測圓海鏡/卷12

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測圓海鏡 卷十二

► 序跋

○之分一十四問

或問：甲乙二人俱在西北隅，乙向東直行，不知步數而止。甲向南直行，望見乙，複向乙斜行。甲告乙雲：「我直行斜行共一千二百八十步，汝東行步居我南行步十五分之八。」

法曰：十六之共步冪為實。二百五十七之共步為益從，一十六步常法。得勾圓差■。

草曰：別得共步即股弦共也。立天元一為小差。以乘共步為勾冪，就分以二百二十五通之，得■元為二百二十五段勾冪（寄左）。然後再置共步，內減小差得 ■為二股，就分四之，得■為一十五勾，以自之得■為同數，與左相消得■。平方開之得八十步，即小差也。既得小差，加共步而半之，得六百八十步即弦也。若以減共步而半之，得六百步即股也。以股冪減弦冪，餘一十萬二千四百步，開平方得三百二十步，即勾也。勾股相乘，倍之得三十八萬四千步為實，以弦和和一千六百步為法，實如法而一，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：甲乙二人俱在西北隅，乙直南行不知步數而立。甲直東行望見乙，複向乙斜行，與乙相會。甲雲：「我共行了一千步。」又雲：「我東行步居汝南行步十五分之八。」

法曰：二百二十五段共步冪為實，七百六之共步為益從。二百二十五步常法。得股圓差■。

草曰：別得共步即勾弦共也。立天元一為大差。以乘共步得■元，又就分以二百五十六通之，得■元為二百五十六個股冪（寄左）。然後再置共步，內減天元大差得■為二勾，就分以一十五之，得■為十六個股也。以自之得■為同數，與左相消得■。開平方得三百六十步，即大差也。副置共步，上位減大差而半之，得三百二十步，即勾也。下位加大差而半之，得六百八十步，即弦也。餘數各以法求之，合問。

或問：甲乙俱在西北隅，甲南行不知步數而立。乙東行亦不知步數，望見甲，就甲斜行，與之相會。乙雲：「我東行步少於城周九分之五。」甲雲：「我南行卻多於汝東行二百八十步。」問答同前。

法曰：別得周居九分，徑居三分，乙東行居四分。

草曰：立天元一為一分之數，以三之得鋋元為徑。以四之得■元為勾。以徑減勾，餘■元為小差（隻天元便是小差）。再置小差加入甲多步，得■為大差。倍大差以天元乘之，得■為一段圓徑冪（寄左）。再置城徑以自之得下式■為同數，與左相消得■。上法下實，得八十步，即一分之數也。以三之得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲出西門南行，不知步數而立。乙出北門東行，望見甲，既而乙雲：「我所行居城徑六分之五。」甲雲：「然則，我所行卻多於汝二百八十步。」問答同前。

法曰：四之卻多步為實。分母自之於上。半分母減子，得數倍之，又以減數乘之減上位為法。得一分之數■。

草曰：別得卻多步即勾股差也。乃立天元一為一分之數以六之為城徑，以五之為乙行。置乙行內減半城徑，得■元為小差也。又加入卻多步得■，又二之得 ■為二大差。又以小差乘之，得■為徑冪（寄左），然後以徑冪■與左相消得下■。上法下實，得四十步，即一分之數也。六之則為城徑，五之則為乙行，又以卻多步加乙行即甲行步也。合問。

或問：甲丙二人俱在西北隅，甲向東行不知步數而立。丙向南行望見甲，與之相會。丙語甲雲：「我行既多於汝，又城徑少於我為四十分之十六。」甲雲： 「然則，吾二人共行了九百二十步。」問答同前。

法曰：倍子減倍母，以乘共行步為實。倍子減倍母，以乘子母並數於上，又以子冪加上位為法。如法得一十五步，即一分之數也。

草曰：別得共行步即通和也。又別得四十分之十六，或作二十分之八，或作十分之四亦得。但所得之分數不同耳。乃立天元一為一分之數以十六之為城徑，以四十之為丙行。以丙行減和步，得■為通勾，勾內減徑餘得■為小差於上。以分母分子相減餘■元，又倍之得■元為兩個大差。以乘上位得■為圓徑冪（寄左）。然後以分子十六分自之，得下■，與左相消得■。上法下實，得一十五步，即一分之數也。以十六之得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲乙俱立於城中心，乙出東門直行，不知步數而立。甲出南門直行，亦不知步數，望見乙，向乙斜行，與之相會。乙雲：「我行居汝南行十五分之八。」又雲：「斜行步內若減甲直行，餘三十四步，若減乙直行餘一百五十三步。」問答同前。

法曰：以雲數二減步為小差、大差，以相乘，倍之，開平方加入大小差並，以自之於上。又以大小差相較數，以自之減上位為實。甲行分、乙行分相乘，又倍之為隅法。得一分之剩粒豹枿。

草曰：別得雲步相並得一百八十七，是於皇極弦內少一個皇極黃方麵也。又別得三十四步是個小勾圓差，其一百五十三步是一個小股圓差。此二差又相減，餘一百一十九即中差也。乃立天元一為一分之數。以八之得■元為乙東行數，以十五之得■元為甲南行數，以二數相乘又倍之，得■為二直積於上（寄左）。然後以雲步三十四乘一百五十三，得五千二百二，又倍之得一萬四百四為平方實。開之得一百二步即小黃方也。加入相並數一百八十七得二百八十九為小弦也。以自之得八萬三千五百二十一為弦冪於上。以中差冪一萬四千一百六十一減上位，餘■，與左相消得■。平方開之得一十七步，即一分之數也。副置一分之數，上位以八之得一百三十六，即乙東行也；下位以十五之得二百五十五，即甲南行也。二位相乘得三萬四千六百八十，又倍之得六萬九千三百六十為實。以弦二百八十九為法，如法得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲出西門南行，乙出北門東行，各不知遠近。兩相望見，複相向斜行，各行了三百四十步相會。甲雲：「城徑居我南行二分之一。」乙雲：「我東行居城徑六分之五。」問答同前。

法曰：以二之斜行步，自之為實。以各行分數加半城徑分，自之為冪，又相並為隅法。開平方得一分之數■。

草曰：別得倍斜行為大弦。又別得乙行五分，城徑六分，甲行十二分。乃立天元一為一分之數以六之為城徑，以五之為乙行分，以十二之為甲行分。乃副置半城徑，上位加甲行步得一十五，以自之得二百二十五為大股冪。下位加乙行步得八，以自之得六十四為大勾冪。二冪又相並，得為大弦冪（寄左）。然後置大弦六百八十步，以自之得■太，與左相消，得■。平方開之，得四十步，即一分之數也。以六之得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲出西門南行，不知步數而立。乙出北門東行見之，乙斜行與甲相會。甲乙二人共行了一千三百六十步，其甲南行居斜十七分之十二，其乙東行居斜十七分之五。問答同前。

法曰：別得共步即二弦也，半共步得六百八十步，副置之。上位以五之，得三千四百，以十七而一，得二百步即乙東行也。下位以十二之，得八千一百六十，以十七而一，得四百八十即甲南行也。二行相減餘二百八十即勾股差也。其餘各依數求之。合問。

或問：甲出西門南行，不知步數而立。乙出北門東行望見之。既而乙謂甲雲：「我取汝六分之五得六百步。」甲謂乙雲：「我取汝五分之三，亦得六百步。」 問答同前。

法曰：如法求得各行步，相並以自之於上。並甲南行冪、乙東行冪以減上為實，並各行為從。半步常法。得全徑。

草曰：置■。以上六分、五分各自直乘步數訖，得■。別得右行三千六百步為六乙行，五甲行也，左行三千步為五甲行、三乙行也。以方程法入之。乃再置 ■。先以左行直減右行，右上空，中餘三乙行，下餘六百步。上法下實，得二百步即乙行也。卻以今右行減於元左行，上餘五甲行，中空，下餘二千四百步。上法下實，得四百八十步即甲行也。既得此數，乃立天元一為城徑。以半之，副置二位。上以加甲行得■為通股，以自之得■為大股冪。下位加乙行得■為通勾，以自之得 ■為大勾冪。二冪相並得■為大弦冪（寄左）。乃並甲行、乙行，以自乘得下式■，亦為大弦冪，與左相消得下■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲從坤隅南行，不知步數而立。乙從艮隅東行，望見之。既而乙謂甲雲：「我所行取汝所行三分之一得二百步。」甲謂乙雲：「我所行內減汝所行四分之三得三百步。」問答同前。

法曰：如法求得各行步，以相乘，又二之。開平方得全徑。

草曰：置■。以上三分、四分直乘步數訖，得■。別得右行六百步為三乙行一甲行也，左行一千二百步為四甲行內少三之乙行步也。以方程法入之。

乃再置■。先以左行直加右行，右上得五甲行，中空，下一千八百步。上法下實，得三百六十步，即甲行也。次以一甲行減元右行六百步，餘二百四十步，以中三除之得八十步，即乙行步也。甲行、乙行二數相乘，得數又倍之。開平方，即城徑也。合問。

或問：股圓差如股五分之三，勾圓差如勾四分之一。又雲其大小差相減餘二百八十步。問答同前。

法曰：二之中差為實。置股子以勾母乘之，內減股母為法。得小差■。

草曰：別得勾圓差即小差，股圓差即大差，雲步即中差。乃立天元一為小差。以四之為勾，勾上加中差得■為股，又三之，得■為五個大差也。內減五之天元，得■為五個中差也（寄左）。乃以五之相減步■與左相消，得■。上法下實，得八十步，即小差也。合問。

或問：股圓差如股五分之三，勾圓差如勾四分之一。又雲勾母每分少於股母每分四十步。問答同前。

法曰：二之少步為實，以股子母相減數減勾子母相減數為法。如法得小差■。

草曰：立天元一為勾圓差，便為勾母每分數以天元加四十步得■為股母每分數於上。乃以股子減股母，餘二分，以乘上位，得■為城徑（寄左）。再置天元在地，以勾子減勾母餘三分，以乘之，得■為同數，與左相消得下■。上法下實，得八十步，即勾圓差也。合問。

或問：甲出南門直行，乙出東門直行望見甲，斜行與甲相會。甲雲：「我行不及股圓差二十四分之十五。」乙雲：「我行不及勾圓差五分之四。」又雲甲行多於乙行一百一十九，股圓差多於勾圓差二百八十。問答同前。

法曰：以大差母分二十四以乘甲多步一百一十九，得數倍小差母五，得一十，以乘之於上。以小差母五乘二之二差相較數，又九之，減上位為實。倍小差母得一十，卻以小差乘之，又九之於上。倍甲分母以小差母乘之，得數減上位以為法。得一分之數一■。

草曰：立天元一以為小差一分之數（此一分之數便是乙直行也）。以五之，得■為小差，加二百八十得下■為大差，又倍之得■，以小差乘之得下式■，為一個圓徑冪，又九之得■（寄左）。乃又置乙行步加一百一十九，得■即甲行步也。以二十四之，得■為九個大差也。倍小差母得一十以乘之，得■為同數，與左相消得■。上法下實，得一十六步，即小差一分之數也。既得此數，餘各如法求之。合問。

或問：大勾、大股、大弦三事和一千六百步，以明勾除大股得八步三分之一，以Ａ１股除大勾得一十步三分之二，以虛勾、明勾相減餘二十四步，以虛股、Ａ１股相減餘六十步。問答同前。

法曰：倍六十步加入大三事和，又三之二而一為實。並二雲數分子內減六步為法。如法得Ａ１股三十。

草曰：別得六十步與二十四步二數相並而半之，得掞泬即明勾、Ａ１股差也，又為虛勾、虛股差也。若以二數直相減即虛黃方也。其二十四步得二虛勾即半徑也，其六十步得二Ａ１股亦為半徑也。立天元一為Ａ１股，加差步得■為明勾也，以乘八步三分之一得■為大股也。以天元乘一十步三分之二得■元為大勾也。勾股相並得下■為大和也（寄左）。然後四之天元加入二之六十步，得■為小三事和。以小三事和加入大三事和為二個大和也。合折半為大和。又就分三之為前數，今不折半三因，但身外加五得■，為同數，與左相消得■。上法下實，得三十步，即Ａ１股也。四之Ａ１股加入二之六十步，得二百四十步，即城徑也。合問。