测圆海镜/卷05
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○大股一十八问
或问：乙出南门直行一百三十五步而立，甲从干隅南行六百步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：倍二行差内减甲南行步，复以乘甲南行步为实（倍二行差减甲南行步，即是甲南行步内减二之乙南行也）；四之甲南行步内减二之乙南行为从方；四益隅。开平方得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之加乙南行步，得�为中股，以中股又减于甲南行步，得�为股率，其天元半径即勾率也。置甲南行为大股，以勾率乘之，得� 元，合以股率除之，不受除，便以此为大勾（内带股率分母）。再置天元以二之，以股率乘之，得�。减于大勾，馀�为勾圆差于上（内有股率分母）。又以二之天元减甲南行，得�为大差，以乘上位，得�为半段黄方幂（内寄股率分母。寄左）。然后以天元自之，又以股率乘之，又倍之得�为同数，与左相消得下式�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门东行七十二步而止，甲从干隅南行六百步，望乙与城参相直。问答同前。法曰：云数相乘为平实，甲南行为从，二益隅。得半径。
草曰：别得虚勾乘通股得半段圆径幂，此与虚股乘通勾同。立天元一为半径，内减乙东行得�为虚勾，以乘甲南行得�为半段径幂（寄左）。再以天元为幂，又倍之为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门直行一十六步，甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。
法曰：以乙东行乘甲南行幂为实，二之乙东行乘甲南行为从方，廉空，二步隅法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以二之加于乙东行，得�为勾率；又以天元减甲南行，得�为股率。乃置乙东行以股率乘之，得�，合以勾率除。不除便以此为小股，此小股即半梯之头也（内带勾率分母）。又以股率乘之（此股率即半梯之底也），乘讫得�为半径幂（内带勾率分母。寄左）。然后置天元幂以勾率通之，得 �为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门南行三十步而立，甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。法曰：二行步相乘为实，以乙南行为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，以减于甲南行得�为半梯底，以乙南行三十步为半梯头，以乘之得�为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得�。开平方得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：乙从艮隅南行一百五十步而立，甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。法曰：二行步相乘为实，并二行步为法。得半径。
草曰：立天元一为半径，副置之。上以减于乙南行，得�为半梯头，下以减于甲南行得�为半梯底。上、下相乘得�为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得下式�。上法下实，如法而一，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙从艮隅东行八十步而立，甲从干隅南行六百步望见乙。问答同前。
法曰：二行步相乘又倍之为实，二之乙东行为从，一步常法。得全径。
草曰：别得乙东行八十步即小差也。立天元一为城径，减于甲南行步，得�为大差，以乙东行步乘之得�，又倍之得�为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：南门东不知远近有树。甲从干隅南行六百步，望树与城参相直，复就树斜行四百八步至树。问答同前。
法曰：两段南行步幂内减两段两行相乘数为实，二之南行步为从，一步益隅。
草曰：别得南行步内减城径即小股也，其斜行步即小弦也。又二行相减即大差为股之勾也。乃立天元一为圆径，以减南行步，得�为股圆差也（合为小股）。置南行步以斜行步乘之，得�太，合以小股除之。不受除，便以此为大弦（内带小股分母）。再置南行步以小股乘之，得�为大股（亦带小股分母）。以大股减大弦，得�为小差也。合以大差乘之，缘于内带大差分母，更不须乘，便以为半段黄方幂（更无分母）。又二之得�为一段黄方幂（寄左）。然后以天元幂为同数，与左相消得�。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
依前问：假令乙出南门东行不知步数而止，甲从干南行六百步望乙与城相直，复就乙斜行四百八步。
法曰：二行差幂乘甲南行为实，二之二行差以乘南行步为益方，二之二行差为隅。得半径。
草曰：识别得二行相减即半城径与乙东行共也。得此数更不须用斜。立天元为半径，减于二行差一百九十二，得�即半梯头也。又以二天元减甲南行步，得 �为股率，又以一百九十二为勾率。乃置甲南行以勾率乘之，得�，合股率除，不除便以此为大勾（内寄股率分母）。再置天元以股率乘之，得�，以减于大勾得� 为半梯底也。头底相乘得下�为半城径幂也（内寄股率分母。寄左）。然后以股率乘天元幂为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：东门南不知远近有树，甲从干隅南行六百步见树，复向树斜行五百一十步至树。问答同前。
法曰：二之差步乘二之甲南行为实，并二之差步二之甲行步为从，二益隅（若欲从简，上下俱折半）。
草曰：别得二行相减数即虚积之股也。立天元一为圆径，内减二之差步，得�为梯头于上，又以天元减于二之甲行步，得�为梯底。上、下相乘，得�为圆径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：乙出东门直行不知步数而立，甲从干隅南行六百步望见乙，复就乙斜行五百四十四步与乙相会。问答同前。
法曰：以二行步相减乘甲南行步，得数，又半之南行步以乘之为实；以二行差乘南行步于上，又以半之南行步乘南行步加于上为从方；二之南行步为益廉，一步常法。得半径。
草曰：别得二行相减即平积上勾股较（此股即半径也）。又别得是大勾圆差不及平弦数立天元一以为半城径，以减南行步，得�为中股，其斜行步即中弦也。乃立半城径以斜行步乘之，得�元，合以中股除。今不受除，便以此为平弦（内带中股分母）。又以二行步相减，馀五十六步，为勾圆差不及平弦数。置此数以中股乘之得�，复以减平弦，馀得�为小差（内带中股分母）。乃以二天元减甲南行步为大差，又半之得�，以乘小差得�为半径幂（寄左）。然后以天元自乘，又以中股通之，得�为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问（翻法在记）。
或问：甲乙二人俱在干隅，乙东行不知步数而立，甲南行六百步望见乙，复就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。
法曰：以二行差乘二行并，开平方，得数内复减二行差，得全径。
草曰：别得二行相减即勾圆差也。先求大勾。立天元一为大勾。以二行相减馀八十步，以乘二行相并数一千二百八十步，得�太为勾幂，开平方得三百二十步即大勾也。大勾内减去勾圆差，馀二百四十步即城径也。合问。
或问：南门外不知远近有树，甲从干隅南行六百步，望树与城参相直，复就树斜行二百五十五步至树。问答同前。
法曰：倍二行相减数内减甲南行，得数复以乘甲南行为实，倍二行相减数为从，二步益隅。得半径。
草曰：识别得斜行步乃是树至城心之数也。立天元一为半径，加斜行步得�为树至城北门之步也。乃以减于甲南行，得�为小股率，其天元半径即小勾率，其斜步即小弦数也。再置甲南行步内减天元得�为梯底于上，又置梯底内减二之小股率，得�即梯头也。复以乘上位得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：东门外不知步数有槐树一株，甲从干隅南行至柳树下，望见槐树，复斜行至槐树下。甲自云我共行了一千一百四十四步。乙从艮隅东行望见槐树与城相直，复斜行至槐树下。乙自云我东行步不及斜行五十六步。问答同前。
法曰：甲斜行减于甲南行以乘甲南行，得数复以乘二之甲南行为实；半之甲南行以乘二之甲南行于上，甲斜行减于甲南行，馀复以乘甲南行，又倍之加上位为从方；二之甲南行为益廉，五分隅法。
草曰：识别得五十六步是小差不及平弦数（此小差即勾圆差也）。又为平弦上勾股差，又为甲斜行不及大股。乃副置甲共行在地，其上位加五十六步而半之，得六百步即大股也。其下位减五十六步而半之，得五百四十四步即今弦也。立天元一为圆径，以半之减于甲南行步，得�为中股，其斜行五百四十四步即中弦也。乃立半天元以斜步乘之，得�元，合以中股除之，今不受除，便以此为平弦（内寄中股分母）。又置勾圆差不及平弦数以中股乘之，得�，复以减于平弦，得�为小差（内带中股分母）。又以天元减甲南行，倍之得�为两个大差，以乘小差得�为圆径幂（寄左）。然后以中股乘天元幂，得下式�为同数，与左相消得�。开立方得二百四十步，即城径也。合问（翻法在记）。
或问：出东门向南行不知步数有柳树一株，甲从干隅南行六百步望见柳树而止。乙出东门直行不知步数望见柳树与甲相直，却斜行三十四步至柳树下。问答同前。
法曰：斜行乘甲南行数，以乘甲行幂为实；斜行乘甲南行幂，又三之为从方；甲行幂内减两段斜行、南行相乘数为第一廉，二之南行步为第二益廉，二步常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之减甲南行得�为大差，以自之得�为大差幂，加于南行幂，得�，又半之得�为大弦也，内带大差�分母，别寄。又置乙斜行以大股六百乘之，得�，合大弦除，不除便以此为小股也（内带大弦分母）。乃以天元减甲南行，得�即半梯底也，以乘小股半梯头得�为半径幂于上，此半径幂内有大弦分母。缘别寄大弦分母元带大差分母，故又用大差分母�乘上半径幂，得�为带分半径幂也。所带之分，谓只带大弦分母也（寄左）。然后以大弦乘天元幂，得�为同数，与左相消得�。开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。
又法：置甲行幂于上，又置甲行幂半之以乘上位为实；以斜行乘甲行幂，倍之于上位，又以甲行再自乘加上位为益方；置甲行幂于上，以斜行乘甲南行，倍之，以减上位为第一廉；甲南行步为第二益廉，半步常法。得股圆差。
草曰：立天元一为股圆差（即大差），以自之为幂，以加甲南行幂得�。半之，又以天元除之得�为大弦，其甲南行即大股也。别置乙斜行三十四步以大股乘之，得�太，合大弦除，不除便以为小股（内寄大弦分母）。乃以天元加甲南行步，得�为全梯底也。以乘小股半梯头，得�，又倍之得�为城径幂（内寄大弦为母。寄左）。乃置天元大差减甲南行，馀为圆径，以自之得�，又以大弦分母乘之得�为同数，与左相消得下式�。开三乘方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减甲南行馀二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲从干隅南行六百步而止，丙从南门直行，乙出南门东行，各不知步数而立。甲望乙、丙悉与城参相直，既而乙就丙斜行一百五十三步相会。问答同前。
法曰：以甲南行步再自之于上，以斜行步乘甲南行幂，又倍之，减上位为立方实；南行步自之又四之于上，以斜步乘甲南行，又倍之，减上位为益从；六之甲行步为从廉，四步虚常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之减于甲南行，得�为大差也，以自之得�为大差幂也，乃置甲南行幂内加大差幂而半之，得�为大弦也（内带大差分母）。又置甲南行幂内减大差幂而半之，得�为大勾也（亦带大差分母）。乃置斜行步在地，以大勾乘之得�，合以大弦除，不除便以此为小勾，内带大弦为母（其大勾内元有大差分母，不用），即半梯头也（寄上位）。再置天元半径以大差乘之，得�，以减于大勾得�元为半梯底也。以乘上位得�为半径幂也（内带大差及大弦为母。寄左）。然后置天元幂以大差通之，又以大弦通之，得�为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，即半城径也。合问。
依前问：假令南门外有树，乙出南门东行不知步数而立（只云乙东行步少于树去城步）。甲从干隅向南行六百步望树与乙，悉与城参相直，乙就树斜行一百五十三步至树下。问答同前。
法曰：以斜行步乘甲行幂为立方实，以甲行幂半之于上，以斜行步乘甲行步减上位为益从，廉无入，五分虚隅。得大勾、大弦差。
草曰：别得斜步即小弦，小弦得小和即勾弦差也。立天元一为股圆差，以自之为幂，副之，上以加甲南行幂而半之，得�为大弦也（寄大差分母）。下以减于甲南行�幂而半之，得下式�为大勾也（寄大差分母）。乃置斜步以大勾乘之得下�，合大弦除，不除便以此为小勾（寄大弦分母），又置斜步以甲南行乘之得� 太，合以大弦除为小股，不除而又以同母分通之，得�为同分小股也（只寄大弦分母。注：大股乘时，无大差分母，故今通之，以齐大勾上所有大差分母也）。又置斜步以大弦通之，得�为通分小弦也。三位相并得�为股圆差也（寄左）。然后置天元大差以大弦分母通之，得�为同数，与左相消得�。开立方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减于甲南行步即城径也。合问。
或问：东门外不知步数有树，甲从干南行六百步而止，乙出北门东行，斜望树及甲与城参相直，却就树斜行一百三十六步。问答同前。
法曰：二行步相乘于上，又半甲南行乘之为实；二行相乘于上，又半甲南行以乘甲南行，加上位为益从；甲南行为从廉，一步益隅。开立方得半径。
草曰：立天元一为半径，便以为小股，其斜行步即小弦也。乃以甲南行为大股，以小弦乘之，复以天元除之，得�即大弦也。又倍天元减甲南行，馀�为大差，以减大弦，馀�为大勾也。又倍天元以减勾，得�为小差也。却以半大差�乘之，得�为半径幂（寄左）。乃以天元幂相消，得下式�。开立方得一百二十步，即半径也。合问。
或问：南门外不知步数有槐树一株，东门外不知步数有柳树一株，槐柳二树相去二百八十九步。有人从干南行六百步而止，斜望槐、柳与城参相直。问答同前。
法曰：云数相乘，得又自增乘为三乘方实；斜步幂乘南行步，又二之为益从；二云数相乘又倍之为益廉，二之斜步为第二从廉，二步常法。得槐至城心步。
草曰：别得槐树至城心步即人所止至槐树步也。乃立天元一为槐树至城心步（即人至槐处）。加于斜步得�为边弦也，以天元乘之得�，合斜步除，不除便以此为边股（寄斜步分母）。又以斜步乘南行步得�为大股，以边股减之，馀�为半城径（寄斜步分母）。以自之得�为半径幂（内带斜步幂为母。寄左）。又以天元减斜步得�为叀弦，以天元乘之得�，合斜步除，不除寄为母，便以此为半梯头。以边股半梯底乘之，得�为同数，与左相消得�。开三乘方得二百五十五步，即槐树至城心之步也，亦为皇极正股。又自之，得数以减斜幂，馀如平方而一得城心至柳树步，又为皇极正勾也。勾股相乘倍之为实，如斜步而一，即城径也。合问。
或问：甲从干南行六百步而立，乙出南门直行，丙出东门直行，三人相望俱与城相直，而乙、丙共行了一百五十一步。问答同前。
法曰：甲南行为幂，折半又以自之为实，倍共步加甲南行以乘半段甲行幂为从方，甲行乘共数为从廉，一个半甲南行为第二益廉，二分五厘为三乘方隅。
草曰：识别得共步加城径即皇极和也，又是半径为勾之弦与半径为股之弦相和步也。二之此数内减去大弦即皇极勾股内黄方面也，亦为太虚弦。乃立天元一为大差，以自之，副置二位。上位减于甲南行幂，以天元除之，又折半得�为大勾也。下位加甲南行幂以天元除之，又折半得�为大弦也。其甲南行即大股也。并大勾、大股得下式�即大和也。再立天元减甲南行，得�即圆径也，加共步得�即皇极和，又是半径为勾之弦及半径为股之弦共数也。又倍之得�，即全径为勾之弦及全径为股之弦共数也。内减大弦得�即小和内黄方面也。乃置大和�以小黄方面乘之，得�。合以小和除之，不除便以此为大黄方也（内寄小和为母。寄左）。然后以天元减甲南行得�为大黄方，以小和�为同数，与左相消得�。开三乘方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减于甲南行馀二百四十步，即城径也。合问。
或问：丙出南门东行，乙出东门南行，各不知步数而立。甲从干隅南行六百步，斜望乙、丙悉与城参相直，乙就丙斜行一百二步相会。问答同前。
法曰：以斜步乘甲南行幂，又倍之为实；倍甲行幂于上，又以斜步乘二之甲南行加于上为从方；四之甲南行为益廉，四步常法。开立方得半径。
草曰：别得斜步为小弦也，以斜步减圆径馀为小和也。乃立天元为半径，以二之减于甲南行，得�为大差也，以自之得�为大差幂也。置甲南行幂�为大弦也（内带大差为分母）。又置甲南行幂内减大差幂而半之，得�为大勾也（带大差分母）。又以大差乘股六百步得�，并入大勾得�为大和也（带大差分母）。乃先以小弦乘大和得下式�（寄左）。又以小和�乘大弦得�为同数，与左相消得下�。开立方得一百二十步，即半径也。合问。
依前问：假令乙出东门南行，丙出南门东行，各不知步数而立（只云丙行步多于乙行步）。甲从干隅南行六百步，望乙、丙与城参相直，乙复斜行就丙，行了一百二步与丙相会。问答同前。
法曰：以斜步乘甲行幂，又倍之为立方实，甲行幂内加斜行、南行相乘数为从方，甲南行为益廉，半步为隅。得全径。
草曰：别得相就步即小弦也，小弦得小和为直径也。立天元一为城径，以减于甲南行步得�为大差，以自之得�为大差幂也。置甲南行步以自之为幂，副之，上以加大差幂而半之得�为大弦也（内寄大差分母）。下以减大差幂而半之得�为大勾也（内寄大差分母）。乃置相就步在地，以大勾乘之得�，合大弦除，不除寄为母，便以此为小勾也，寄大弦母。又置斜步（即相就步也）。以甲南行乘之得�，合以大弦除之，不除寄为母，便以此为小股，而又以元分母大差乘之得�为同分小股也，只寄大弦分母（其大勾内元有大差分母，其大股内却无分母，故今乘过，复以大差通之，齐分母也）。又置斜行步以大弦通之，得�为小弦也。上三位相并得�为城径也（内寄大弦分母。寄左）。然后置天元以大弦通之，得�为同数，与左相消，得�。开立方得二百四十步，即城径也。合问。