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使用者:反殷芳

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由於眾所周知的原因,維基百科被查了水錶,所以暫居這裡。

一些反正也記不住不過可以自行推導的公式

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,其中

對戴芊問題的回答:函數f(x)=sin(kx)cos(jx)的周期

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2018年1月17日手稿(已與戴)

(原手稿有不嚴謹處)

顯然

,則有

∵sin(x)的周期為,∴皆為的整數倍,即

情況一:若,則. 又由於T為最小正周期,。故

情況二:若

1) 若為非周期函數

2) 若,不妨令

易知

3) 若為周期函數。將換元,即可如情況2處理。

對戴芊問題的回答:數列通項的不動點求法

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首先要明白這樣一個出題的邏輯:命題者肯定是先列出一個不那麼複雜的數列關係(譬如某多項式倒數呈等差數列),然後將其進行處理,使其變得複雜。因此,我們宜從結果開始,倒推出這一方法適用的題型。

為等差數列……①

……②

……③

。則顯然①適用於形如的遞推關係。由於將x同時帶入③中的,左右相等恆成立,也就證明了不動點法求解的正確性。

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解:令,注意到時,,故.

,即

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解:令,則時,

.

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解: 不妨設, 則有:

解得, , , 所以

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解: 注意到是周期為1的函數,且在上為.

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解:令,則. 又為偶函數

,由於,故

考慮積分的遞推公式為:

代入得:

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等差數列,記,數列滿足,當時,, 且成等比數列,

(1) 求的通項公式

(2) 求證:

(3) 將數列的項按照以下規律交叉排列:當為奇數時,放在前面;當為偶數時,放在前面,得到一個新數列,記,求表達式.

解:(1) ,又為等差數列,故,則.

由於成等比數列,得:,又因為,因此整理得. 檢驗符合,即

(2) . 因為,所以,證畢.

(3) 不妨先羅列出數列的前12項:

注意到中的項可以每四個一組進行劃分

因此分情況討論如下:

1) 當時,記

此時的倒數第二組與最後一個數為:

2) 當時,記

此時的倒數第二組與最後兩個數為:

3) 當時,記

此時的倒數第二組與最後三個數為:

4) 當時,記

此時的倒數第二組與最後一組為:

所以綜上,得:

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橢圓的離心率為,過點作橢圓的兩條切線相互垂直.

(1) 求橢圓的方程

(2) 在橢圓上是否存在點:過點引拋物線的兩條切線,切點分別為,且直線過點?若存在,指出這樣的點有幾個(不必求出點的坐標);若不存在,請說明理由.

解:(1) 由題,. 由於兩切線關於軸對稱且互相垂直,故斜率為. 取,與橢圓方程聯立:

,即

(2) 顯然,直接設點坐標將會十分麻煩. 不妨設,與拋物線交點為,切線的斜率分別為. 聯立兩方程:

由於. 同理. 聯立方程

故得. 根據題意,,故代入得:,解得. 故點有兩個,分別為