幾何原本/卷一

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  幾何原本
卷一
卷二 
西洋利瑪竇譯

卷一之首[编辑]

界說三十六則[编辑]

凡造論,先當分別解說論中所用名目,故曰界說。
凡厯法、地理、樂律、算章、技藝、工巧諸事,有度有數者,皆依賴十府中幾何府屬。凡論幾何,先從一㸃始。自㸃引之為線,線展開為靣,靣積為體。是名三度。
第一界

㸃者無分

無長短、廣狹、厚薄 如下圖。凡圖十干為識,干盡用十二支,支盡用八卦八音
㸃者無分.svg
第二界

線有長無廣

試如一平靣,光照之,有光無光之間不容一物,是線也。真平真圓相遇,其相遇處止有一㸃,行則止有一線。
線有長無廣.svg
線有直有曲
第三界

線之界是㸃 凡線有界者,兩界必是點。

第四界

直線止有兩端,兩端之間上下更無一㸃

兩㸃之間至徑者,直線也。稍曲則繞而長矣。
直線之中㸃,能遮兩界。
凡量遠盡,皆用直線。
直線止有兩端兩端之間上下更無一㸃.svg
甲乙丙是直線。甲丁丙、甲戊丙、甲己丙皆是曲線。
第五界

靣者,止有長有廣

一體所見為靣。
凡體之影,極似於靣。無厚之極。
想一線横行所留之迹,即成靣也。
靣者止有長有廣.svg
第六界

靣之界是線

第七界

平靣一靣平在界之內

平靣中間線能遮兩界。
平靣者諸方皆作直線。
平靣一靣平在界之內.svg
試如一方靣,用一直線施於一角,繞靣運轉。轉不礙於空,是平靣也。
若曲靣者,則中間線不遮兩界。
第八界

平角者,兩條直線於平靣縱横相遇交接處

平角者兩條直線於平靣縱橫相遇交接處-平角.svg
凡言甲乙丙角皆指平角。
平角者兩條直線於平靣縱橫相遇交接處-不能作角.svg
如上甲乙、乙丙二線平行相遇,不能作角。
平角者兩條直線於平靣縱橫相遇交接處-為是曲線.svg
如上甲乙、乙丙二線雖相遇,不作平角,為是曲線。
所謂角止是兩線相遇,不以線之大小較論。
第九界

直線相遇作角為直線角

平地兩直線相遇為直線角。本書中所論,止是直線角,但作角有三等,今附著於此:一直線角、二曲線角、三雜線角 如下六圖。
直線相遇作⻆為直線⻆.svg
第十界

直線垂於横直線之上,若兩角等,必兩成直角,而直線下垂者謂之横線之垂線

量法常用兩直角及垂線,垂線加於横線之上,必不作銳及鈍角。
直線垂於橫直線之上若兩⻆等必兩成直⻆而直線.svg
若甲乙線至丙丁上,則乙之左右作兩角相等,為直角,而甲乙為垂線。
若甲乙為横線,則丙丁又為甲乙之垂線。何者丙乙與甲乙相遇,雖止一直角,然甲線若垂下過乙,則丙線上下定成兩直角,所以丙乙亦為甲乙之垂線。如今用短尺,一緃一横,互相為直線,互相為垂線。
凡直線上有兩角相連,是相等者,定俱直角中間線為垂線。
反用之,若是直角,則兩線定俱是垂線。
第十一界

凡角大于直角為鈍角

凡⻆大于直⻆為鈍⻆.svg
如甲乙丙角與甲乙丁角不等,而甲乙丙大於甲乙丁,則甲乙丙為鈍角。
第十二界

凡角小於直角為銳角

如前圖甲乙丁是。
通上三界論之直角,一而已鈍角,銳角其大小不等,乃至無數。
是後凡指言角者,俱用三字為識,其第二字即所指角也 如前圖甲乙丙三字,第二乙字即所指鈍角。
若言甲乙丁,即第二乙字是所指銳角。
第十三界

界者,一物之終始

今所論有三界,㸃為線之界,線為靣之界,靣為體之界,體不可為界。
第十四界

或在一界、或在多界之間為形

一界之形如平圓、立圓等物;多界之形如平方、立方及平立三角、六八角等物 圖見後卷。
第十五界

圜者,一形於平地,居一界之間,自界至中心作直線俱等

圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱等.svg
若甲乙丙為圜,丁為中心,則自甲至丁與乙至丁、丙至丁其線俱等。
外圓線為圜之界內形為圜。
一說圜是一形,乃一線屈轉一周,復於元處所作。如上圖,甲丁線轉至乙丁,乙丁轉至丙丁,丙丁又至甲丁復元處,其中形即成圜。
第十六界

圜之中處為圜心

第十七界

自圜之一界作一直線,過中心至他界為圜徑,徑分圜兩平分

自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜兩平分.svg
甲丁乙戊圜自甲至乙,過丙心作一直線,為圜徑。
第十八界

徑線與半圜之界所作形為半圜

第十九界

在直線界中之形為直線形

第二十界

在三直線界中之形為三邊形

第二十一界

在四直線界中之形為四邊形

第二十二界

在多直線界中之形為多邊形 五邊以上俱是。

第二十三界

三邊形三邊線等為平邊三角形

三邊形三邊線等為平邊三角形.svg
第二十四界

三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形 或銳或鈍。

三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形.svg
第二十五界

三邊形三邊線俱不等為三不等三角形

三邊形三邊線俱不等為三不等三角形.svg
第二十六界

三邊形有一直角為三邊直角形

三邊形有一直角為三邊直角形.svg
第二十七界

三邊形有一鈍角為三邊鈍角形

三邊形有一鈍角為三邊鈍角形.svg
第二十八界

三邊形有三銳角為三邊各銳角形

凡三邊形恒以在下者為底,在上二邊為腰。
第二十九界

四邊形四邊線等,而角直,為直角方形

四邊形四邊線等而角直為直角方形.svg
第三十界

直角形其角俱是直角,其邊兩兩相等

直角形其角俱是直角其邊兩兩相等.svg
如上甲乙丙丁形,甲乙邊與丙丁邊自相等,甲丙邊與乙丁自相等。
第三十一界

斜方形四邊等,俱非直角

斜方形四邊等俱非直角.svg
第三十二界

長斜方形其邊兩兩相等,俱非直角

長斜方形其邊兩兩相等俱非直角.svg
第三十三界

以上方形四種,謂之有法;四邊形四種之外他方形,皆謂之無法四邊形

四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形.svg
第三十四界

兩直線於同靣行至無窮不相離,亦不相遠,而不得相遇,為平行線

兩直線於同靣行至無窮不相離亦不相遠而不得相遇為平行線.svg
第三十五界

一形每兩邊有平行線,為平行線方形

一形每兩邊有平行線為平行線方形.svg
第三十六界

凡平行線方形,若於兩對角作一直線,其直線為對角線。又於兩邊縱横各作一平行線,其兩平行線與對角線交羅相遇,即此形分為四平行線方形,其兩形有對角線者,為角線方形;其兩形無對角線者,為餘方形

凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角線.svg
甲乙丁丙方形,於丙乙兩角作一線,為對角線。又依乙丁平行作戊己線,依甲乙平行作庚辛線,其對角線與戊己、庚辛兩線交羅相遇於壬,即作大小四平行線方形矣,則庚壬己丙及戊壬辛乙兩方形,謂之角線方形,而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形。

求作四則[编辑]

求作者,不得言不可作。
第一求

自此㸃至彼㸃求作一直線

此求亦出上篇,葢自此㸃直行至彼㸃,即是直線。自甲至乙、或至丙、至丁俱可作直線。
自此㸃至彼㸃求作一直線.svg
第二求

一有界直線,求從彼界直行引長之

一有界直線求從彼界直行引長之.svg
如甲乙線,從乙引至丙、或引至丁俱一直行。
第三求

不論大小,以㸃為心求作一圜

不論大小以㸃為心求作一圜.svg
第四求

設一度於此,求作彼度較此度或大或小,凡言度者,或線、或面、或體皆是。或言較小,作大可作;較大作小不可作。何者小之至極,數窮盡故也,此說非是,凡度與數不同。數者,可以長,不可以短。長數無窮,短數有限。如百數減半成五十、減之又減至一而止,一以下不可損矣。自百以上,增之可至無窮,故曰可長不可短也。度者,可以長,亦可以短。長者,增之可至無窮;短者,減之亦復無盡。嘗見莊子稱一尺之棰,取其半,萬世不竭, 亦此理也。何者,自有而分,不免為有,若減之可盡,是有化為無也。有化為無,猶可言也。令已分者更復合之,合之又合,仍為尺棰。是始合之初,兩無能并,為一有也。兩無能并為一有,不可言也。

公論十九則[编辑]

公論者,不可疑。
第一論

設有多度,彼此俱與他等,則彼與此自相等

第二論

有多度等,若所加之度等,則合并之度亦等

第三論

有多度等,若所減之度等,則所存之度亦等

第四論

有多度不等,若所加之度等,則合并之度不等

第五論

有多度不等,若所減之度等,則所存之度不等

第六論

有多度俱倍於此度,則彼多度俱等

第七論

多多度俱半於此度,則彼多度亦等

第八論

有二度自相合,則二度必等 以一度加一度之上。

第九論

全,大於其分 如一尺大於一寸。寸者,全尺中十分中之一分也。

第十論

直角俱相等 見:界說十。

第十一論

有二横直線,或正、或偏,任加一縱線,若三線之間同方,兩角小於兩直角,則此二横直線愈長、愈相近,必至相遇。甲乙、丙丁二横直線,任意作一戊己縱線,或正、或偏,若戊己線同方,兩角俱小於直角,或并之小於兩直角,則甲乙、丙丁線愈長、愈相近,必有相遇之處。

有二横直線或正或偏任加一縱線若三線之間同方兩角小於兩直角則此二横直線愈長愈相近必至相遇.svg

欲明此理,宜察平行線不得相遇者,界說卅四。加一垂線,即三線之間定為直角,便知此論。兩角小於直角者,其行不得不相遇矣。

第十二論

兩直線不能為有界之形

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第十三論

兩直線止能於一㸃相遇

兩直線止能於一㸃相遇.svg
如云線長界近,相交不止一㸃,試於丙乙二界各出直線交於丁。假令其交不止一㸃,當引至甲,則甲丁乙宜為甲丙乙圜之徑,而甲丁丙亦如之。界說十七。夫甲丁乙圜之右半也,而甲丁丙亦右半也,界說十七。甲丁乙為全,甲丁丙為其分,而俱稱,右半是全,與其分等也。本篇九。
第十四論

有幾何度等,若所加之度各不等,則合并之差與所加之差等

有幾何度等若所加之度各不等則合并之差與所加之差等.svg
甲乙、丙丁線等。于甲乙加乙戊,於丙丁加丁己,則甲戊大於丙己者,庚戊線也。而乙戊大於丁己亦如之。
第十五論

有幾何度不等,若所加之度等,則合并所𫎣之度與元所𫎣之度等

有幾何度不等若所加之度等則合并所贏之度與元所贏之度等.svg
如上圖反說之。戊乙、己丁線不等,於戊乙加乙甲,於己丁加丁丙,則戊甲大於己丙者,戊庚線也。而戊乙大於己丁亦如之。
第十六論

有幾何度等,若所減之度不等,則餘度所𫎣之度與減去所𫎣之度等

有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減去所贏之度等.svg
甲乙、丙丁線等。於甲乙減戊乙,於丙丁減己丁,則乙戊大於丁己者,庚戊也。而丙己大於甲戊亦如之。
第十七論

有幾何度不等,若其減之度等,則餘度所𫎣之度與元所𫎣之度等

有幾何度不等若其減之度等則餘度所贏之度與元所贏之度等.svg
如十四論反說之。甲戊、丙己線不等。於甲戊減甲乙,於丙己減丙丁,則乙戊長於丁己者,亦庚戊也。與甲戊長於丙己者等矣。
第十八論

全,與諸分之并等

第十九論

有二全度,此全倍於彼全。若此全所減之度倍於彼全所減之度,則此較亦倍於彼較 相減之餘曰:較。

如此度二十,彼度十。於二十減六,於十減三,則此較十四,彼較七。

卷一[编辑]

西洋利瑪竇撰

第一題

于有界直線上,求立平邊三角形。

于有界直線上求立平邊三角形.svg
法曰:甲乙直線上求立平邊三角形,先以甲為心、乙為界做丙丁圜,次以乙為心、甲為界作丙甲丁圜,兩圜相交于丙丁,于丁末自甲至丙、丙至乙各作直線,即甲乙丙為平邊三角形。
論曰:以甲為心至圜之界,其甲乙線與甲丙、甲丁線等,以乙為心,則乙甲線與乙丙、乙丁線亦等。何者?凡為圜心,自心至界各線俱等故。界説十五。既乙丙等于甲乙,即甲丙亦等于乙丙。公論一。三遍等,如所求。凡論有二種,此以是為論者、正論也,下倣此。
于有界直線上求立平邊三角形 - 其用法不必作兩圜.svg
其用法不必作兩圜,但以甲為心乙為界,作近丙一短線,乙為心甲為界亦如之,丙短線交處即得乙。
諸三角形俱推前用法作之。詳本篇廾二。
第二題

一直線,線或內、或外有一㸃,求以㸃為界,作直線與元線等。

一直線線或內或外有一㸃求以㸃為界作直線與元線等.svg
法曰:有甲㸃及乙丙線,求以甲為界,作一線與乙丙等。先以丙為心、乙為界 乙為心、丙為界亦可作。作丙乙圜,第三求。次觀甲㸃,若在丙乙之外,則自甲至丙作甲丙線,第一求。如上前圖;或甲在丙乙之內,則截取甲至丙一分線,如上後圖。兩法俱以甲丙線為底,任于上下作甲丁丙平邊三角形,本篇一。次自三角形兩腰線引長之,第二求。其丁丙引至丙乙圜界而止,為丙戊線;其丁甲引之出丙乙圜外稍長,為甲己線。末以丁為心、戊為界作丁戊圜,其甲己線與丁戊圜相交于庚,即甲庚線與乙丙線等。
論日:丁戊、丁庚線同以丁為心、戊庚為界,故等。界說十五。于丁戊線減丁丙、丁庚線減丁甲,其所減兩腰線等,則所存亦等。公論三。夫丙戊與丙乙同以丙為心、戊乙為界,亦等。界說十五。即甲庚與丙乙等。公論一。
若所設甲㸃即在丙乙線之一界,其法尤易。假如㸃在丙,即以丙為心作乙戊圜,從丙至戊即所求。
第三題

兩直線,一長一短,求于長線減去短線之度

兩直線一長一短求于長線減去短線之度.svg
法曰:甲短線,乙丙長線,求于乙丙減甲。先以甲為度,從乙引至別界作乙丁線,本篇二。次以乙為心、丁為界作圜,第三求。圜界與乙丙交于戊,即乙戊與等甲之乙丁等。葢乙丁、乙戊同心同圜故。界說十五。
第四題

兩三角形,若相當之兩腰線各等,各兩腰線間之角等,則兩底線必等。而兩形亦等,其餘各兩角當當者俱等

兩三角形若相當之兩腰線各等各兩腰線間之角等則兩底線必等而兩形亦等其餘各兩角當當者俱等.svg
解曰:甲乙丙、丁戊己兩三角形之甲與丁兩角等,甲丙與丁己兩線、甲乙與丁戊兩線各等。題言乙丙與戊己兩底線必等,而兩三角形亦等,甲乙丙與丁戊己兩角、甲丙乙與丁己戊兩角俱等。
論曰:如云乙丙與戊己不等,即令將甲角置丁角之上,兩角必相合,無大小;甲丙與丁己、甲乙與丁戊亦必相合,無大小。公論八。此二俱等,而云乙丙與戊己不等,必乙丙底或在戊己之上為庚、或在其下為辛矣。戊己既為直線,而戊庚己又為直線,則兩線當別作一形,是兩線能相合為形。也辛倣此。公論十二。此以非為論者,駁論也下倣此。
第五題

三角形若兩腰等,則底線兩端之兩角等,而兩腰引出之其底之外兩角亦等

三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出之其底之外兩角亦等.svg
解曰:甲乙丙三角形,其甲丙與甲乙兩腰等,題言甲丙乙與甲乙丙兩角等。又自甲丙線任引至戊、甲乙線任引至丁,其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等。
論曰:試如甲戊線稍長,即從甲戊截取一分與甲丁等,為甲己。本篇三。次自丙至丁、乙至己各作直線,第一求。即甲己乙、甲丁丙兩三角形必等。何者此兩形之甲角同,甲己與甲丁兩腰又等,甲乙與甲丙兩腰又等,則其底丙丁與乙己必等,而底線兩端相當之,各兩角亦等矣,本篇四。又乙丙己與丙乙丁兩三角形亦等。何者此兩形之丙丁乙與乙己丙兩角既等,本論。而甲己、甲丁兩腰各減相等之甲丙、甲乙線,即所存丙己、乙丁兩腰又等,公論三。丙丁與乙己兩底又等,本論。又乙丙同腰,即乙丙丁與丙乙己兩角亦等也,則丙之外乙丙己角與乙之外丙乙丁角必等矣。本篇四。次觀甲乙己與甲丙丁兩角既等,于甲乙己減丙乙己角、甲丙丁減乙丙丁角,則所存甲丙乙與甲乙丙兩角必等。公論三。
三邊形三邊線等為平邊三角形.svg
增:從前形知,三邊等形,其三角俱等。
第六題

三角形若底線两端之两角等,則两腰亦等。

三角形若底線两端之两角等,則两腰亦等。
解曰:甲乙丙三角形,其「甲乙丙」與「甲丙乙」两角等,題言「甲乙」與「甲丙」两腰亦等。
論曰:如云两腰線不等,而一長一短,試辯之。若甲乙為長線,即令比甲丙線截去所長之度,為乙丁線,而乙丁與甲丙等本篇三。次自丁至丙作直線,則本形成两三角形,其一為甲乙丙、其一為丁乙丙。而甲乙丙全形與丁乙丙分形同也,是全與其分等也公論九,何者?彼言丁乙丙分形之「乙丁」與甲乙丙全形之「甲丙」两線既等,丁乙丙分形之「乙丙」與甲乙丙全形之「乙丙」又同線,而元設丁乙丙與甲丙乙两角等,則丁乙丙與甲乙丙两形亦等也本篇四。是全與其分等也,故底線两端之两角等者,两腰必等也。
第七題

一線為底出两腰線,其相遇止有一㸃,不得别有腰線與元腰線等、而于此㸃外相遇。

第一圖
解曰:甲乙線為底,于甲于乙各出一線、至丙㸃相遇。題言此為一定之處,不得于甲上更出一線與甲丙等、乙上更出一線與乙丙等,而不于丙相遇。
第二圖
論曰:若言有别相遇于丁者,即問丁當在丙内邪?丙外邪?若言丁在丙内,則有二説,俱不可通。何者?若言丁在甲丙元線之内,則如第一圖,丁在甲丙两界之間矣——如此,即甲丁是甲丙之分,而云甲丙與甲丁等也,是全與其分等也公論九。若言丁在甲丙乙三角頂間,則如第二圖,丁在甲丙乙之間矣——即令自丙至丁作丙丁線,而乙丁、丙甲、丁丙又成两三角形;次從乙丁引出至己、從乙丙引出至戊,則乙丁丙形之乙丁、乙丙两腰等者,其底線两端之两角「乙丁丙」、「乙丙丁」宜亦等也,其底之外两角「己丁丙」、「戊丙丁」宜亦等也本篇五,而甲丁丙形之甲丁、甲丙两腰等者,其底線两端之两角「甲丙丁」、「甲丁丙」宜亦等也本篇五——夫甲丙丁角本小于戊丙丁角,而為其分;今言甲丁丙與甲丙丁两角等,則甲丁丙亦小于戊丙丁矣,何況己丁丙?又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知,何言底外两角等乎?
若言丁在丙外又有三説,俱不可通。何者?
第三圖
若言丁在甲丙元線外,是丁甲即在丙甲元線之上,則甲丙與甲丁等矣。即如上第一説駁之。
第四圖
若言丁在甲丙乙三角頂外,即如上第二説駁之。
第五圖
若言丁在丙外,而後出二線一在三角形内、一在其外,甲丁線與乙丙線相交,如第五圖。即令將丙丁相聯作直線,是甲丁丙又成一三角形,而甲丙丁宜與甲丁丙两角等也本篇五。夫甲丁丙角本小于丙丁乙角,而為其分據,如彼論,則甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣;又丙丁乙亦成一三角形,而丙丁乙宜與丁丙乙两角等也本篇五。夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而為其分據,如彼論,則丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣。此二説者,豈不自相戾乎?
第八題

两三角形,若相當之两腰各等,两底亦等,則两腰間角必等。

《幾何原本》卷一第八題第一、二圖
解曰:甲乙丙、丁戊己两三角形,其甲乙與丁戊两腰、甲丙與丁己两腰各等,乙丙與戊己两底亦等,題言甲與丁两角必等。
《幾何原本》卷一第七題第三、四圖
論曰:試以丁戊己形加于甲乙丙形之上,問丁角在甲角上邪?否邪?若在上,即两角等矣公論八。或謂不然,乃在于庚。即問庚當在丁戊線之内邪?或在三角頂之内邪?或在三角頂之外邪?皆依前論駁之本篇七
系:本題止論甲丁角,若旋轉依法論之,即三角皆同可見。凡線等則角必等,不可疑也。
第九題

有直線角,求两平分之。

第九題第一圖
法曰:乙甲丙角,求两平分之。先于甲乙線任截一分為「甲丁」本篇三,次于「甲丙」亦截「甲戊」與「甲丁」等;次自「丁」至「戊」作直線;次以「丁戊」為底立平邊三角形本篇一,為丁戊己形;末自「己」至「甲」作直線,即乙甲丙角為两平分。
論曰:丁甲己與戊甲己两三角形之甲丁與甲戊两線等,甲己同是一線,戊己與丁己两底又等何言「两底等」?初從戊丁底作此三角平形,此二線為腰各等戊丁故,則丁甲己與戊甲己两角必等本篇八
《幾何原本》卷一第九題第二圖
用法:如上截取甲丁、甲戊,即以丁為心向乙丙間任作一短界線,次用元度以戊為心亦如之,两界線交處得己本篇一
第十題

一有界線,求两平分之。

《幾何原本》卷一第十題第一圖
法曰:甲乙線求两平分,先以甲乙為底、作甲乙丙两邊等三角形本篇一,次以甲丙乙角两平分之本篇九,得丙丁直線,即分甲乙于丁。
論曰:丙丁乙、丙丁甲两三角形之丙乙、丙甲两腰等,而丙丁同線,甲丙丁與乙丙丁两角又等本篇九,則甲丁與乙丁两線必等本篇四
《幾何原本》卷一第十題第二圖
用法:以甲為心任用一度但須長于甲乙線之半,向上、向下各作一短界線;次用元度以乙為心亦如之。两界線交處即丙、丁,末作丙丁直線,即分甲乙于戊。
第十一題

一直線任于一㸃上求作垂線。

《幾何原本》卷一第十一題第一圖
法曰:甲乙直線任指一㸃于丙,求丙上作垂線。先于丙左右任用一度各截一界為丁、為戊本篇二;次以丁戊為底作两邊等角形本篇一,為丁己戊;末自「己」至「丙」作直線,即己丙為甲乙之垂線。
論曰:丁己丙與戊己丙两角形之己丁、己戊两腰等,而己丙同線,丙丁與丙戊两底又等,即两形必等,丁與戊两角亦等本篇五,丁己丙與戊己丙两角亦等本篇八、九,則「丁丙己」與「戊丙己」两角必等矣。等即是直角,直角即是垂線界説十:角,此後三角形多稱形,省文也
《幾何原本》卷一第十一題第二圖
用法:于丙㸃左右如上截取丁與戊,即以丁為心任用一度、但須長于丙丁線,向丙上方作短界線,次用元度以戊為心亦如之,两界線交處即己。
《幾何原本》卷一第十一題第三圖
又用法:于丙左右如上截取丁與戊,即任用一度以丁為心、于丙上下方各作短界線,次用元度以戊為心亦如之,則上交為己、下交為庚,末作己庚直線,視直線交于丙㸃即得。是用法又為嘗巧之法。
《幾何原本》卷一第十一題第四圖
増:若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線末甲界上,甲外無餘線可截,則于甲乙線上任取一㸃為丙,如前法于丙上立丁丙垂線,次以甲丙丁角两平分之本篇九為己丙線,次以甲丙為度于丁丙垂線上截戊丙線本篇三,次于戊上如前法立垂線與己丙線相遇為庚,末自「庚」至「甲」作直線如所求。
論曰:庚甲丙與庚丙戊两角形之甲丙、戊丙两線既等,庚丙同線,戊丙庚與甲丙庚两角又等,即甲庚、戊庚两線必等本篇四;而對同邊之甲角、戊角亦等本篇四,戊既直角,則甲亦直角。是甲庚為甲乙之垂線界説十
《幾何原本》卷一第十一題第五圖
用法:甲㸃上欲立垂線,先以甲為心向元線上方任抵一界作丙㸃;次用元度以丙為心作大半圜,圜界與甲乙線相遇為丁;次自丁至丙作直線引長之至戊,為戊丁線,戊丁與圜界相遇為己;末自「己」至「甲」作直線即所求此法今未能論,論見第三卷第三十一題
第十二題

有無界直線,線外有一㸃,求于㸃上作垂線至直線上。

《幾何原本》卷一第十二題第一圖
法曰:甲乙線外有丙㸃,求從丙作垂線至甲乙。先以丙為心作一圜令两交于甲乙線為丁、為戊;次從丁戊各作直線至丙;次两平分丁戊于己本篇十;末自「丙」至「己」作直線即丙己,為甲乙之垂線。
論曰:丙己丁、丙己戊两角形之丙丁、丙戊两線等,丙己同線,則「丙戊己」與「丙丁己」两角必等本篇八,而「丁丙己」與「戊丙己」两角又等,則「丙己丁」與「丙己戊」等皆直角本篇四,而丙己定為垂線矣。
《幾何原本》卷一第十二題第二圖
用法:以丙為心向直線两處各作短界線,為甲、為乙;次用元度以甲為心向丙㸃相望處作短界線,乙為心亦如之,两界線交處為丁;末自丙至丁作直線,則丙戊為垂線。
《幾何原本》卷一第十二題第三圖
又用法:于甲乙線上近甲、近乙任取一㸃為心,以丙為界作一圜界于丙㸃,及相望處各稍引長之;次于甲乙線上視前心或相望如前圖,或進或退如後圖,任移一㸃為心、以丙為界作一圜界,至與前圜交處得丁;末自「丙」至「丁」作直線得戊若近界作垂線無可截取,亦用此法
第十三題

一直線至他直線上所作两角,非直角、即等于两直角。

《幾何原本》卷一第十三題第一圖
解曰:甲線下至丙丁線遇于乙,其「甲乙丙」與「甲乙丁」作两角。題言此两角當是直角;若非直角,即是一鋭、一鈍,而并之等于两直角。
論曰:試于乙上作垂線為戊乙本篇十一令戊乙

 丙與戊乙丁為两直角即甲乙丁甲乙戊两鋭角并  之與戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊两鋭角  又加戊乙丙一直角并此三角定與戊乙丙戊乙丁  两直角等也公論十八次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭  直两角定與甲乙丙鈍角等也次于甲乙戊戊乙丙  鋭直两角又加甲乙丁鋭角并此三角定與甲乙丁  甲乙丙鋭鈍两角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三  角既與两直角等則甲乙丁與甲乙丙两角定與两  直角等公論一

第十四題

一直線于線上一㸃出不同方两直線偕元線每旁作  两角若每旁两角與两直角等即後出两線為一直  線

解曰:甲乙線于丙㸃上左出一線為丙丁

右出一線為丙戊若甲丙戊甲丙丁两角 與两直角等題言丁丙與丙戊是一直線

論曰:如云不然令别作一直線必從丁丙更引出一

 線或離戊而上為丁丙己或離戊而下為丁丙庚也  若上于戊則甲丙線至丁丙己直線上為甲丙己甲  丙丁两角此两角宜與两直角等本篇十三如此即甲丙 戊甲丙丁两角與甲丙己甲丙丁两角亦 等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙 己两角較之果相等乎公論三夫甲丙己本  小于甲丙戊而為其分今曰:相等是全與其分等也  公論九若下于戊則甲丙線至丁丙庚直線上為甲丙  庚甲丙丁两角此两角宜與两直角等本篇十三如此即  甲丙庚甲丙丁两角與甲丙戊甲丙丁两角亦等矣  試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙庚較之果相等  乎公論三夫甲丙戊實小于甲丙庚而為其分今曰:相  等是全與其分等也公論九两者皆非則丁丙戊是一  直線

第十五題

凡两直線相交作四角每两交角必等

解曰:甲乙與丙丁两線相交于戊題言甲戊丙與丁

戊乙两角甲戊丁與丙戊乙两角各等

論曰:丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙

 两角與两直角等本篇十三甲戊線至丙丁線上則甲戊  丙甲戊丁两角與两直角等本篇十三如此即丁戊乙甲  戊丁两角亦與甲戊丁甲戊内两角等公論十試減同  用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙两角必等公論  又丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙两角與  两直角等本篇十三乙戊線至丙丁線上則丁戊乙丙戊 乙两角與两直角等本篇十三如此即甲戊丁丁 戊乙两角亦與丁戊乙丙戊乙两角公論十試  減同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等  一系推顯两直線相交于中㸃上作四角與四直角  等  二系一㸃之上两直線相交不論幾許線幾許角定  與四直角等公論十八

増題一直線内出不同方两直線而所作两交角

等即後出两線為一直線

解曰:甲乙線内取丙㸃出丙丁丙戊两

線而所作甲丙戊丁丙乙两交角等或 甲丙丁戊丙乙两交角等題言戊丙丙丁即一直   線

論曰:甲丙戊角既與丁丙乙角等每加一戊丙乙

角即甲丙戊戊丙乙两角必與丁丙乙戊丙乙两   角等公論二而甲丙戊戊丙乙與两直角等本篇十三則 丁丙乙戊丙乙亦與两直角等是戊丙丙丁為一 直線本篇十四

第十六題

凡三角形之外角必大于相對之各角

解曰:甲乙丙角形自乙甲線引之至丁

題言外角丁甲丙必大于相對之内角  甲乙丙甲丙乙

論曰:欲顯丁甲丙角大于甲丙乙角試以甲丙線两

平分于戊本篇十自乙至戊作直線引長之 從戊外截取戊巳與乙戊等本篇三次自甲 至己作直線即甲戊己戊乙丙两角形之  戊己與戊乙两線等戊甲與戊丙两線等甲戊己乙  戊丙两交角又等本篇十五則甲己與乙丙两底亦等本篇  两形之各邊各角俱等而己甲戊與戊丙乙两角  亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分則丁甲丙大于己  甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于  相對之甲丙乙内角乎次顯丁甲丙大于甲乙丙試  自丙甲線引長之至庚次以甲乙線两平分于辛本篇  自丙至辛作直線引長之從辛外截取辛壬與丙  辛等本篇三次自甲至壬作直線依前論推顯甲辛壬  辛丙乙两角形之各邊各角俱等則壬甲辛與辛乙  丙两角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚  甲乙也庚甲乙又與丁甲丙两交角等本篇十五則甲乙  丙内角不小于丁甲丙外角乎其餘乙丙上作外角  俱大于相對之内角依此推顯

第十七題

凡三角形之每两角必小于两直角

解曰:甲乙丙角形題言甲乙丙甲丙乙两

角丙甲乙甲乙丙两角甲丙乙丙甲乙两 角皆小于两直角

論曰:試用两邊線丙甲引出至戊丙乙引出至丁即

 甲乙丁外角大于相對之甲丙乙内角矣本篇十六此两  率者每加一甲乙丙角則甲乙丁甲乙丙必大于甲  丙乙甲乙丙矣公論四夫甲乙丁甲乙丙與两直角等  也本篇十三則甲丙乙甲乙丙小于两直角也餘二倣此

第十八題

凡三角形大邊對大角小邊對小角

解曰:甲乙丙角形之甲丙邊大于甲乙邊乙

丙邊題言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙  角

論曰:甲丙邊大于甲乙邊即于甲丙線上截甲丁與

 甲乙等本篇三自乙至丁作直線則甲乙丁與甲丁乙  两角等矣本篇五夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角  必大于相對之丁丙乙内角本篇十六則甲乙丁角亦大  于甲丙乙角而況甲乙丙又函甲乙丁于其中不又  大于甲丙乙乎如乙丙邊大于甲乙邊則乙甲丙角  亦大于甲丙乙角依此推顯

第十九題

凡三角形大角對大邊小角對小邊

解曰:甲乙丙角形乙角大于丙角題言對乙

角之甲丙邊必大于對丙角之甲乙邊

論曰:如云不然令言或等或小若言甲丙與甲乙等

 則甲丙角宜與甲乙角等矣本篇五何設乙角大于丙  角也若言甲丙小于甲乙則甲丙邊對甲乙大角宜  大本篇十八又何言小也如甲角大于丙角則乙丙邊大  于甲乙邊依此推顯

第二十題

凡三角形之两邊并之必大于一邊

解曰:甲乙丙角形題言甲丙甲乙邊并之必

大于乙丙邊甲丙丙乙并之必大于甲乙甲  乙乙丙并之必大于甲丙

論曰:試于丙甲邊引長之以甲乙為度截取甲丁本篇

 自丁至乙作直線令甲丁甲乙两腰等而甲丁乙  甲乙丁两角亦等本篇五即丙乙丁角大于甲乙丁角  亦大于丙丁乙角矣夫丁丙邊對丙乙丁大角也豈  不大于乙丙邊對丙丁乙小角者乎本篇十九又甲丁甲  乙两線各加甲丙線等也則甲乙加甲丙者與丙丁  等矣丙丁既大于乙丙則甲乙甲丙两邊并必大于  乙丙邊也餘二倣此

第二十一題

凡三角形于一邊之两界出两線復作一三角形在其  内則内形两腰并之必小于相對两腰而後两線所  作角必大于相對角

解曰:甲乙丙角形于乙丙邊之两界各出一

線遇于丁題言丁丙丁乙两線并必小于甲 乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角

論曰:試用内一線引長之如乙丁引之至戊即乙甲

 戊角形之乙甲甲戊两線并必大于乙戊線也本篇二十  此二率者每加一戊丙線則乙甲甲戊戊丙并必大  于乙戊戊丙并矣公論四又戊丁丙角形之戊丁戊丙  線并必大于丁丙線也此二率者每加一丁乙線則  戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣公論四夫乙  甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙豈不更大于丁丙丁  乙乎本篇二十又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相對  之乙甲戊内角本篇十六即丁戊丙角形之乙丁丙外角  更大于相對之丁戊丙内角矣而乙丁丙角豈不更  大于乙甲丙角乎

第二十二題

三直線求作三角形其每两線并大于一線也

法曰:甲乙丙三線其第一第二線并大于

     第三線若两線比第三線或等或小即不能作三角形見本篇二十求 作三角形先任作丁戊線長于三線并次 以甲為度從丁截取丁巳線本篇三以乙為 度從己截取己庚線以丙為度從庚截取  庚辛線次以己為心丁為界作丁壬癸圜以庚為心  辛為界作辛壬癸圜其两圜相遇下為壬上為癸末  以庚巳為底作癸庚癸巳两直線即得己癸庚三角  形用壬亦可作線若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不到丑即是两 或等或小于第三線不成三角形  

論曰:此角形之丁己己癸線皆同圜之半徑等界説十五

 則己癸與甲等庚辛庚癸線亦皆同圜之半徑等則  庚癸與丙等己庚元以乙為度則角形三線與所設  三線等 用法任以一線為底以底之一界為心第 二線為度向上作短界線次以又一界為 心第三線為度向上作短界線两界線交 處向下作两腰如所求 若設一三角形求别作一形與之等亦用 此法

第二十三題

一直線任于一㸃上求作一角與所設角等

法曰:甲乙線于丙㸃求作一角與丁戊己角等先于

戊丁線任取一㸃為庚于戊巳線任取一 㸃為辛自庚至辛作直線次依甲乙線作 丙壬癸角形與戊庚辛角形等本篇卄二即丙 壬丙癸两腰與戊庚戊辛两腰等壬癸底  與庚辛底又等則丙角與戊角必等本篇八

第二十四題

两三角形相當之两腰各等若一形之腰間角大則底  亦大

解曰:甲乙丙與丁戊己两角形其甲乙與丁

戊两腰甲丙與丁巳两腰各等若乙甲丙角 大于戊丁己角題言乙丙底必大于戊巳底

論曰:試依丁戊線從丁㸃作戊丁庚角與乙

甲丙角等本篇卄三則戊丁庚角大于戊丁己角 而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚線與丁 巳等本篇三即丁庚丁巳俱與甲丙等又自戊 至庚作直線是甲乙與丁戊甲丙與丁庚腰 線各等乙甲丙與戊丁庚两角亦等而乙丙 與戊庚两底必等也本篇四次問所作戊庚底 今在戊巳底上邪抑同在一線邪抑在其下 邪若在上即如第二圖自己至庚作直線則 丁庚己角形之丁庚丁巳两腰等而丁庚己 與丁己庚两角亦等矣本篇五夫戊庚己角乃 丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相 等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分則 戊庚己益小于戊巳庚也公論九則對戊庚己 小角之戊己腰必小于對戊己庚大角之戊 庚腰也本篇十九若戊巳與戊庚两底同線即如 第四圖戊己乃戊庚之分則戊己必小于戊  庚也公論九若戊庚在戊巳之下即如第六圖自己至  庚作直線次引丁庚線出于壬引丁巳線出于辛則  丁庚丁巳两腰等而辛巳庚壬庚己两外角亦等矣  本篇五夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己  亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之  分則戊庚巳益小于戊己庚也公論九則對戊庚己小  角之戊巳腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也本篇  十九是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙本篇四

第二十五題

两三角形相當之两腰各等若一形之底大則腰間角  亦大

解曰:甲乙丙與丁戊己两角形其甲乙與丁戊甲丙

與丁巳各两腰等若乙丙底大于戊巳底題 言乙甲丙角大于戊丁巳角

論曰:如云不然令言或小或等若言等則两

 形之两腰各等腰間角又等宜两底亦等本篇四何設  乙丙底大也若言乙甲丙角小則對乙甲丙角之乙  丙線宜亦小本篇廿四何設乙丙底大也

第二十六題二支

两三角形有相當之两角等及相當之一邊等則餘两  邊必等餘一角亦等其一邊不論在两角之内及一  角之對

先解一邊在两角之内者曰:甲乙丙角形之 甲乙丙甲丙乙两角與丁戊己角形之丁戊 巳丁巳戊两角各等在两角内之乙丙邊與  戊巳邊又等題言甲乙與丁戊两邊甲丙與丁巳两  邊各等而乙甲丙角與戊丁巳角亦等

論曰:如云两邊不等而丁戊大于甲乙令于丁戊線

 截取庚戊與甲乙等本篇三次自庚至己作直線即庚  戊巳角形之庚戊戊巳两邊宜與甲乙乙丙两邊等  矣夫乙角與戊角元等則甲丙與庚巳宜等本篇四而  庚巳戊角與甲丙乙角宜亦等也本篇四既設丁己戊  與甲丙乙两角等今又言庚己戊與甲丙乙两角等 是庚己戊與丁己戊亦等全與其分等矣公論 以此見两邊必等两邊既等則餘一角亦  等 後解相等邊不在两角之内而在一角之對 者曰:甲乙丙角形之乙角丙角與丁戊己角 形之戊角丁己戊角各等而對丙之甲乙邊  與對己之丁戊邊又等題言甲丙與丁己两邊丙乙  與己戊两邊各等而甲角與戊丁己角亦等

論曰:如云两邊不等而戊己大于乙丙令于戊己線

 截取戊庚與乙丙等本篇三次自丁至庚作直線即丁  戊庚角形之丁戊戊庚两邊宜與甲乙乙丙两邊等  矣夫乙角與戊角元等則甲丙與丁庚宜等本篇四而  丁庚戊角與甲丙乙角宜亦等也既設丁巳戊與甲  丙乙两角等今又言丁庚戊與甲丙乙两角等是丁  庚戊外角與相對之丁巳戊内角等矣本篇十六可乎以  此見两邊必等两邊既等則餘一角亦等

第二十七題

两直線有他直線交加其上若内相對两角等即两直  線必平行

解曰:甲乙丙丁两直線加他直線戊己交于

庚于辛而甲庚辛與丁辛庚两角等題言甲 乙丙丁两線必平行

論曰:如云不然則甲乙丙丁两直線必至相

 遇于壬而庚辛壬成三角形則甲庚辛外角宜大于  相對之庚辛壬内角矣本篇十六乃先設相等乎若設乙  庚辛角與丙辛庚角等亦依此論若言甲乙丙丁两  直線相遇于癸亦依此論

第二十八題二支

两直線有他直線交加其上若外角與同方相對之内  角等或同方两内角與两直角等即两直線必平行

先解曰:甲乙丙丁两直線加他直線戊己交

于庚于辛其戊庚甲外角與同方相對之庚 辛丙内角等題言甲乙丙丁两線必平行

論曰:乙庚辛角與相對之内角丙辛庚等本篇

 卄七戊庚甲與乙庚辛两交角亦等本篇十五即两直線必  平行  後解曰:甲庚辛丙辛庚两内角與两直角等題言甲  乙丙丁两線必平行

論曰:甲庚辛丙辛庚两角與两直角等而甲庚戊甲

 庚辛两角亦與两直角等本篇十三試減同用之甲庚辛  即所存甲庚戊與丙辛庚等矣既外角與同方相對  之内角等即甲乙丙丁必平行本題

第二十九題三支

两平行線有他直線交加其上則内相對两角必等外角  與同方相對之内角亦等同方两内角亦與两直角等

先解曰:此反前二題故同前圖有甲乙丙丁

二平行線加他直線戊巳交于庚于辛題言 甲庚辛與丁辛庚内相對两角必等

論曰:如云不然而甲庚辛大于丁辛庚則丁辛庚加

 辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣公論四夫辛庚甲  辛庚乙元與两直角等本篇十三據如彼論則丁辛庚辛  庚乙两角小于两直角而甲乙丙丁两直線向乙丁  行必相遇也公論十一可謂平行線乎

次解曰:戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等
論曰:乙庚辛與相對之丙辛庚两内角等本題則乙庚

 辛交角相等之戊庚甲本篇十五與丙辛庚必等公論一  後解曰:甲庚辛丙辛庚两内角與两直角等

論曰:戊庚甲與庚辛丙两角既等本題而每加一甲庚

 辛角則庚辛丙甲庚辛两角與甲庚辛戊庚甲两角  必等公論二夫甲庚辛戊庚甲本與两直角等本篇十三則  甲庚辛丙辛庚两内角亦與两直角等

第三十題

两直線與他直線平行則元两線亦平行

解曰:此題所指線在同面者不同面線後别有論如

 甲乙丙丁两直線各與他線戊巳平行題言甲乙與  丙丁亦平行

論曰:試作庚辛直線交加于三直線甲乙于壬戊巳

 于子丙丁于癸其甲乙與戊巳既平  行即甲壬子與相對之己子壬两内  角等本篇廿九丙丁與戊巳既平行即丁  癸子内角與己子壬外角亦等本篇廿九  丁癸子與甲壬子亦為相對之内角亦等公論一而甲  乙丙丁為平行線本篇廿七

第三十一題

一㸃上求作直線與所設直線平行

法曰:甲㸃上求作直線與乙丙平行先從甲㸃

向乙丙線任指一處作直線為甲丁即乙丙線上 成甲丁乙角次于甲㸃上作一角與甲丁乙等本篇  廿三為戊甲丁從戊甲線引之至己即己戊與乙丙平行

論曰:戊己乙丙两線有甲丁線聯之其所作戊甲丁

 與甲丁乙相對之两内角等即平行線本篇廿七 増從此題生一用法設一角两線求作有法四邊 形有角與所設角等两两邊線與所設線等

法曰:先作己丁戊角與丙等次截丁戊

線與甲等己丁線與乙等末依丁戊平 行作己庚依己丁平行作庚戊即所求 本題用法于甲㸃求作直線與乙丙平行 先作甲丁線次以丁為心任作戊己圜界 次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長于 戊己次取戊己圜界為度于庚辛圜界截取庚辛 末自甲至辛作直線各引長之即所求 又用法以甲㸃為心于乙丙線近乙處任 指一㸃作短界線為丁次用元度以丁為 心于乙丙上向丙截取一分作短界線為 戊次用元度以戊為心向上與甲平處作短界線 又用元度以甲為心向甲平處作短界線後两界 線交處為己自甲至己作直線各引長之即所求

第三十二題二支

凡三角形之外角與相對之内两角并等凡三角形之  内三角并與两直角等

先解曰:甲乙丙角形試從乙丙邊引至丁題言甲丙

丁外角與相對之内两角甲乙并等

論曰:試作戊丙線與甲乙平行本篇三一令甲丙

為甲乙戊丙之交加線則乙甲丙角與相對  之甲丙戊角等本篇卄九又乙丁線與两平行線相遇則  戊丙丁外角與相對之甲乙丙内角等本篇廿九既甲丙  戊與乙甲丙等而戊丙丁與甲乙丙又等則甲丙丁  外角與内两角甲乙并等矣  後解曰:甲乙丙三角并與两直角等

論曰:既甲丙丁角與甲乙两角并等更于甲丙丁加

 甲丙乙則甲丙丁甲丙乙两角并與甲乙丙内三角  并等矣公論二夫甲丙丁甲丙乙并元與两直角等本篇  十三則甲乙丙内三角并亦與两直角等 増從此推知凡第一形當两直角第二形當四直 角第三形當六直角自此以上至于無窮每命形     之數倍之為所當直角之數凡一線二線不能為形故三邊     為第一形四邊為第二形五邊為第三形六邊為第四形倣此以至無窮又視每 形邊數減二邊即所存邊數是本形之數

論曰:如上四圖第一形三邊減二邊存一邊

即是本形一數倍之當两直角本題第二形四 邊減二邊存二邊即是本形二數倍之當四 直角欲顯此理試以第二形作一對角線成两三 角形每形當两直角并之則當四直角矣第三形 五邊減二邊存三邊即是本形三數倍之當 六直角欲顯此理試以第三形作两對角線 成三三角形每形當两直角并之亦當六直 角矣其餘依此推顯以至無窮

又一法每形視其邊數每邊當两直角而減

四直角其存者即本形所當直角

論曰:欲顯此理試于形中任作一㸃從此㸃向各

角俱作直線令每形所分角形之數如其邊數每 一分形三角當二直角本題其近㸃之處不論 幾角皆當四直角本篇十五之系次減近㸃諸角即 是減四直角其存者則本形所當直角如上 第四形六邊中間任指一㸃從㸃向各角分 為六三角形每一分形三角六形共十八角 今于近㸃處減當四直角之六角所存近邊 十二角當八直角餘倣此  一系凡諸種角形之三角并俱相等本題増  二系凡两腰等角形若腰間直角則餘两角每當直  角之半腰間鈍角則餘两角俱小于半直角腰間鋭  角則餘两角俱大于半直角  三系平邊角形每角當直角三分之二  四系平邊角形若從一角向對邊作垂線分為两角  形此分形各有一直角在垂線之下两旁則垂線之  上两旁角每當直角三分之一其餘两角每當直角  三分之二 増從三系可分一直角為三平分其法任 于一邊立平邊角形次分對直角一邊為 两平分從此邊對角作垂線即所求如上圖甲乙 丙直角求三分之先于甲乙線上作甲乙丁平邊   角形本篇一次平分甲丁于戊本篇九末作乙戊直線

第三十三題

两平行相等線之界有两線聯之其两線亦平行亦相  等

解曰:甲乙丙丁两平行相等線有甲丙乙丁

两線聯之題言甲丙乙丁亦平行相等線

論曰:試作甲丁對角線為甲乙丙丁之交加

 線即乙甲丁丙丁甲相對两内角等本篇卄九又甲丁線  上下两角形之甲乙丙丁两邊既等甲丁同邊則對  乙甲丁角之乙丁線與對丙丁甲角之甲丙線亦等  本篇卄九而乙丁甲與丙甲丁两角亦等也本篇四此两角  者甲丙乙丁之内相對角也两角既等則甲丙乙丁  两線必平行本篇廿七

第三十四題

凡平行線方形每相對两邊線各等每相對两角各等  對角線分本形两平分

解曰:甲乙丁丙平行方形界説三五題言甲乙與

丙丁两線甲丙與乙丁两線各等又言乙與 丙两角乙甲丙與丙丁乙两角各等又言若  作甲丁對角線即分本形為两平分

論曰:甲乙與丙丁既平行則乙甲丁與丙丁甲相對

 之两内角等本篇廿九甲丙與乙丁既平行則乙丁甲與  丙甲丁相對之两内角等本篇廿九甲乙丁角形之乙甲  丁乙丁甲两角與甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁两  角既各等甲丁同邊則甲乙與丙丁甲丙與乙丁俱  等也而丙角與相對之乙角亦等矣本篇廿六又乙丁甲  角加丙丁甲角與丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙  甲丙與丙丁乙相對两角亦等也公論二又甲乙丁甲  丁丙两角形之甲乙乙丁两邊與丁丙丙甲两邊各  等腰間之乙角與丙角亦等則两角形必等本篇四而  甲丁線分本形為两平分

第三十五題

两平行方形若同在平行線内又同底則两形必等

解曰:甲乙丙丁两平行線内有丙丁戊甲與

丙丁乙巳两平行方形同丙丁底題言此两 形等等者不謂腰等角等謂所函之地等後  言形等者多倣此

先論曰:設己在甲戊之内其丙丁戊甲與丙丁乙己

 皆平行方形丙丁同底則甲戊與丙丁巳乙與丙丁  各相對之两邊各等本篇三四而甲戊與己乙亦等公論一  試于甲戊己乙两線各減己戊即甲己與戊乙亦等  公論三而甲丙與戊丁元等本篇三四乙戊丁外角與己甲  丙内角又等本篇廿九則乙戊丁與己甲丙两角形必等  矣本篇四次于两角形每加一丙丁戊己無法四邊形  則丙丁戊甲與丙丁乙己两平行方形等也公論二

次論曰:設己戊同㸃依前甲戊與戊乙等乙

戊丁與戊甲丙两角形等本篇四而每加一戊 丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁乙戊两平行 方形必等公論二

後論曰:設己㸃在戊之外而丙己與戊丁两

線交于庚依前甲戊與己乙两線等而每加 一戊己線即戊乙與甲己两線亦等公論二因 顯己甲丙與乙戊丁两角形亦等本篇四次每 減一己戊庚角形則所存戊庚丙甲與乙己 庚丁两無法四邊形亦等公論三次于两無法 形每加一庚丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁  乙己两平行方形必等公論二

第三十六題

两平行線内有两平行方形若底等則形亦等

解曰:甲乙丙丁两平行線内有甲丙戊己與庚辛丁

乙两平行方形而丙戊與辛丁两底等題言 两形亦等

論曰:試自丙至庚戊至乙各作直線相聯其

 丙戊庚乙各與辛丁等則丙戊與庚乙亦等本篇卅四庚  乙與丙戊既平行線則庚丙與乙戊亦平行線本篇卅三  而甲丙戊己與庚丙戊乙两平行方形同丙戊底者  等矣本篇三五庚辛丁乙與庚丙戊乙两平行方形同庚  乙底者亦等矣本篇三五既爾則庚辛丁乙與甲丙戊己  亦等公論一

第三十七題

两平行線内有两三角形若同底則两形必等

解曰:甲乙丙丁两平行線内有甲丙丁乙丙

丁两角形同丙丁底題言两形必等

論曰:試自丁至戊作直線與甲丙平行次自

 丁至己作直線與乙丙平行本篇三一夫甲丙丁戊乙丙  丁己两平行方形在甲乙丙丁两平行線内同丙丁 底既等本篇三五則甲丙丁角形為甲丙丁戊方 形之半與乙丙丁角形為乙丙丁己方形之     半者甲丁乙丁两對角線平分两方形見本篇卅四亦等公論七

第三十八題

两平行線内有两三角形若底等則两形必等

解曰:甲乙丙丁两平行線内有甲丙戊與乙

己丁两角形而丙戊與己丁两底等題言两 形必等

論曰:試自庚至戊辛至丁各作直線與甲丙乙己平

 行本篇卅一其甲丙戊庚與乙己丁辛两平行方形既等  本篇卅六則甲丙戊與乙己丁两角形為两方形之半者  本篇卅四亦等公論七 増凡角形任于一邊两平分之向對角作 直線即分本形為两平分

論曰:甲乙丙角形試以乙丙邊两平分于丁本篇十

自丁至甲作直線即甲丁線分本形為两平分何   者試于甲角上作直線與乙丙平行本篇卅一則甲乙 丁甲丁丙两角形在两平行線内两底等两形亦   等本題 二増題凡角形任于一邊任作一㸃求從 㸃分本形為两平分

法曰:甲乙丙角形從丁㸃求两平分先自

丁至相對甲角作甲丁直線次平分乙丙線于戊   本篇十作戊己線與甲丁平行本篇卅一末作己丁直線 即分本形為两平分

論曰:試作甲戊直線即甲戊己己丁戊两角形在

两平行線内同己戊底者等而每加一己戊丙形 則己丁丙與甲戊丙两角形亦等公論二夫甲戊丙 為甲乙丙之半本題増則己丁丙亦甲乙丙之半

第三十九題

两三角形其底同其形等必在两平行線内

解曰:甲乙丙與丁丙乙两角形之乙丙底同其形復

等題言在两平行線内者蓋云自甲至丁 作直線必與乙丙平行

論曰:如云不然令從甲别作直線與乙丙

平行本篇卅一必在甲丁之上或在其下矣設  在上為甲戊而乙丁線引出至戊即作戊丙直線是  甲乙丙宜與戊丙乙两角形等矣本篇卅七夫甲乙丙與  丁丙乙既等而與戊丙乙復等是全與其分等也公論  設在甲丁下為甲己即作己丙直線是己丙乙與  丁丙乙亦等如前駁之

第四十題

两三角形其底等其形等必在两平行線内

解曰:甲乙丙與丁戊己两角形之乙丙與

戊己两底等其形亦等題言在两平行線 内者蓋云自甲至丁作直線必與乙己平  行

論曰:如云不然令從甲别作直線與乙己平行本篇卅一

 必在甲丁之上或在其下矣設在上為甲庚而戊丁  線引出至庚即作庚己直線是甲乙丙宜與庚戊己  两角形等矣本篇三八夫甲乙丙與丁戊己既等而與庚  戊己復等是全與其分等也公論九設在甲丁下為甲  辛即作辛己直線是辛戊己與丁戊己亦等如前駁之

第四十一題

两平行線内有一平行方形一三角形同底則方形倍  大于三角形

解曰:甲乙丙丁两平行線内有甲丙丁戊方

形乙丁丙角形同丙丁底題言方形倍大于 角形

論曰:試作甲丁直線分方形為两平分則甲丙丁與

 乙丁丙两角形等矣本篇卅七夫甲丙丁戊倍大于甲丙  丁本篇卅三必倍大于乙丁丙

第四十二題

有三角形求作平行方形與之等而方形角有與所設  角等

法曰:設甲乙丙角形丁角求作平行方形與

甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為两平 分如乙丙邊平分于戊本篇十次作丙戊己角  與丁角等本篇廿次自甲作直線與乙丙平行本篇卅一而  與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為丙  庚本篇卅一而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方  形與甲乙丙角形等

論曰:試自甲至戊作直線其甲戊丙角形與己戊丙

 庚平行方形在两平行線内同底則己戊丙庚倍大  于甲戊丙矣本篇四一夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙本篇卅八  即與己戊丙庚等公論六

第四十三題

凡方形對角線旁两餘方形自相等

解曰:甲乙丙丁方形有甲丙對角線題言两旁之乙

 壬庚戊與庚己丁辛两餘方形界説卅六必等

論曰:甲乙丙甲丙丁两角形等本篇卅四甲戊庚

甲庚辛两角形亦等本篇卅四而于甲乙丙減甲 戊庚于甲丙丁減甲庚辛則所存乙丙庚戊 與庚丙丁辛两無法四邊形亦等矣公論三又 庚壬丙己角線方形之庚丙己庚丙壬两角 形等本篇三四而于两無法四邊形每減其一則  所存乙壬庚戊與庚己丁辛两餘方形安得不等公論三

第四十四題

一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角  有與所設角等

法曰:設甲線乙角形丙角求于甲線上作

平行方形與乙角形等而有丙角先作丁 戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚 角與丙角等本篇四二次于庚己線引長之作 己辛線與甲等次作辛壬線與戊己平行 本篇三一次于丁戊引長之與辛壬線遇于壬  次自壬至己作對角線引出之又自丁庚引長之與  對線角遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬  辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子  線得丑即己丑子辛平行方形如所求

論曰:此方形之己辛線與甲等而辛己丑角為戊己

 庚之交角本篇十五則與丙等又本形與戊己庚丁同為  餘方形等本篇四三則與乙角形等

第四十五題

有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有  與所設角等

法曰:設甲乙丙五邊形丁角求作平行

方形與五邊形等而有丁角先分五邊 形為甲乙丙三三角形次作戊己庚辛 平行方形與甲等而有丁角本篇四二次于  戊辛己庚两平行線引長之作庚辛壬癸平行方形  與乙等而有丁角本篇四四末復引前線作壬癸子丑平  行方形與丙等而有丁角本篇四四即此三形并為一平  行方形與甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至  無窮俱倣此法

論曰:戊己庚與辛庚癸两角等而每加一己庚辛角

 即辛庚癸己庚辛两角定與己庚辛戊己庚两角等  夫己庚辛戊己庚是两平行線内角與两直角等也  本篇廿九則己庚辛辛庚癸亦與两直角等而己庚庚癸  為一直線也本篇十四又戊辛庚與戊己庚两對角等而  辛壬癸與辛庚癸两對角亦等則戊己庚辛庚辛壬  癸皆平行方形也本篇卅四壬癸子丑依此推顯本篇三十即  與戊己癸壬并為一平行方形矣

増題两直線形不等求相減之較幾何
法曰:甲與乙两直線形甲大于乙以乙

減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行 方形與甲等次于丙丁線上依丁角作 丁丙辛庚平行方形與乙等本題即得辛 庚戊己為相減之較矣何者丁丙己戊之大于丁 丙辛庚較餘一辛庚戊己也則甲大于乙亦辛庚 戊己也

第四十六題

一直線上求立直角方形

法曰:甲乙線上求立直角方形先于甲乙两

界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等  本篇十一次作丁丙線相聯即甲乙丙丁為直角方形

論曰:甲乙两角俱直角則丁甲丙乙為平行線本篇廿八

 此两線自相等則丁丙與甲乙亦平行線本篇三三而甲  乙丙丁四線俱平行俱相等又甲乙俱直角則相對  丁丙亦俱直角本篇卅四而甲乙丙丁定為四直角方形

第四十七題

凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘两邊  上所作两直角方形并等

解曰:甲乙丙角形于對乙甲丙直角之乙丙邊上作

乙丙丁戊直角方形本篇四六題言此形與 甲乙邊上所作甲乙己庚及甲丙邊上 所作甲丙辛壬两直角方形并等

論曰:試從甲作甲癸直線與乙戊丙丁

平行本篇卅一分乙丙邊于子次自甲 至丁至戊各作直線末自乙至辛自丙  至己各作直線其乙甲丙與乙甲庚既皆直角即庚  甲甲丙是一直線本篇十四依顯乙甲甲壬亦一直線又  丙乙戊與甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即  甲乙戊與丙乙己两角亦等公論二依顯甲丙丁與乙  丙辛两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两邊與  丙乙己角形之己乙乙丙两邊等甲乙戊與丙乙己  两角復等則對等角之甲戊與丙己两邊亦等而此  两角形亦等矣本篇四夫甲乙己庚直角方形倍大于  同乙己底同在平行線内之丙乙己角形本篇四一而乙  戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行線内  之甲乙戊角形則甲乙己庚不與乙戊癸子等乎公論  依顯甲丙辛壬直角方形與丙丁癸子直角形等  則乙戊丁丙一形與甲乙己庚甲丙辛壬两形并等  矣

一増凡直角方形之對角線上作直角方 形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之 甲丙線上作直角方形倍大于甲乙丙丁形 二増題設不等两直角方形如一以甲為邊一以 乙為邊求别作两直角方形自相等而并之又與 元設两形并等

法曰:先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直

角而丙丁線與乙等次作戊丁線相聨末 于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己   戊己丁两腰遇于己公論十一而等本篇六即己戊己丁 两線上所作两直角方形自相等而并之又與丙 戊丙丁上所作两直角方形并等

論曰:己丁戊己戊丁两角既皆半于直角則丁己

  戊為直角本篇卅二而對直角之丁戊線上所作直角 方形與两腰線上所作两直角方形并等矣本題己 戊與己丁既等則其上所作两直角方形自相等 矣又丁戊線上所作直角方形與丙丁丙戊線上 所作两直角方形并既等則己戊己丁上两直角 方形并與丙戊丙丁上两直角方形并亦等 三増題多直角方形求并作一直角方形與之等

法曰:如五直角方形以甲乙丙丁戊為

邊任等不等求作一直角方形與五形 并等先作己庚辛直角而己庚線與甲 等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己 辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線 旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線旋 作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線題言 己子線上所作直角方形即所求

論曰:己辛上作直角方形與甲乙两形并等本題

壬上作直角方形與己辛及丙两形并等餘倣此 推顯可至無窮

四増三邊直角形以两邊求第三邊長短 之數

法曰:甲乙丙角形甲為直角先得甲乙甲

丙两邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長 短之數其甲乙甲丙上所作两直角方形并既與   乙丙上所作直角方形等本題則甲乙之羃自乘之數曰:羃 得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙 之羃亦百百開方得十即乙丙數十也又設先得 甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之數其甲 乙甲丙上两直角方形并既與乙丙上直角方形 等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百 百減三十六得甲丙之羃六十四六十四 開方得八即甲丙八也求甲乙倣此 此 以開方盡實者為例其不盡實者自具筭家分法

第四十八題

凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作两直角方形并等,則對一邊之角必直角。

《幾何原本》卷一第四十八題
解曰:此反前題,如甲乙丙角形,其甲丙邊上所作直角方形與甲乙、乙丙邊上所作两直角方形并等。題言甲乙丙角必直角。
論曰:試于乙上作甲乙丁直角,而乙丁與乙丙两線等;次作丁甲線相聯,其甲乙丁既直角,則甲丁上直角方形與甲乙、乙丁上两直角方形并等本篇四七。而甲乙、乙丁上两直角方形并與甲乙、乙丙上两直角方形并又等甲乙同乙丁乙丙等故,即丁甲上直角方形與甲丙上直角方形必等。夫甲乙丁角形之甲乙、乙丁两腰與甲乙丙角形之甲乙、乙丙两腰既等,而丁甲、甲丙两底又等,則對底線之两角亦等本篇八。甲乙丁既直角,即甲乙丙亦直角。

 

幾何原本卷一


PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。