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,其中
对戴芊问题的回答:函数f(x)=sin(kx)cos(jx)的周期
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(原手稿有不严谨处)
显然
令,,则有
∵sin(x)的周期为,∴与皆为的整数倍,即
情况一:若,则. 又由于T为最小正周期,。故
情况二:若,
1) 若为非周期函数
2) 若,不妨令,,
则
易知
3) 若为周期函数。将换元,即可如情况2处理。
首先要明白这样一个出题的逻辑:命题者肯定是先列出一个不那么复杂的数列关系(譬如某多项式倒数呈等差数列),然后将其进行处理,使其变得复杂。因此,我们宜从结果开始,倒推出这一方法适用的题型。
为等差数列……①
……②
……③
令,,,。则显然①适用于形如的递推关系。由于将x同时带入③中的,左右相等恒成立,也就证明了不动点法求解的正确性。
解:令,注意到时,,故.
,即
解:令,则时,
故.
解: 不妨设, 则有:
解得, , , 所以
解: 注意到是周期为1的函数,且在上为.
故
解:令,则. 又为偶函数
令,由于,故
考虑积分的递推公式为:
代入得:
等差数列,记,数列满足,,当时,, 且成等比数列,
(1) 求,的通项公式
(2) 求证:
(3) 将数列,的项按照以下规律交叉排列:当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面,得到一个新数列:,记,求表达式.
解:(1) ,,又为等差数列,故,则.
由于成等比数列,得:,又因为,因此整理得. 检验符合,即
(2) . 因为,所以,证毕.
(3) 不妨先罗列出数列的前12项:
注意到中的项可以每四个一组进行划分:
因此分情况讨论如下:
1) 当时,记
此时的倒数第二组与最后一个数为:
2) 当时,记
此时的倒数第二组与最后两个数为:
3) 当时,记
此时的倒数第二组与最后三个数为:
4) 当时,记
此时的倒数第二组与最后一组为:
所以综上,得:
椭圆的离心率为,过点作椭圆的两条切线相互垂直.
(1) 求椭圆的方程
(2) 在椭圆上是否存在点:过点引抛物线的两条切线,切点分别为,且直线过点?若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
解:(1) 由题,. 由于两切线关于轴对称且互相垂直,故斜率为. 取,与椭圆方程联立:
故,即
(2) 显然,直接设点坐标将会十分麻烦. 不妨设,与抛物线交点为,切线的斜率分别为. 联立两方程:
由于. 同理. 联立方程
故得. 根据题意,,故代入得:,解得. 故点有两个,分别为与