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測圓海鏡/卷08

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○明A1後一十六問

或問:出南門向東有槐樹一株,出東門向南有柳樹一株。丙丁俱出南門,丙直行,丁往至槐樹下。甲乙俱出東門,甲直行,乙往至柳樹下。四人遙相望見,各不知所行步數隻雲丙丁共行了二百七步,甲乙共行了四十六步,又雲甲丙立處相距二百八十九步。問答同前。

法曰:以二共相減數又以減距數為實,二為法。得平勾■。

草曰:識別得丙丁共即明和也,甲乙共即A1和也,相距步即極弦也。二共相並即極弦內少個虛黃也,又為極和內少個虛和也。二共相減餘為平勾高股差也,又為虛差極差共也,又為通差內減極差也。立天元為平勾,加入二共相減數,得■為高股,又加天元得■為極弦(寄左)。以相距步二百八十九與左相消,得 ■。上法下實,如法得六十四,即平勾也。以二共相減數加平勾得二百二十五為高股,複以平勾乘之,得一萬四千四百步。開平方得一百二十步,即城半徑也。合問。

又法:二共數並,以減相距數,餘者半之為泛率。以泛率加丙丁共為長,以泛率加甲乙共為闊。長闊相乘為平方實。得半徑。

草曰:置極弦內減二共並數,餘三十六步即虛黃也。半之,副置二位。上以加明和得二百二十五步為高股也,下以加A1和得六十四步為平勾也。二位相乘得一萬四千四百步。開平方得一百二十步,即半徑也。合問。

或問:依前見丙丁共二百七步,甲乙共四十六步。又雲二樹相去一百二步。問答同前。

法曰:以甲乙共乘樹相去步,得數又以自之為平實;從空;並二共數為冪於上,內減甲乙共自之數、丙丁共自之數為益隅。得A1弦■。

草曰:識別得兩樹相去步即虛弦也。餘數具前。立天元一為A1弦。置明和以天元乘之,合A1和除,不除,便以■元為明弦也(內帶A1和分母)。乃置虛弦以分母A1和乘之,得■太,加入明弦,得■為極股也,內帶A1和分母。以自之得下式■為極股冪(內寄A1和冪為分母)。又以天元加虛弦得下■為極勾,以自之得■。又以A1和冪■乘之,得■為勾冪也。勾股冪相並得■為兩積一較冪也,內有A1和冪分母(寄左)。然後置明弦■元於上,以A1和乘天元加上位,得 ■元為二弦並也。又置虛弦以A1和乘之得■太,並入上位,得下式■為極弦,以自之得■為同數,與左相消得■。開平方得三十四步,即A1弦也。

又法:以樹相去步自之,又以甲乙共乘之為平實,從空,倍丙丁共為虛隅。得A1弦■。

草曰:立天元一為A1弦。依前術求得明弦■元,便以為皇極勾弦差也(內帶A1和分母)。以天元A1弦便為皇極股弦差,以乘之,又倍之,得■為虛弦冪(內有A1和分母。寄左)。然後以虛弦自之,又以分母■乘之,得四十七萬八千五百八十四為同數,與左相消得■。開平方得三十四步,即A1弦也。合問。

或問:皇極大小差共一百八十七步,明黃、A1黃共六十六步。問答同前。法曰:後數自乘為實,前後數相減,餘為法。得虛黃方三十六。

草曰:別得一百八十七即明A1二弦共也,其六十六即太虛大小差共也。又二數相並,得■即明、A1二和共。若以相減,餘■即明、A1四差共也。立天元一為太虛黃方麵,加二黃共,得■即虛弦也。倍虛弦又加天元,得■即城徑也。又以虛弦加皇極大小差,得■即極弦也,以極弦乘城徑得■,為兩段皇極勾股積(寄左)。再以極弦虛弦相並,得■,即皇極勾股共也,自之得■,內減皇極弦冪■,得■為同數,與寄左相消得■。上法下實,如法得三十六步,即太虛黃方麵也。合問。

或問:東門南有柳一株,南門東有槐一株。甲出東門直行,丙出南門直行。甲、丙、柳、槐悉與城參相直,既而甲就柳樹斜行三十四步至柳樹下,丙就槐樹斜行一百五十三步至槐樹下。問答同前。

法曰:雲數相乘,倍之便為平方實,開方得虛弦一百二步。以此弦加甲行步即極勾,以此弦加丙行步即極股。餘各依法求之。識別:甲斜行即A1弦也,丙斜行即明弦也。無草。

或問:東門南有柳一株,南門東有槐一株。甲出東門直行,丙出南門直行,二人遙相望,槐柳與城邊悉相直。既而甲複斜行至柳樹下,丙複斜行至槐樹下,各不知步數。隻雲丙共行了二百八十八步,甲斜行與柳至東門步共得六十四步。問答同前。

法曰:二雲數相乘於上,以六十四步自之,又二之,減上位為平實。四之六十四於上,倍丙行內減上位為從。二十常法。得甲直行步一十六。

草曰:別得丙共步即明股、明弦和也,六十四即平勾也,內甲斜行即A1弦也,柳至東門步即A1股也。又二雲數相並即明差與極弦共也,二雲數相減即明差與平勾高股差共也。又平勾內減A1勾即虛勾也。立天元一為A1勾。置丙共步以天元乘之,複以六十四除之得■為明勾也。又以天元減於六十四,得■為虛勾也,並虛明二勾■為半徑也。以自之得■,倍之得■為半段圓城徑冪(寄左)。乃以天元加六十四,得■為勾圓差於上;又以明勾加丙共步,得■為股圓差於下。上下相乘得■為同數,與左相消得■。開平方得一十六步,即A1勾也。此A1勾乃甲出東門直行步也。餘皆依數求之。合問。

或問:東門南有柳樹一株,南門東有槐樹一株。甲出東門直行,丙出南門直行,二人遙相望,槐柳與城邊悉相直。既而甲複斜行至柳樹下,丙複斜行至槐樹下,各不知步數隻雲甲共行五十步,丙斜行與槐至南門步共得二百二十五步。問答同前。

法曰:以二百二十五步自之為冪,又以此冪自為冪於上。置甲共行以二百二十五步三度乘之,得數複折半,減上位為平實。置二百二十五步自之數,以二雲數相減數乘之,又倍之於上。倍五十步在地,以二百二十五步自之數乘之,複折半加上位為益從。雲數相減自乘於上,以雲數相乘,複折半,減上位為常法。得明股 ■。

草曰:識別得甲共步即A1勾、A1弦共也,二百二十五即高股也,內丙斜行即明弦,槐至南門步即明勾也。又二雲數相並即極弦內減一個A1差也,雲數相減即A1差與高股、平勾差共也。又高股內減明股即虛股也。立天元一為明股,即丙出南門直行步也。置五十步以天元乘之得■元,合高股除。不除,便以此■元為A1股也,內帶高股■分母。再置高股內減天元得■為虛股,以分母高股乘之,得下式■,加入A1股得■即半徑也。以自增乘得下■為半徑冪也。內帶高股冪為母(寄左)。然後置甲共步以分母高股乘之,得■太,加入A1股得■為勾圓差於上(內帶高股分母)。又以天元加高股得■為股圓差於下。上、下相乘得■。又以分母高股乘之,得■,複折半得■為同數,與左相消得■。開平方得一百三十五步,即明股也。合問。

或問:通勾、通弦共一千步,A1勾、A1弦共五十步。問答同前。

法曰:置一千減二之五十步為泛率。以自乘,複半之於上。又置泛率複以五十乘之,加上位為平實。二十二之泛率於上。以四十二乘五十,得數內減泛率,加上位為益從。二百為常法。得A1股■。

草曰:立天元一為A1股。置一千以天元乘之,以五十除之,得■元為通股也。又以天元加五十步,得■即小差也,通股加小差得■即通弦也。以通弦減一千得■,即通勾也。以小差減通勾得■,即圓徑也。以圓徑減通股得■即大差也。置大差以小差乘之得■(寄左)。然後置圓徑以自之得■,折半得■,與左相消得 ■。開平方得三十步,即A1股也。合問。

或問:通勾、通弦共一千步,明勾、明弦共二百二十五步。問答同前。

法曰:以後數再自乘,又以前數乘之為平實;以後數為冪,複以前數乘之為從;以前數冪為虛常法。得明股■。

草曰:別得二百二十五步即高股也。立天元一為明股。置一千以天元乘之,合以高股除不受除,便以此一○○○元為通股(內帶高股為母)。以天元加高股,得■即大差也。置大差以高股分母乘之,得■,即帶分大差也。以此減於通股,餘■即圓徑也。以自增乘,得■(寄左。內帶高股冪分母)。然後置一千以高股分母通之,得■太,內減帶分大差,得■為兩個通勾也。內減兩個圓徑得■,為兩個小差也。以帶分大差乘之,得下式■為同數,與左相消得■。開平方得一百三十五步,即明股也。合問。

或問:通股、通弦共一千二百八十步,A1股、A1弦共六十四步。問答同前。

法曰:雲數相乘為平實,前數為益從。置前數以後數除之,得二十為泛率。泛率減一以自乘於上,又倍泛率減一加上位為常法。倒積開得A1勾一十六。

草曰:別得六十四步即平勾也。立天元一為A1勾。置前數以天元乘之,以後數除之,得■元即通勾也。又置天元加後數,得■即小差也。以小差減通勾,餘 ■即圓徑也。以自之得■(寄左)。然後以小差減於前數,得■為二通股。內減兩個圓徑,得■為二大差也。以小差乘之得下■,與左相消得■。開平方得一十六步,即A1勾也。合問。

或問:通股、通弦共一千二百八十步,明股、明弦共二百八十八步。問答同前。

法曰:二數相減,以後數乘之,內減後數冪,又半之為泛率。以自之為平實。置前數加二之後數而半之為次率,以乘泛率,倍之於上,以後數乘泛率減上位為益從。次率自乘於上,以前數加次率,複以後數乘之,減上位為隅法。得明勾■。

草曰:別得二數相減,餘■為通勾、通股及明勾共也。立天元一為明勾。置前數以天元乘之,合以後數除之。不除,便以此■元為通勾也(內寄後數分母)。又以二數相減,得數內又減天元得■為通和也。乃以分母二百八十八之,得下式■,內減通勾,餘■為通股也。又以天元加後數,又以分母(即後數也)通之,得■ 為大差也。以此大差減於通股,得下式■,為一個圓徑也。半之得■,以自之得■為半徑冪(寄左)。然後以半圓徑減通勾,得■為底勾,又以天元乘之,又以分母二百八十八之,得■為同數,與左相消得■。開平方得七十二步,即明勾也。合問。

或問:明股、明弦並二百八十八步,A1勾、A1弦並五十步。又雲明股、A1勾並多於虛弦四十九步。問答同前。

法曰:前二數相並,內減二之多步,即圓徑。又隻以前二數相乘,便是半徑冪。

草曰:識別得前二數相減而半之,即極差也。其多步名傍差,又為圓徑不及極弦數。

或問:平差、高差共一百六十一步,明股、A1勾並多於虛弦四十九步。問答同前。法曰:二數相減又半之,以自乘為實,後數為法。得平勾■。

草曰:立天元一為平勾。以加前數得■為高股也。又以天元加高股得■為極弦,內減後數得■,又半之,得■為半徑。以自之,得■(寄左)。然後以天元乘高股,得■為同數,與左相消得■。上法下實,得六十四步,即平勾也。合問。

或問:平勾、高股差一百六十一步,明差、A1差並七十七步。又雲極弦多於城徑四十九步。問答同前。

法曰:並上二位而半之為平率。其四十九即旁率也。副置平率,上加旁率,下減旁率,以相乘為實。倍旁差為法。得勾圓差■。

法曰:並上二位而半之,為平率。其四十九即旁率也。副置旁率,上以減於平率,下以減於前數,以相乘為實。倍旁差為法。得勾圓差■。

又法:求半徑:副置平率,上加旁率,下減旁率,以相乘為實,倍旁差為法。得半徑。

草曰:立天元一為半徑,又為半之股圓差上弦較較,又為半之勾圓差上弦較和也。內減勾圓差上勾股較■,餘■為半之勾圓差上弦較較也。置股圓差上勾股較 ■,以半之勾圓差上弦較較乘之,得■(寄左)。然後以半之股圓差上弦較較乘勾圓差上勾股較,得■元為同數,與左相消得下式■。上法下實,得一百二十步,即半徑也。合問。

草曰:識別得平勾、高股差名角差。副置角差,上加七十七而半之,得■,即極差也。下減七十七而半之,得■,即虛差也。角差加極差得■,即通差也。又極弦多於城徑步名為旁差。副置角差,上加旁差得■,為兩個高段上勾股較,下減旁差得■為兩個平段上勾股較也。又副置極差,上加旁差得■為股圓差上勾股較,下減旁差■為勾圓差上勾股較也。立天元一為勾圓差。依法求得通差,加入天元得■即大差也。以天元乘之得■為半段圓徑冪(寄左)。乃置大差■內減股圓差上勾股較■,餘有■為股圓差之勾於上。再置天元內加勾圓差上勾股較■,得■為勾圓差之股。以乘上位得■為同數,與左相消得■。上法下實,得八十步,即勾圓差也。

又依前問:見角差一百六十一步,見明差A1差並七十七步,又見太虛弦較較六十步。問答同前。

法曰:前二數相減而半之,得數加入半之太虛弦較較為泛率,以自乘為平實。置一百六十一內減二之泛率為從,一常法。得平勾■。

草曰:別得■即二A1股也。立天元一為平勾。先以前二數相減而半之,得■為虛差。以虛差加A1股得■,即明勾也。以明勾加天元得■,為平弦,以自之得■,內減天元冪,得■為半徑冪(寄左)。然後以天元加一百六十一為高股,以天元乘之,得■為同數,與左相消得■。開平方得六十四步,即平勾也。

又法曰:前數內加半之太虛弦較較,以自乘,內減前數自乘為實,前數內減太虛弦較較為從,一常法。開平方得平勾六十四。此更不用明差A1差並也。

草曰:依前求平勾。前高股內加A1股,得■為高弦也。以自之得■於上位,內減高股冪■,餘得■為半徑冪(寄左)。然後以天元乘高股,得■為同數,與左相消得下■。開平方得六十四步,即平勾也。合問。

或問:高差、平差並一百六十一步,明差、A1差並七十七步。問答同前。

法曰:以前數自乘於上,二數相並而半之,以自乘減上位,得數複自增乘為平實。前數自之於上,又以四之前數乘之,寄位。以前數自之於上,並二數而半之,以自乘減上位,得數又以四之前數乘,又倍之,減於寄位為從。前數自之,又四之於上。又以四之前數為冪,加上位,權寄。以前數為冪於上,並二數而半之,以自乘減上位,得數複八之於上。又以四之前數為冪加入上位,並以減於權寄為常法。得平勾■。

草曰:識別得二位相並而半之,得■,即極差也。立天元一為平勾,加一百六十一得■為高股,高股內又加天元,得■為極弦。以自之得■於上,內減極差冪一萬四千一百六十一,餘■為兩段極積。合以極弦除,不除寄為母,便以此為城徑。以自增乘得■為圓徑冪(內有極弦冪分母。寄左)。然後以天元乘高股,又四之得■,又以分母極弦冪■通之,得■為同數,與左相消得■。開平方得六十四步,即平勾也。合問。

或問:見明和二百七步,A1和四十六步。問答同前。

法曰:二和上下相減,數同則止,名為泛率。又以二和直相減,餘為泛實(此則角差也)。乃以泛率除泛實,所得為差率也。以差率加減泛率,若半訖,與勾股相應者,其泛率便為和率,其泛實便為較率乘和率也。若不相應,則直取差率以消息之,定為相管和率(其勾股數少,得見弦黃而相為率者。勾三股四,則其和七,而其較一也。勾五股十二,則其和一十七,而其較七也。勾八股十五,則其和二十三,而其較亦得七也。勾七股二十四,則其和三十一,而其較一十七也。勾九股四十,則其和四十九,而其較三十一也。此消息之大略也。餘皆仿此)。乃以和率約二和,其明和所得為明壘率,其A1和所得為A1壘率也。又副置和率,上加差率而半之,則為股率也;下位減差率而半之,則為勾率也。既見勾、股及差三率,各以壘率乘之,即各得勾、股及差之真數也。

又法:二雲數相並,以自乘於上。二雲數相乘,又四之以減上位為實。二雲數相並,以六步半乘之於上,又二數相並,以四步半乘之,又四之,以並入上位為從方。以七十步○四分三厘七毫五絲為常法。得A1小差四步。

草曰:以二和相約分得A1率一、明率四步半,其兩數大小差率並同。又別得明小差、A1大差俱為半虛黃也。立天元一為A1小差,以四步半乘之得■為A1大差也,又為明小差,又為半虛黃。置此A1大差又以四步半乘之得■為明大差也。其四差相並得■,減於二和並,得■即兩段太虛大小差並也。內加三段虛黃方■,得■,合成一個太虛三事和,即圓城徑也。以自增乘得■為徑冪(寄左)。乃置A1和加半虛黃,得■為平勾。又置明和內加半虛黃,得■為高股,勾股相乘得下式■,又四之得■為同數,與左相消得下式■。開平方得四步,即A1小差也。合問。

或問:明A1二勾共八十八步,明A1二股共一百六十五步。問答同前。

法曰:先識別得二大差共、二小差共及四差共。乃以二大差、二小差相乘為實,以四差共為法。如法得半之虛黃方一十八。

草曰:先置前後雲數以約法約之,得一十一即壘率也。複各置前後數如壘率而一,前得八即勾率也,後得一十五即股率也。再以勾、股率求得較率七,和率二十三,弦率一十七,黃方率六,大差率九,小差率二。既見諸率,各以壘率乘之,其二和共得■,二較共得■,二弦共得■,二黃共得■,二大差共■,二小差共 ■,四差共■。已上皆為明A1所得之共數也。乃立天元一為半虛黃,便為明小差,又為A1大差也。以減於大差共,得■即明大差也。又以減於小差共,得■即A1小差也。以二數相增乘,得■(寄左)。以天元冪與寄左相消,得■。上法下實,得一十八步,即半之虛黃方也。以倍之得■,又加於二黃共六十六共得一百二,即明勾、A1股共也,又為極黃方,又為虛弦也。又以三十六減於一百八十七,餘一百五十一,即明股A1勾共也。此數內減虛弦,餘■為明A1二差較也,此名旁差。以旁差減二弦共一百八十七,餘得■,即太虛和也。卻加入虛弦一百二,並得■,為太虛三事和,即圓城徑也。合問。

又法:以虛黃方加於二和共二百五十三,得■為極弦也。以旁差減極弦餘二百四十步。亦同。

草曰:前後副置勾、股、較、和、弦、黃六率在地,前以小差率二因之,則勾得■,股得■,較得■,和得■,弦得■,黃得■,即A1段各數也。後以大差率九因之,則勾得■,股得■,較得■,和得■,弦得■,黃得■,即明段各數也。既得明、A1各數,餘皆可知。

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