为母，便以此为城径。以自增乘得■为圆径幂（内有极弦幂分母。寄左）。然后以天元乘高股，又四之得■，又以分母极弦幂■通之，得■为同数，与左相消得■。开平方得六十四步，即平勾也。合问。
或问：见明和二百七步，Ａ１和四十六步。问答同前。
法曰：二和上下相减，数同则止，名为泛率。又以二和直相减，馀为泛实（此则角差也）。乃以泛率除泛实，所得为差率也。以差率加减泛率，若半讫，与勾股相应者，其泛率便为和率，其泛实便为较率乘和率也。若不相应，则直取差率以消息之，定为相管和率（其勾股数少，得见弦黄而相为率者。勾三股四，则其和七，而其较一也。勾五股十二，则其和一十七，而其较七也。勾八股十五，则其和二十三，而其较亦得七也。勾七股二十四，则其和三十一，而其较一十七也。勾九股四十，则其和四十九，而其较三十一也。此消息之大略也。馀皆仿此）。乃以和率约二和，其明和所得为明垒率，其Ａ１和所得为Ａ１垒率也。又副置和率，上加差率而半之，则为股率也；下位减差率而半之，则为勾率也。既见勾、股及差三率，各以垒率乘之，即各得勾、股及差之真数也。
又法：二云数相并，以自乘于上。二云数相乘，又四之以减上位为实。二云数相并，以六步半乘之于上，又二数相并，以四步半乘之，又四之，以并入上位为从方。以七十步○四分三厘七毫五丝为常法。得Ａ１小差四步。
草曰：以二和相约分得Ａ１率一、明率四步半，其两数大小差率并同。又别得明小差、Ａ１大差俱为半虚黄也。立天元一为Ａ１小差，以四步半乘之得■为Ａ１大差也，又为明小差，又为半虚黄。置此Ａ１大差又以四步半乘之得■为明大差也。其四差相并得■，减于二和并，得■即两段太虚大小差并也。内加三段虚黄方■，得■，合成一个太虚三事和，即圆城径也。以自增乘得■为径幂（寄左）。乃置Ａ１和加半虚黄，得■为平勾。又置明和内加半虚黄，得■为高股，勾股相乘得下式■，又四之得■为同数，与左相消得下式■。开平方得四步，即Ａ１小差也。合问。
或问：明Ａ１二勾共八十八步，明Ａ１二股共一百六十五步。问答同前。
法曰：先识别得二大差共、二小差共及四差共。乃以二大差、二小差相乘为实，以四差共为法。如法得半之虚黄方一十八。
草曰：先置前后云数以约法约之，得一十一即垒率也。复各置前后数如垒率而一，前得八即勾率也，后得一十五即股率也。再以勾、股率求得较率七，和率二十三，弦率一十七，黄方率六，大差率九，小差率二。既见诸率，各以垒率乘之，其二和共得■，二较共得■，二弦共得■，二黄共得■，二大差共■，二小差共 ■，四差共■。已上皆为明Ａ１所得之共数也。乃立天元一为半虚黄，便为明小差，又为Ａ１大差也。以减于大差共，得■即明大差也。又以减于小差共，得■即Ａ１小差也。以二数相增乘，得■（寄左）。以天元幂与寄左相消，得■。上法下实，得一十八步，即半之虚黄方也。以倍之得■，又加于二黄共六十六共得一百二，即明勾、Ａ１股共也，又为极黄方，又为虚弦也。又以三十六减于一百八十七，馀一百五十一，即明股Ａ１勾共也。此数内减虚弦，馀■为明Ａ１二差较也，此名旁差。以旁差减二弦共一百八十七，馀得■，即太虚和也。却加入虚弦一百二，并得■，为太虚三事和，即圆城径也。合问。
又法：以虚黄方加于二和共二百五十三，得■为极弦也。以旁差减极弦馀二百四十步。亦同。
草曰：前后副置勾、股、较、和、弦、黄六率在地，前以小差率二因之，则勾得■，股得■，较得■，和得■，弦得■，黄得■，即Ａ１段各数也。后以大差率九因之，则勾得■，股得■，较得■，和得■，弦得■，黄得■，即明段各数也。既得明、Ａ１各数，馀皆可知。