测圆海镜/卷12

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► 序跋

○之分一十四问

或问：甲乙二人俱在西北隅，乙向东直行，不知步数而止。甲向南直行，望见乙，复向乙斜行。甲告乙云：“我直行斜行共一千二百八十步，汝东行步居我南行步十五分之八。”

法曰：十六之共步幂为实。二百五十七之共步为益从，一十六步常法。得勾圆差■。

草曰：别得共步即股弦共也。立天元一为小差。以乘共步为勾幂，就分以二百二十五通之，得■元为二百二十五段勾幂（寄左）。然后再置共步，内减小差得 ■为二股，就分四之，得■为一十五勾，以自之得■为同数，与左相消得■。平方开之得八十步，即小差也。既得小差，加共步而半之，得六百八十步即弦也。若以减共步而半之，得六百步即股也。以股幂减弦幂，馀一十万二千四百步，开平方得三百二十步，即勾也。勾股相乘，倍之得三十八万四千步为实，以弦和和一千六百步为法，实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。

或问：甲乙二人俱在西北隅，乙直南行不知步数而立。甲直东行望见乙，复向乙斜行，与乙相会。甲云：“我共行了一千步。”又云：“我东行步居汝南行步十五分之八。”

法曰：二百二十五段共步幂为实，七百六之共步为益从。二百二十五步常法。得股圆差■。

草曰：别得共步即勾弦共也。立天元一为大差。以乘共步得■元，又就分以二百五十六通之，得■元为二百五十六个股幂（寄左）。然后再置共步，内减天元大差得■为二勾，就分以一十五之，得■为十六个股也。以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三百六十步，即大差也。副置共步，上位减大差而半之，得三百二十步，即勾也。下位加大差而半之，得六百八十步，即弦也。馀数各以法求之，合问。

或问：甲乙俱在西北隅，甲南行不知步数而立。乙东行亦不知步数，望见甲，就甲斜行，与之相会。乙云：“我东行步少于城周九分之五。”甲云：“我南行却多于汝东行二百八十步。”问答同前。

法曰：别得周居九分，径居三分，乙东行居四分。

草曰：立天元一为一分之数，以三之得鋋元为径。以四之得■元为勾。以径减勾，馀■元为小差（只天元便是小差）。再置小差加入甲多步，得■为大差。倍大差以天元乘之，得■为一段圆径幂（寄左）。再置城径以自之得下式■为同数，与左相消得■。上法下实，得八十步，即一分之数也。以三之得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲出西门南行，不知步数而立。乙出北门东行，望见甲，既而乙云：“我所行居城径六分之五。”甲云：“然则，我所行却多于汝二百八十步。”问答同前。

法曰：四之却多步为实。分母自之于上。半分母减子，得数倍之，又以减数乘之减上位为法。得一分之数■。

草曰：别得却多步即勾股差也。乃立天元一为一分之数以六之为城径，以五之为乙行。置乙行内减半城径，得■元为小差也。又加入却多步得■，又二之得 ■为二大差。又以小差乘之，得■为径幂（寄左），然后以径幂■与左相消得下■。上法下实，得四十步，即一分之数也。六之则为城径，五之则为乙行，又以却多步加乙行即甲行步也。合问。

或问：甲丙二人俱在西北隅，甲向东行不知步数而立。丙向南行望见甲，与之相会。丙语甲云：“我行既多于汝，又城径少于我为四十分之十六。”甲云： “然则，吾二人共行了九百二十步。”问答同前。

法曰：倍子减倍母，以乘共行步为实。倍子减倍母，以乘子母并数于上，又以子幂加上位为法。如法得一十五步，即一分之数也。

草曰：别得共行步即通和也。又别得四十分之十六，或作二十分之八，或作十分之四亦得。但所得之分数不同耳。乃立天元一为一分之数以十六之为城径，以四十之为丙行。以丙行减和步，得■为通勾，勾内减径馀得■为小差于上。以分母分子相减馀■元，又倍之得■元为两个大差。以乘上位得■为圆径幂（寄左）。然后以分子十六分自之，得下■，与左相消得■。上法下实，得一十五步，即一分之数也。以十六之得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲乙俱立于城中心，乙出东门直行，不知步数而立。甲出南门直行，亦不知步数，望见乙，向乙斜行，与之相会。乙云：“我行居汝南行十五分之八。”又云：“斜行步内若减甲直行，馀三十四步，若减乙直行馀一百五十三步。”问答同前。

法曰：以云数二减步为小差、大差，以相乘，倍之，开平方加入大小差并，以自之于上。又以大小差相较数，以自之减上位为实。甲行分、乙行分相乘，又倍之为隅法。得一分之剩粒豹枿。

草曰：别得云步相并得一百八十七，是于皇极弦内少一个皇极黄方面也。又别得三十四步是个小勾圆差，其一百五十三步是一个小股圆差。此二差又相减，馀一百一十九即中差也。乃立天元一为一分之数。以八之得■元为乙东行数，以十五之得■元为甲南行数，以二数相乘又倍之，得■为二直积于上（寄左）。然后以云步三十四乘一百五十三，得五千二百二，又倍之得一万四百四为平方实。开之得一百二步即小黄方也。加入相并数一百八十七得二百八十九为小弦也。以自之得八万三千五百二十一为弦幂于上。以中差幂一万四千一百六十一减上位，馀■，与左相消得■。平方开之得一十七步，即一分之数也。副置一分之数，上位以八之得一百三十六，即乙东行也；下位以十五之得二百五十五，即甲南行也。二位相乘得三万四千六百八十，又倍之得六万九千三百六十为实。以弦二百八十九为法，如法得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲出西门南行，乙出北门东行，各不知远近。两相望见，复相向斜行，各行了三百四十步相会。甲云：“城径居我南行二分之一。”乙云：“我东行居城径六分之五。”问答同前。

法曰：以二之斜行步，自之为实。以各行分数加半城径分，自之为幂，又相并为隅法。开平方得一分之数■。

草曰：别得倍斜行为大弦。又别得乙行五分，城径六分，甲行十二分。乃立天元一为一分之数以六之为城径，以五之为乙行分，以十二之为甲行分。乃副置半城径，上位加甲行步得一十五，以自之得二百二十五为大股幂。下位加乙行步得八，以自之得六十四为大勾幂。二幂又相并，得为大弦幂（寄左）。然后置大弦六百八十步，以自之得■太，与左相消，得■。平方开之，得四十步，即一分之数也。以六之得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲出西门南行，不知步数而立。乙出北门东行见之，乙斜行与甲相会。甲乙二人共行了一千三百六十步，其甲南行居斜十七分之十二，其乙东行居斜十七分之五。问答同前。

法曰：别得共步即二弦也，半共步得六百八十步，副置之。上位以五之，得三千四百，以十七而一，得二百步即乙东行也。下位以十二之，得八千一百六十，以十七而一，得四百八十即甲南行也。二行相减馀二百八十即勾股差也。其馀各依数求之。合问。

或问：甲出西门南行，不知步数而立。乙出北门东行望见之。既而乙谓甲云：“我取汝六分之五得六百步。”甲谓乙云：“我取汝五分之三，亦得六百步。” 问答同前。

法曰：如法求得各行步，相并以自之于上。并甲南行幂、乙东行幂以减上为实，并各行为从。半步常法。得全径。

草曰：置■。以上六分、五分各自直乘步数讫，得■。别得右行三千六百步为六乙行，五甲行也，左行三千步为五甲行、三乙行也。以方程法入之。乃再置 ■。先以左行直减右行，右上空，中馀三乙行，下馀六百步。上法下实，得二百步即乙行也。却以今右行减于元左行，上馀五甲行，中空，下馀二千四百步。上法下实，得四百八十步即甲行也。既得此数，乃立天元一为城径。以半之，副置二位。上以加甲行得■为通股，以自之得■为大股幂。下位加乙行得■为通勾，以自之得 ■为大勾幂。二幂相并得■为大弦幂（寄左）。乃并甲行、乙行，以自乘得下式■，亦为大弦幂，与左相消得下■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。

或问：甲从坤隅南行，不知步数而立。乙从艮隅东行，望见之。既而乙谓甲云：“我所行取汝所行三分之一得二百步。”甲谓乙云：“我所行内减汝所行四分之三得三百步。”问答同前。

法曰：如法求得各行步，以相乘，又二之。开平方得全径。

草曰：置■。以上三分、四分直乘步数讫，得■。别得右行六百步为三乙行一甲行也，左行一千二百步为四甲行内少三之乙行步也。以方程法入之。

乃再置■。先以左行直加右行，右上得五甲行，中空，下一千八百步。上法下实，得三百六十步，即甲行也。次以一甲行减元右行六百步，馀二百四十步，以中三除之得八十步，即乙行步也。甲行、乙行二数相乘，得数又倍之。开平方，即城径也。合问。

或问：股圆差如股五分之三，勾圆差如勾四分之一。又云其大小差相减馀二百八十步。问答同前。

法曰：二之中差为实。置股子以勾母乘之，内减股母为法。得小差■。

草曰：别得勾圆差即小差，股圆差即大差，云步即中差。乃立天元一为小差。以四之为勾，勾上加中差得■为股，又三之，得■为五个大差也。内减五之天元，得■为五个中差也（寄左）。乃以五之相减步■与左相消，得■。上法下实，得八十步，即小差也。合问。

或问：股圆差如股五分之三，勾圆差如勾四分之一。又云勾母每分少于股母每分四十步。问答同前。

法曰：二之少步为实，以股子母相减数减勾子母相减数为法。如法得小差■。

草曰：立天元一为勾圆差，便为勾母每分数以天元加四十步得■为股母每分数于上。乃以股子减股母，馀二分，以乘上位，得■为城径（寄左）。再置天元在地，以勾子减勾母馀三分，以乘之，得■为同数，与左相消得下■。上法下实，得八十步，即勾圆差也。合问。

或问：甲出南门直行，乙出东门直行望见甲，斜行与甲相会。甲云：“我行不及股圆差二十四分之十五。”乙云：“我行不及勾圆差五分之四。”又云甲行多于乙行一百一十九，股圆差多于勾圆差二百八十。问答同前。

法曰：以大差母分二十四以乘甲多步一百一十九，得数倍小差母五，得一十，以乘之于上。以小差母五乘二之二差相较数，又九之，减上位为实。倍小差母得一十，却以小差乘之，又九之于上。倍甲分母以小差母乘之，得数减上位以为法。得一分之数一■。

草曰：立天元一以为小差一分之数（此一分之数便是乙直行也）。以五之，得■为小差，加二百八十得下■为大差，又倍之得■，以小差乘之得下式■，为一个圆径幂，又九之得■（寄左）。乃又置乙行步加一百一十九，得■即甲行步也。以二十四之，得■为九个大差也。倍小差母得一十以乘之，得■为同数，与左相消得■。上法下实，得一十六步，即小差一分之数也。既得此数，馀各如法求之。合问。

或问：大勾、大股、大弦三事和一千六百步，以明勾除大股得八步三分之一，以Ａ１股除大勾得一十步三分之二，以虚勾、明勾相减馀二十四步，以虚股、Ａ１股相减馀六十步。问答同前。

法曰：倍六十步加入大三事和，又三之二而一为实。并二云数分子内减六步为法。如法得Ａ１股三十。

草曰：别得六十步与二十四步二数相并而半之，得掞泬即明勾、Ａ１股差也，又为虚勾、虚股差也。若以二数直相减即虚黄方也。其二十四步得二虚勾即半径也，其六十步得二Ａ１股亦为半径也。立天元一为Ａ１股，加差步得■为明勾也，以乘八步三分之一得■为大股也。以天元乘一十步三分之二得■元为大勾也。勾股相并得下■为大和也（寄左）。然后四之天元加入二之六十步，得■为小三事和。以小三事和加入大三事和为二个大和也。合折半为大和。又就分三之为前数，今不折半三因，但身外加五得■，为同数，与左相消得■。上法下实，得三十步，即Ａ１股也。四之Ａ１股加入二之六十步，得二百四十步，即城径也。合问。