測圓海鏡/卷07

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○明Ａ１前一十八問

或問：出南門東行七十二步有樹，出東門南行三十步見之。問答同前。

法曰：倍南行以乘倍東行為平實，並二行又倍之為從，一虛隅。得城徑。

草曰：識別得此問名為弦外容圓，又為內率求虛唬粒保其二行步相並為虛弦，若以相減即虛較也。又倍東行為弦較和，倍南行即弦較較，此二數相乘則兩虛積也。若直以二行相乘，則半個虛積也。又倍東行減於城徑，餘即二虛勾也。倍南行減於城徑則二虛股也。虛積上三事和即城徑也。乃立天元一為圓徑，便以為三事和也。倍二行步減之，得■為黃方一，天元乘之得■為二虛積（寄左）。然後倍東行以乘倍南行，得八千六百四十為同數，與左相消得■。益積開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

又法：二行步相乘為實，二行步相並為從，一步虛法。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，副置二位。上加東行步得■為大差勾，下加Ａ１股得■為小差股。此二數相乘得下式■為半段黃方冪（寄左）。然後立天元以自之，又二之，與左相消得■。益積開平方得一百二十步，即半城徑也。

又法：二雲數相乘倍之於上，加雲數差冪，權寄。並二雲數又自增乘，得數內減上位為平實，並雲數而倍之為從，二步益隅。得半徑。

草曰：立天元一為半徑，副之。上減明勾得下■為虛勾，下減Ａ１股得■為虛股。勾股相乘得■，又倍之得■，又加二行差冪■，得■為弦冪（寄左）。然後並雲數，以自之得■於太極位，為同數，與左相消得■。益積開平方得一百二十步，即半城徑也。

又法：雲數相乘又倍之為平實，雲數相減為從，一常法。得虛勾。

草曰：立天元一為虛勾。以南行減東行餘四十二步為虛較也。以虛較加天元得■為虛股，以天元乘之得下■為直積（寄左）。然後倍南行乘東行得■，與左相消得■。開平方得四十八步，即虛勾也。以勾除積得九十步，即虛股也。並勾股得■為虛和也，內加入二行並■得■，即圓徑也。

又法：並二行步以自乘於上，又倍南行乘倍東行，加上位為平實，一隅法。得小和。

草曰：立天元一為小和。並二行步加之得■為三事和也。倍二行步而並之得■，以減三事和，餘■為黃方，卻以三事和乘之，得下■為二虛積也（寄左）。乃倍南行以乘倍東行，得■為同數，與左相消得■。開平方得一百三十八步，即虛和也。加入二行步得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步見之。問答同前。

法曰：以丙行步一百三十五再自之，得二百四十六萬○三百七十五於上。又以甲行一十六乘丙行冪一萬八千二百二十五，得二十九萬一千六百，以乘上位，得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實；以二行步相乘又倍之得四千三百二十，以乘丙行步再自之數，得一百六億二千八百八十二萬為益從；第一廉空；以甲行乘丙行冪，得二十九萬一千六百，又倍之得五十八萬三千二百於上，四之甲行冪一千○二十四，以乘丙行步，得一十三萬八千二百四十，減上位餘四十四萬四千九百六十為第二廉；二行步相乘得二千一百六十為虛常法。得丙行步上勾弦差八十一。

草曰：識別二數相並，得一百五十一。以減於皇極弦，餘一百三十八，即虛勾虛股並也。若以二數相減，餘一百一十九為高弦內減平弦，又為皇極弦內少個小差弦，又為大差弦內減個皇極弦也。立天元一為丙行大差數。置丙行步一百三十五，自乘得■，用天元除之，得■為勾弦並也。上減天元得■為二丙勾也。複用丙南行乘之，得■為二積也。又以天元除之，得■為丙勾外容圓半（泛寄）。別置丙南行用二甲勾乘之，得■太，合用二丙勾除之。不受除，便以此為甲股（內寄二丙勾為分母）。複用二甲勾三十二乘之，得■太為二個甲直積也。又置丙南行內減天元，得■為黃方，以自乘得■為丙上勾弦差乘股弦差二段，以天元除之得■為兩個丙小差也。乃用甲股乘之，得下式■。複用丙南行除之，得 ■，又折半得下式■為一個甲步股弦差也，內亦帶前二丙勾分母。複置兩個甲直積，內已寄此甲股弦差分母，便為甲步股外容圓半（寄左）。乃再置先求到泛寄，用甲股弦差分母乘之，得■為同數，與左相消得下式■。開三乘方得八十一步，即丙步上勾弦差也。《鈐經》載此法，以勾弦差率冪減丙行冪，複以丙行乘之為實，以差率冪為法，如法得徑。此法隻是以勾外求圓半。合以大差除倍積，而今皆以大差冪為分母也。依法求之，勾弦差八十一自之得六千五百六十一，以減於丙行冪一萬八千二百二十五，餘一萬一千六百六十四，複以丙行一百三十五乘之，得一百五十七萬四千六百四十為實，以大差冪六千五百六十一為法，如法得二百四十步，即城徑也。

又法：二行相乘，得數又自之為三乘方實；並二行步以乘二行相乘數，又倍之為從；二行相並數以自乘於上，又二行相減數自乘減上位為第一廉；第二廉空，一益隅。益積開之，得半徑（其第一廉隻是四段二行相乘數）。

草曰：立天元一為半城徑，副置之。上加南行步得■為股，下位加東行步得■為勾。勾股相乘得■為直積一段。以天元除之得■為弦，以自之，得■為弦冪（寄左）。乃以勾自之，得■，又以股自之，得■，二位相並得■為同數，與左相消，得■。益積開三乘方，得一百二十步，即半城徑也。

又法：條段同前。

草曰：依前求得勾股率。置出南門步為小股，以勾率乘之得■，合以股率除，不除寄為母，便以此為半梯頭於上。又置南行步加二天元，得■為大股，以勾率乘之，得■，合以股率除，不除寄為母，便以此為梯底。以乘上位，得■為半徑自乘數，內帶股率冪為母（寄左）。然後置天元以自之，又以股率冪乘之，得下■ 為同數，與左相消。所得一如前答。

又法：以二行差冪數自乘，又倍之為實；並二行步以乘二行差冪，又四之為益從；四段南行冪內減二段差冪於上，又二段差冪內減四段東行冪，餘以減上位為第一廉；四之二行共為第二廉，二步虛法。益積開之，得皇極弦二百八十九。

草曰：立天元一為皇極弦，以自之為弦冪於上。以二行步相減餘■，以自之，得■為較冪，以減上得■為二直積。複以天元除之，得■為一個城徑也，副置之。上位加二之東行步，得■為二勾也。以自增乘得■為四段勾冪於上。下位加二之南行，得■為二股也。以自增乘得■為四段股冪也。並入上位得下式■為四段弦冪（寄左）。然後以天元為冪，就分四之為同數，與左相消得下■。益積開三乘方，得二百八十九步即皇極弦也。欲見城徑者，別立天元半徑，副之。加東行為勾，加南行為股，勾股各為冪，並之，與弦冪相消，開方得半城徑也。

又法：以二行差一百一十九自乘，得一萬四千一百六十一為差冪。以東行步乘之，得二十二萬六千五百七十六為泛率，又自增乘得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為五乘方實。倍東行步得三十二，以二行差一百一十九乘之得三千八百八為小泛。以乘泛率，又倍之得一十七億二千五百六十○萬二千八百一十六為從方。並兩行而倍之，得三百二，以乘泛率，得六千八百四十二萬五千九百五十二於上位，以小泛冪一千四百五十萬○八百六十四加入上位，共得八千二百九十二萬六千八百一十六為第一廉。並兩行而倍之，得三百二，以乘小泛，得一百一十五萬○○一十六為寄數。倍二行差以乘差冪得三百三十七萬○三百一十八，內減寄數餘二百二十二萬○三百○二為第二益廉。六段二行差冪八萬四千九百六十六，內減二行並數冪二萬二千八百一，餘六萬二千一百六十五為第三益廉。六之二行差七百一十四為第四益廉，二步虛法。得Ａ１弦三十四步。

草曰：立天元一為皇極弦上股弦差（即東行步上斜也，亦謂Ａ１弦）。以天元加二行差，得■，即明弦也（此即皇極弦上勾弦差也）。以天元乘之，又倍之得 ■，即皇極內黃方冪也（泛寄）。置皇極弦上勾弦差以東行步乘之，得■，以天元除之，得■為明勾也。又置天元以南行乘之，得■，合用明弦除，不除寄為母，便以此為Ａ１股於上（寄明弦母）。乃再置明勾以明弦乘之，得■，亦為帶分明勾，加入上位，得■，即是一個虛弦也。以自增乘得下式■為一段虛弦冪也，內帶明弦冪分母（寄左）。然後置明弦以自之，得■為明弦冪，以乘泛寄，得■為同數，與左相消得下式■。開五乘方，得三十四步為東行步上斜步也（即Ａ１弦）。其東行步得■，即Ａ１勾也。勾弦各自為冪，以相減餘九百步，開方得三十步即Ａ１股也。既各得此數，乃以股外容圓半法求圓徑，得二百四十步即城徑也。合問。

或問：出東門一十六步有樹，出南門東行七十二步見之。問答同前。

法曰：二行步相減得數，以自之於上。又以出東門步自之，減上位為平方實，二之出南門東行步為益從，一步常法。翻開得半徑。

草曰：別得人到樹即平弦也，半圓徑即平股也。其東行七十二步則平勾平弦差也。乃立天元一為半圓徑，加一十六減七十二，得■為勾也。以自之得■為勾冪。又加入天元股冪得■為弦冪（寄左）。再立天元一為半徑，加出東門步，得■即弦也。以自之得■為同數，與左相消得■。翻法開之得一百二十步，即半城徑也。合問。

或問：出南門一百三十五步有樹，出東門南行三十步見之。問答同前。

法曰：樹去城步內減南行步，餘以為冪於上，又以樹去城步為冪內減上位為平實，倍樹去城步為從，一虛隅。翻法得半城徑。

草曰：別得人距樹即高弦也，半圓徑即高勾也，其南行三十步即高弦上小差也。乃立天元一為半徑，加樹去城步為弦，內減小差■，得■即股也。以自之得■ 為股冪，內加入天元冪，得■為弦冪（寄左）。再置弦■以自之，得■為同數，與左相消，得式■。翻開得一百二十步，即半城徑也。合問。

或問：乙出東門不知遠近而立，甲出南門東行七十二步望見乙，就乙斜行一百三十六步與乙相會。問答同前。

法曰：以斜行步自之於上，以二行相減餘自為冪，減上位為平實，從空，一步常法。如法得半徑。

草曰：別得七十二步即大差也，斜行即弦，半徑即股也。立天元一為半徑，以自之為股冪，又以二行差六十四以自之得■為勾冪。並二冪得■為弦冪（寄左）。然後以斜行步自之，得■為同數，與左相消得■。開平方得一百二十步，倍之即城徑也。合問。

或問：甲出南門不知遠近而立，乙出東門南行三十步望見甲，卻就甲斜行二百五十五步與甲相會。問答同前。

法曰：二行差自之為冪，以減於斜行冪為平實，一虛隅。得半徑。

草曰：別得南行步即股弦差也，斜步即弦也，半徑即勾也。乃立天元一為半城徑，以自之為冪。以二行相減餘二百二十五，以自之得■為股冪。二冪相並得■ 為弦冪（寄左）。然後以斜行步自之，得■為同數，與左相消得下■。開平方得一百二十步，即半徑也。合問。

或問：甲出南門東行不知步數而立，乙出東門南行三十步望見甲，斜行一百二步相會。問答同前。

法曰：二行相減，餘以乘乙南行，四之於上，又加入斜行冪為平實。得虛和一百三十八。

草曰：別得斜步內減南行為甲東行步也。此問以弦外容圓入之，以二行相減數乘乙南行三十步，得■，又四之，得■為二直積也。又加入斜步冪■，共得■即和冪也。平方而一，得一百三十八步，即虛和也。又加斜步得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：乙出東門南行不知步數而立，甲出南門東行七十二步望見乙，斜行一百二步與乙相會。問答同前。

法曰：倍相減步以乘倍東行，得數複以減於斜步冪，餘為實。平方而一，得較也。又以二行相減數乘倍東行為平實，以較為從方，得勾。勾較共為長，又以斜步並入勾股共，即城徑。

草曰：別得二行相減餘■為乙南行步也。以此數又減於甲東行，餘四十二步即較也。又以二行相減數■乘倍東行得■為平實，以較為從。平方開得四十八即勾也。勾內加較得九十步即股也。勾股共得一百三十八，又加入斜步，共得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：乙出南門東行，甲出東門南行，兩相望見。既而乙雲：“我東行不及城徑一百六十八步。”甲雲：“我南行不及城徑二百一十步。”問答同前。

法曰：半甲不及步以自之為冪，半甲不及步內減差以自之為冪。二冪相並內卻減差冪為平實，四之甲不及內減三之乙不及，餘為益從，三步半虛法。得甲南行。

草曰：別得乙不及為虛勾、半徑共，又為徑內減明勾也。甲不及為虛股、半徑共，又為徑內減Ａ１股也。又二雲數相並為虛和、圓徑共也，雲數相減即虛較也。乃立天元一為甲南行，以減於甲不及步又半之，得■為虛股也。虛股內減虛較得■為虛勾。勾自之得■為勾冪也，又股自之得下式■為股冪也。二冪相並得■為弦冪（寄左）。然後以天元加虛較得■為乙東行。又加入天元甲南行得■為虛弦，以自之得■為同數，與左相消得■。開平方得三十步，即甲南行也。內加少步，即城徑也。合問。

或問：丙出南門直行，甲出東門直行，兩相望見。既而丙雲：“我行少於城徑一百五步。”甲雲：“我行少於城徑二百二十四步。”問答同前。

法曰：二少步相乘訖，又自乘為實；六之共步，乘雲數相乘數為益從；十八之雲數相乘於上，又三之共步，自乘加上位，內複減丙少步冪、甲少步冪為從廉；四十八之共步為益二廉，六十三步常法。翻法開三乘方，得一百二十步，即半徑。

草曰：別得雲數共減於倍城徑為甲丙共行數。又雲數相減即皇極差，亦為甲行不及丙行數。立天元一為半城徑，以三之，副置二位。上位減丙少步，得■為皇極股也，下位減甲少步得■為皇極勾也。勾股相乘得■，以天元除之，得■為弦也。弦自之得■為弦冪（寄左）。然後以股自之得下■為股冪於上，又以勾自之得 ■為勾冪，並以加入上位，得■為同數，與左相消得■。翻法開三乘方得一百二十步，即半城徑也。合問。

或問：甲出東門直行，乙出南門直行，各不知步數而立。乙望見甲，就甲斜行了二百八十九步與甲相會。其二直行共得一百五十一步。又雲甲直行少於乙直行。問答同前。

法曰：斜冪內減共步冪為平實，倍共步內減斜步為從，一常法。得徑。

草曰：別得共數、城徑並即皇極和也。立天元一為圓徑，加共步得■為皇極和，以自之，得■於上。以斜行冪■減上位餘■為二直積（寄左）。然後以天元乘斜步得■，與左相消得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲出東門直行，乙出東門南行，丙出南門直行，丁出南門東行，各不知步數而立。四人遙相望，悉與城參相直。隻雲甲、丙共行了一百五十一步，乙、丁立處相距一百二步。又雲丙直行步多於甲直行步。問答同前。

法曰：共步、距步相減，得數自之於上，以共步為冪內減上為平實，二之距步內減共步、距步差為從，一步虛法。得城徑。

草曰：別得共步得城徑即皇極和也，相距步即虛弦也。皇極和內減虛弦即皇極弦也。又共步、距步差■即皇極弦內減城徑也（此名旁差）。乃立天元一為城徑，加共步得■為皇極和也，以自之得■於上，以共步、距步差■加天元得■為皇極弦也，以自之得下式■，減上位餘得■為二直積（寄左）。然後以天元徑乘皇極弦，得■為同數，與左相消得■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲出南門東行不知步數而立，乙出東門南行望見甲，複就甲斜行，與甲相會。乙通計行了一百三十二步，其乙南行步不及斜行七十二步，其甲東行卻多於乙南行。問答同前。

法曰：倍不及步在地，以不及步減通步以乘之為實，以四之不及步為法。得乙南行三十步。

草曰：別得乙南行即Ａ１股也，以減通步即虛弦也，以減不及步即虛較也，其不及步即甲東行也。立天元一為乙南行，置不及步以天元乘之，又四之得■元為二直積（寄左）。然後倍不及步以為弦較和於上■。以不及步減通步得■為弦較較。以乘上位得■太為同數，與左相消得■。上法下實，得三十步為乙南行也。餘各以數求之。

又法：別得通行步為兩個乙南行、一個甲東行共也。其不及步即東行步也。雲步相並即兩個虛弦，相減即兩個乙南行也。

或問：甲出南門東行不知步數而立。乙出東門南行，望見甲，複斜行與甲相會。二人共行了二百四步，又雲甲行不及共步一百三十二。問答同前。

法曰：別得二行共即兩個虛弦也，其不及步即乙南行與一虛弦共也。置不及步內減一弦餘三十步，即乙南行也。以乙南行反以減虛弦，餘七十二步即甲東行也。以乙南行減甲東行餘即虛較也。

此問無草。

或問：乙出東門南行，甲出西門南行，甲望見乙，斜行五百一十步相會。乙雲：“我南行少於城徑二百一十步。”問答同前。

法曰：少步冪為平實，四斜步內減二少步為益從，五步常法。得乙南行。

草曰：別得少步為徑內減Ａ１股。立天元一為乙南行，以二之減於倍斜行步，得■為梯底也。以二之天元乘之，得■為徑冪（寄左）。再置天元加少步，得下式■為城徑，以自之得■，與左相消得■。開平方得三十步，即乙南行也。加少步即城徑也。合問。

或問：乙出南門東行，甲出北門東行，甲望見乙，斜行二百七十二步與乙相會。乙雲：“我東行不及城徑一百六十八步。”問答同前。

法曰：以不及步冪之為實，四斜內減二之不及步為虛從，五常法。平開得乙東行七十二步。

草曰：別得不及步為城徑減明勾也。立天元一為乙東行，以倍之減於二之斜行步，得下■為梯底也。倍天元乘之，得■為徑冪（寄左）。再置天元加不及步，得■為城徑，以自之得■為同數，與左相消得■。開平方得七十二步，即乙東行也。加入少步即城徑也。合問。

或問：乙出南門東行，丁出東門南行，卻有甲丙二人共在西北隅，甲向東行，丙向南行，四人遙相望見，俱與城參相直。既而相會，甲雲：“我多乙二百四十八步。”丙雲：“我多於丁五百七十步。”問答同前。

法曰：二多步相乘為平實，並二多步而半之為從，七分半常法。得城徑。

草曰：別得甲多步為大勾內減明勾也，丙多步為大股內少Ａ１股也。又乙東行得一虛勾為半徑，丁南行得一虛股為半徑。又二多數相並得■為大和內少虛弦也，又二少數相減餘■為兩個角差。又甲多步內減半徑即勾方差也，丙多步內減半徑即股方差也。立天元一為城徑，以半之減於甲多步得■為勾方差，又以半徑減於丙多步得■為股方差。二差相乘得■為徑冪（寄左）。然後以天元冪與左相消，得下式■。開平方得二百四十步，即城徑也。合問。

或問：甲丙二人俱在西北隅，甲向東行，丙向南行。又乙出南門東行，丁出東門南行，各不知步數而立。四人遙相望見，悉與城參相直。既而相會，甲雲： “我與乙共行了三百九十二步。”丙雲：“我與丁共行了六百三十步。”問答同前。

法曰：甲乙共自之為冪，丙丁共自之為冪，二冪又相乘為三乘方實。甲乙共自之為冪，以丙丁共乘之於上。又以丙丁共自之為冪，以甲乙共乘之加上位為益從。甲乙共自之為冪，丙丁共自之為冪，並，以七分半乘之於上。又以甲乙共乘丙丁共，得數減上位為第一益廉。並二共數，以七分半乘之為第二廉。以七分半自之，得五分六厘二毫五絲於上位。以一步內減上位，餘四分三厘七毫五絲為虛隅。得城徑。

草曰：別得甲為大勾，乙為明勾，丙為大股，丁為Ａ１股也。甲乙共內減半徑即是黃長弦也，丙丁共內減半徑即黃廣弦也。黃長弦、黃廣弦二數相減，餘為兩個皇極差也。乃立天元為城徑，半之副置二位。上以減於甲乙共數，得■即黃長弦也，以自之得■為黃長弦冪也，內減天元一冪，餘得下式■為勾方差冪也。下位以減於丙丁共，得下式■即黃廣弦也，以自之得■為黃廣弦冪也，內減天元一冪，餘得■為股方差冪也。再以勾方差冪、股方差冪相乘，得■為徑冪（寄左）。然後以天元為冪，又以冪自之，與左相消得下式■。開三乘方得二百四十步，即城徑也。合問。