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,其中
对戴芊问题的回答:函数f(x)=sin(kx)cos(jx)的周期
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2018年1月17日手稿(已与戴)
(原手稿有不严谨处)
显然
令
,
,则有
∵sin(x)的周期为
,∴
与
皆为
的整数倍,即
情况一:若
,则
. 又由于T为最小正周期,
。故
情况二:若
,
1) 若
为非周期函数
2) 若
,不妨令
,
,
则
易知
3) 若
为周期函数。将
换元,即可如情况2处理。
首先要明白这样一个出题的逻辑:命题者肯定是先列出一个不那么复杂的数列关系(譬如某多项式倒数呈等差数列),然后将其进行处理,使其变得复杂。因此,我们宜从结果开始,倒推出这一方法适用的题型。
为等差数列……①
……②
……③
令
,
,
,
。则显然①适用于形如
的递推关系。由于将x同时带入③中的
,左右相等恒成立,也就证明了不动点法求解的正确性。
解:令
,注意到
时,
,故
.
,即
解:令
,则
时,
故
.
解: 不妨设
, 则有:
解得
,
,
, 所以
解: 注意到
是周期为1的函数,且在
上为
.
故
解:令
,则
. 又
为偶函数
令
,由于
,故
考虑积分
的递推公式为:
代入得:
等差数列
,记
,数列
满足
,
,当
时,
, 且
成等比数列,
(1) 求
,
的通项公式
(2) 求证:
(3) 将数列
,
的项按照以下规律交叉排列:当
为奇数时,
放在前面;当
为偶数时,
放在前面,得到一个新数列
:
,记
,求
表达式.
解:(1)
,
,又
为等差数列,故
,则
.
由于
成等比数列,得:
,又因为
,因此整理得
. 检验
符合,即
(2)
. 因为
,所以
,证毕.
(3) 不妨先罗列出数列
的前12项:
注意到
中的项可以每四个一组进行划分:
因此分情况讨论如下:
1) 当
时,记
此时
的倒数第二组与最后一个数为:
2) 当
时,记
此时
的倒数第二组与最后两个数为:
3) 当
时,记
此时
的倒数第二组与最后三个数为:
4) 当
时,记
此时
的倒数第二组与最后一组为:
所以综上,得:
![{\displaystyle T_{n}={\begin{cases}\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2n+3}}\right)&\qquad n\equiv 1{\pmod {4}}\\\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2n+5}}\right)&\qquad n\equiv 2{\pmod {4}}\\\left({\frac {n-1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2n+7}}\right)&\qquad n\equiv 3{\pmod {4}}\\\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2n+5}}\right)&\qquad n\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375073f2a2fb2b6fb860eec337e71a70eb4e959b)
椭圆
的离心率为
,过点
作椭圆
的两条切线相互垂直.
(1) 求椭圆
的方程
(2) 在椭圆
上是否存在点
:过点
引抛物线
的两条切线
,切点分别为
,且直线
过点
?若存在,指出这样的点
有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
解:(1) 由题,
. 由于两切线关于
轴对称且互相垂直,故斜率为
. 取
,与椭圆方程联立:
故
,即
(2) 显然,直接设点
坐标将会十分麻烦. 不妨设
,与抛物线交点为
,切线
的斜率分别为
. 联立两方程:
由于
. 同理
. 联立
方程
故得
. 根据题意,
,故代入得:
,解得
. 故点
有两个,分别为
与