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測圓海鏡/卷10

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○三事和八問

或問:甲乙同立於乾隅,乙向東行不知步數而立。甲向南直行,多於乙步,望見乙複就東北斜行,與乙相會。二人共行了一千六百步,又雲甲南行不及斜行八十步。問答同前。

法曰:共步內減四之小差,複以自之於上,以十八個小差冪減於上為實。四之共步內減十六個小差於上,卻以十八小差加上為益從。四步常法。開平方得中差 ■。

草曰:別得共步為三事和也,不及步即小差也。立天元一為中差,加二之小差得■為大小差並。以加入三事和,得■為三弦也。倍三事得三千二百,內去大小差並,得■為三和也。內減三弦,餘■為三個黃方,以自之得■為九段黃方冪(寄左)。再置天元中差加小差,得■為大差,以小差■乘之得■,為半個黃方冪,就一十八之,得■為同數,與左相消得■。開平方得二百八十步,即中差也。其餘各依法求之,合問。

或問:依前三事和,又雲大差三百六十步。問答同前。

法曰:倍雲數以雲數乘之,又九之於上。倍雲數加三事和為前數,倍雲數減二之三事和為後數。二數又相減,餘一百六十為泛率。以自乘減上位為平實,十八之雲數內又加四之泛率為從,四常法。得中差■。

草曰:立天元一為中差。置雲數倍之,內減天元得■為大小差共數,加於三事得■為三弦也。倍三事內減大小差共數,得下式■為三和也。內又減三弦得■ 為三個黃方麵也,以自之得■為九段黃方冪(寄左)。再以天元減大差,得下式■為小差。又倍之得■,以雲數乘之得下式■。又就分九之,得下式■,與左相消得下式■。開平方得二百八十步,即中差也。合問。

或問:依前見三事和,又雲中差二百八十步。問答同前。

法曰:和步加差步,以自乘於上。又和步內減差步,以自乘加上位為平實。四之和步為益從,二步益隅。得大弦■。

草曰:立天元一為大弦,減共步得■為和,副置之。上位減差步,得■為二勾,以自之得■為四段勾冪也。下位加差步得■為二股,以自之得■為四段股冪也。二位相並得■為四段弦冪(寄左)。然後以天元自之,又四之,與左相消得■。開平方得六百八十步,即大弦也。倍之以減於三事和,餘即城徑也。合問。

或問:依前見三事和,又雲小差大差並四百四十步。問答同前。

法曰:並前後二數,三而一為弦。反以減共步,得數又以減弦,得城徑。

草曰:二數相並得■,三而一得■即弦也。以弦減三事和,得■即和也。弦和又相減餘二百四十步,即城徑也。合問。

或問:依前見三事和,又雲小差、中差、大差共七百二十。問答同前。

法曰:半雲數自之,又三之於上。半雲數加三事,又自之,以三事冪加五減之,餘以減上位為平實。倍三事於上,半雲數而五之,加上位為益從。二常法。得小差八十。

草曰:別得三差共為二大差也。立天元一為小差,並大差加入三事得■為三弦也。以自之,得■為十八積九較冪(寄起)。又以共三事步自之,得■於上。又以天元小差乘大差,倍之得■元加於上為十二積四較冪。又加五,得■為十八個直積六個較冪。以減寄起,餘得■為三個較冪(寄左)。然後以天元小差減大差,得 ■為中差,以自之得■,又三之得下式■。與寄左相消得■。平方而一,得八十步,即小差也。餘各依數求之。合問。

或問:依前見三事和,又雲明黃方、A1黃方共六十六。問答同前。

法曰:三事內加二之共步,複以二之共步乘之於上位。三事內減二之共步,複以二之共步乘之,得數減上位為平實。三事內加二之共步,又倍之於上。又六之共步加上位為泛寄。三事內減二之共步,又四之於上。又六之共步減上位,得數以減泛寄為從。作十八段虛隅。平方開之,得虛黃方■。

草曰:別得共步即虛大小差也。立天元一為虛黃方,以三之加入倍之共步,得■為圓徑也。以圓徑加三事得■為二通和,以圓徑減三事得■為二通弦。又副置圓徑,上加天元得■為二虛和,下減天元得■為二虛弦。乃置二大和以二小弦乘之,得下■(寄左)。然後置二大弦以二小和乘之得下式■,與左相消得■。開平方得三十六步,即虛黃方也。其餘各依法求之。合問。

或問:依前見三事和,又雲皇極弦二百八十九步。問答同前。法曰:二數相乘為實,從空,一益隅。得大弦■。

草曰:立天元一為通弦,內減皇弦,餘■為皇極勾股和,以自之得■於上。以皇極弦冪減上位,得■為二直積,合以皇弦除之。不除,寄為母,便以此為城徑(寄左)。乃以二之天元弦減共步,得■為黃方麵,以皇弦通之,得■,與左相消得■。開平方得六百八十步,即大弦也。合問。

或問:依前見三事和,又雲見太虛弦一百二步。問答同前。

法曰:半虛弦乘三事為實,三事為從,四虛隅。翻開之,得半大弦■。

草曰:識別得以虛弦減大弦,半之為皇極弦;以虛弦加大弦,半之為皇極勾股共也。立天元一為半大弦。以二之內減虛弦,得■,折半得■為皇極弦也。又以虛弦加大弦而半之,得■為皇極和也。和自之得■於上。又以弦自之得■,減上位,餘得下■元為二直積。合以皇極弦除之。不除,寄為分母,便以此為城徑(寄左)。然後以四之天元減三事共,餘■,又以皇極弦分母通之,得■為同數,與左相消得■。倒積開得三百四十步,倍之即大弦也。合問。

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