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测圆海镜/卷10

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○三事和八问

或问:甲乙同立于干隅,乙向东行不知步数而立。甲向南直行,多于乙步,望见乙复就东北斜行,与乙相会。二人共行了一千六百步,又云甲南行不及斜行八十步。问答同前。

法曰:共步内减四之小差,复以自之于上,以十八个小差幂减于上为实。四之共步内减十六个小差于上,却以十八小差加上为益从。四步常法。开平方得中差 ■。

草曰:别得共步为三事和也,不及步即小差也。立天元一为中差,加二之小差得■为大小差并。以加入三事和,得■为三弦也。倍三事得三千二百,内去大小差并,得■为三和也。内减三弦,馀■为三个黄方,以自之得■为九段黄方幂(寄左)。再置天元中差加小差,得■为大差,以小差■乘之得■,为半个黄方幂,就一十八之,得■为同数,与左相消得■。开平方得二百八十步,即中差也。其馀各依法求之,合问。

或问:依前三事和,又云大差三百六十步。问答同前。

法曰:倍云数以云数乘之,又九之于上。倍云数加三事和为前数,倍云数减二之三事和为后数。二数又相减,馀一百六十为泛率。以自乘减上位为平实,十八之云数内又加四之泛率为从,四常法。得中差■。

草曰:立天元一为中差。置云数倍之,内减天元得■为大小差共数,加于三事得■为三弦也。倍三事内减大小差共数,得下式■为三和也。内又减三弦得■ 为三个黄方面也,以自之得■为九段黄方幂(寄左)。再以天元减大差,得下式■为小差。又倍之得■,以云数乘之得下式■。又就分九之,得下式■,与左相消得下式■。开平方得二百八十步,即中差也。合问。

或问:依前见三事和,又云中差二百八十步。问答同前。

法曰:和步加差步,以自乘于上。又和步内减差步,以自乘加上位为平实。四之和步为益从,二步益隅。得大弦■。

草曰:立天元一为大弦,减共步得■为和,副置之。上位减差步,得■为二勾,以自之得■为四段勾幂也。下位加差步得■为二股,以自之得■为四段股幂也。二位相并得■为四段弦幂(寄左)。然后以天元自之,又四之,与左相消得■。开平方得六百八十步,即大弦也。倍之以减于三事和,馀即城径也。合问。

或问:依前见三事和,又云小差大差并四百四十步。问答同前。

法曰:并前后二数,三而一为弦。反以减共步,得数又以减弦,得城径。

草曰:二数相并得■,三而一得■即弦也。以弦减三事和,得■即和也。弦和又相减馀二百四十步,即城径也。合问。

或问:依前见三事和,又云小差、中差、大差共七百二十。问答同前。

法曰:半云数自之,又三之于上。半云数加三事,又自之,以三事幂加五减之,馀以减上位为平实。倍三事于上,半云数而五之,加上位为益从。二常法。得小差八十。

草曰:别得三差共为二大差也。立天元一为小差,并大差加入三事得■为三弦也。以自之,得■为十八积九较幂(寄起)。又以共三事步自之,得■于上。又以天元小差乘大差,倍之得■元加于上为十二积四较幂。又加五,得■为十八个直积六个较幂。以减寄起,馀得■为三个较幂(寄左)。然后以天元小差减大差,得 ■为中差,以自之得■,又三之得下式■。与寄左相消得■。平方而一,得八十步,即小差也。馀各依数求之。合问。

或问:依前见三事和,又云明黄方、A1黄方共六十六。问答同前。

法曰:三事内加二之共步,复以二之共步乘之于上位。三事内减二之共步,复以二之共步乘之,得数减上位为平实。三事内加二之共步,又倍之于上。又六之共步加上位为泛寄。三事内减二之共步,又四之于上。又六之共步减上位,得数以减泛寄为从。作十八段虚隅。平方开之,得虚黄方■。

草曰:别得共步即虚大小差也。立天元一为虚黄方,以三之加入倍之共步,得■为圆径也。以圆径加三事得■为二通和,以圆径减三事得■为二通弦。又副置圆径,上加天元得■为二虚和,下减天元得■为二虚弦。乃置二大和以二小弦乘之,得下■(寄左)。然后置二大弦以二小和乘之得下式■,与左相消得■。开平方得三十六步,即虚黄方也。其馀各依法求之。合问。

或问:依前见三事和,又云皇极弦二百八十九步。问答同前。法曰:二数相乘为实,从空,一益隅。得大弦■。

草曰:立天元一为通弦,内减皇弦,馀■为皇极勾股和,以自之得■于上。以皇极弦幂减上位,得■为二直积,合以皇弦除之。不除,寄为母,便以此为城径(寄左)。乃以二之天元弦减共步,得■为黄方面,以皇弦通之,得■,与左相消得■。开平方得六百八十步,即大弦也。合问。

或问:依前见三事和,又云见太虚弦一百二步。问答同前。

法曰:半虚弦乘三事为实,三事为从,四虚隅。翻开之,得半大弦■。

草曰:识别得以虚弦减大弦,半之为皇极弦;以虚弦加大弦,半之为皇极勾股共也。立天元一为半大弦。以二之内减虚弦,得■,折半得■为皇极弦也。又以虚弦加大弦而半之,得■为皇极和也。和自之得■于上。又以弦自之得■,减上位,馀得下■元为二直积。合以皇极弦除之。不除,寄为分母,便以此为城径(寄左)。然后以四之天元减三事共,馀■,又以皇极弦分母通之,得■为同数,与左相消得■。倒积开得三百四十步,倍之即大弦也。合问。

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