几何原本/卷一

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几何原本 卷一

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西洋利玛窦译

卷一之首

界说三十六则

凡造论，先当分别解说论中所用名目，故曰界说。

凡历法、地理、乐律、算章、技艺、工巧诸事，有度有数者，皆依赖十府中几何府属。凡论几何，先从一点始。自点引之为线，线展开为靣，靣积为体。是名三度。

第一界

点者无分

无长短、广狭、厚薄　如下图。〈凡图十干为识，干尽用十二支，支尽用八卦八音〉

第二界

线有长无广

试如一平靣，光照之，有光无光之间不容一物，是线也。真平真圆相遇，其相遇处止有一点，行则止有一线。

线有直有曲

第三界

线之界是点 〈凡线有界者，两界必是点。〉

第四界

直线止有两端，两端之间上下更无一点

两点之间至径者，直线也。稍曲则绕而长矣。

直线之中点，能遮两界。

凡量远近，皆用直线。

甲乙丙是直线。甲丁丙、甲戊丙、甲己丙皆是曲线。

第五界

靣者，止有长有广

一体所见为靣。

凡体之影，极似于靣。〈无厚之极。〉

想一线横行所留之迹，即成靣也。

第六界

靣之界是线

第七界

平靣一靣平在界之内

平靣中间线能遮两界。

平靣者诸方皆作直线。

试如一方靣，用一直线施于一角，绕靣运转。转不碍于空，是平靣也。 若曲靣者，则中间线不遮两界。

第八界

平角者，两条直线于平靣纵横相遇交接处

凡言甲乙丙角皆指平角。

	如上甲乙、乙丙二线平行相遇，不能作角。
	如上甲乙、乙丙二线虽相遇，不作平角，为是曲线。

所谓角止是两线相遇，不以线之大小较论。

第九界

直线相遇作角为直线角

平地两直线相遇为直线角。本书中所论，止是直线角，但作角有三等，今附著于此：一直线角、二曲线角、三杂线角　如下六图。

第十界

直线垂于横直线之上，若两角等，必两成直角，而直线下垂者谓之横线之垂线

量法常用两直角及垂线，垂线加于横线之上，必不作锐及钝角。

若甲乙线至丙丁上，则乙之左右作两角相等，为直角，而甲乙为垂线。 若甲乙为横线，则丙丁又为甲乙之垂线。何者丙乙与甲乙相遇，虽止一直角，然甲线若垂下过乙，则丙线上下定成两直角，所以丙乙亦为甲乙之垂线。〈如今用短尺，一緃一横，互相为直线，互相为垂线。〉 凡直线上有两角相连，是相等者，定俱直角中间线为垂线。 反用之，若是直角，则两线定俱是垂线。

第十一界

凡角大于直角为钝角

如甲乙丙角与甲乙丁角不等，而甲乙丙大于甲乙丁，则甲乙丙为钝角。

第十二界

凡角小于直角为锐角

如前图甲乙丁是。

通上三界论之直角，一而已钝角，锐角其大小不等，乃至无数。

是后凡指言角者，俱用三字为识，其第二字即所指角也　如前图甲乙丙三字，第二乙字即所指钝角。

若言甲乙丁，即第二乙字是所指锐角。

第十三界

界者，一物之终始

今所论有三界，点为线之界，线为靣之界，靣为体之界，体不可为界。

第十四界

或在一界、或在多界之间为形

一界之形如平圆、立圆等物；多界之形如平方、立方及平立三角、六八角等物　图见后卷。

第十五界

圜者，一形于平地，居一界之间，自界至中心作直线俱等

若甲乙丙为圜，丁为中心，则自甲至丁与乙至丁、丙至丁其线俱等。 外圆线为圜之界内形为圜。 一说圜是一形，乃一线屈转一周，复于元处所作。如上图，甲丁线转至乙丁，乙丁转至丙丁，丙丁又至甲丁复元处，其中形即成圜。

第十六界

圜之中处为圜心

第十七界

自圜之一界作一直线，过中心至他界为圜径，径分圜两平分

甲丁乙戊圜自甲至乙，过丙心作一直线，为圜径。

第十八界

径线与半圜之界所作形为半圜

第十九界

在直线界中之形为直线形

第二十界

在三直线界中之形为三边形

第二十一界

在四直线界中之形为四边形

第二十二界

在多直线界中之形为多边形 〈五边以上俱是。〉

第二十三界

三边形三边线等为平边三角形

第二十四界

三边形有两边线等为两边等三角形 〈或锐或钝。〉

第二十五界

三边形三边线俱不等为三不等三角形

第二十六界

三边形有一直角为三边直角形

第二十七界

三边形有一钝角为三边钝角形

第二十八界

三边形有三锐角为三边各锐角形

凡三边形恒以在下者为底，在上二边为腰。

第二十九界

四边形四边线等，而角直，为直角方形

第三十界

直角形其角俱是直角，其边两两相等

如上甲乙丙丁形，甲乙边与丙丁边自相等，甲丙边与乙丁自相等。

第三十一界

斜方形四边等，俱非直角

第三十二界

长斜方形其边两两相等，俱非直角

第三十三界

以上方形四种，谓之有法；四边形四种之外他方形，皆谓之无法四边形

第三十四界

两直线于同靣行至无穷不相离，亦不相远，而不得相遇，为平行线

第三十五界

一形每两边有平行线，为平行线方形

第三十六界

凡平行线方形，若于两对角作一直线，其直线为对角线。又于两边纵横各作一平行线，其两平行线与对角线交罗相遇，即此形分为四平行线方形，其两形有对角线者，为角线方形；其两形无对角线者，为馀方形

甲乙丁丙方形，于丙乙两角作一线，为对角线。又依乙丁平行作戊己线，依甲乙平行作庚辛线，其对角线与戊己、庚辛两线交罗相遇于壬，即作大小四平行线方形矣，则庚壬己丙及戊壬辛乙两方形，谓之角线方形，而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之馀方形。

求作四则

求作者，不得言不可作。

第一求

自此点至彼点求作一直线

此求亦出上篇，盖自此点直行至彼点，即是直线。自甲至乙、或至丙、至丁俱可作直线。

第二求

一有界直线，求从彼界直行引长之

如甲乙线，从乙引至丙、或引至丁俱一直行。

第三求

不论大小，以点为心求作一圜

第四求

设一度于此，求作彼度较此度或大或小，〈凡言度者，或线、或面、或体皆是。〉或言较小，作大可作；较大作小不可作。何者小之至极，数穷尽故也，此说非是，凡度与数不同。数者，可以长，不可以短。长数无穷，短数有限。如百数减半成五十、减之又减至一而止，一以下不可损矣。自百以上，增之可至无穷，故曰可长不可短也。度者，可以长，亦可以短。长者，增之可至无穷；短者，减之亦复无尽。尝见庄子称一尺之棰，取其半，万世不竭， 亦此理也。何者，自有而分，不免为有，若减之可尽，是有化为无也。有化为无，犹可言也。令已分者更复合之，合之又合，仍为尺棰。是始合之初，两无能并，为一有也。两无能并为一有，不可言也。

公论十九则

公论者，不可疑。

第一论

设有多度，彼此俱与他等，则彼与此自相等

第二论

有多度等，若所加之度等，则合并之度亦等

第三论

有多度等，若所减之度等，则所存之度亦等

第四论

有多度不等，若所加之度等，则合并之度不等

第五论

有多度不等，若所减之度等，则所存之度不等

第六论

有多度俱倍于此度，则彼多度俱等

第七论

多多度俱半于此度，则彼多度亦等

第八论

有二度自相合，则二度必等 〈以一度加一度之上。〉

第九论

全，大于其分 〈如一尺大于一寸。寸者，全尺中十分中之一分也。〉

第十论

直角俱相等 〈见：界说十。〉

第十一论

有二横直线，或正、或偏，任加一纵线，若三线之间同方，两角小于两直角，则此二横直线愈长、愈相近，必至相遇。甲乙、丙丁二横直线，任意作一戊己纵线，或正、或偏，若戊己线同方，两角俱小于直角，或并之小于两直角，则甲乙、丙丁线愈长、愈相近，必有相遇之处。

欲明此理，宜察平行线不得相遇者，〈界说卅四。〉加一垂线，即三线之间定为直角，便知此论。两角小于直角者，其行不得不相遇矣。

第十二论

两直线不能为有界之形

第十三论

两直线止能于一点相遇

如云线长界近，相交不止一点，试于丙乙二界各出直线交于丁。假令其交不止一点，当引至甲，则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径，而甲丁丙亦如之。〈界说十七。〉夫甲丁乙圜之右半也，而甲丁丙亦右半也，〈界说十七。〉甲丁乙为全，甲丁丙为其分，而俱称，右半是全，与其分等也。〈本篇九。〉

第十四论

有几何度等，若所加之度各不等，则合并之差与所加之差等

甲乙、丙丁线等。于甲乙加乙戊，于丙丁加丁己，则甲戊大于丙己者，庚戊线也。而乙戊大于丁己亦如之。

第十五论

有几何度不等，若所加之度等，则合并所𫎣之度与元所𫎣之度等

如上图反说之。戊乙、己丁线不等，于戊乙加乙甲，于己丁加丁丙，则戊甲大于己丙者，戊庚线也。而戊乙大于己丁亦如之。

第十六论

有几何度等，若所减之度不等，则馀度所𫎣之度与减去所𫎣之度等

甲乙、丙丁线等。于甲乙减戊乙，于丙丁减己丁，则乙戊大于丁己者，庚戊也。而丙己大于甲戊亦如之。

第十七论

有几何度不等，若其减之度等，则馀度所𫎣之度与元所𫎣之度等

如十四论反说之。甲戊、丙己线不等。于甲戊减甲乙，于丙己减丙丁，则乙戊长于丁己者，亦庚戊也。与甲戊长于丙己者等矣。

第十八论

全，与诸分之并等

第十九论

有二全度，此全倍于彼全。若此全所减之度倍于彼全所减之度，则此较亦倍于彼较 〈相减之馀曰：较。〉

如此度二十，彼度十。于二十减六，于十减三，则此较十四，彼较七。

卷一

西洋利玛窦撰

第一题

于有界直线上，求立平边三角形。

法曰：甲乙直线上求立平边三角形，先以甲为心、乙为界做丙丁圜，次以乙为心、甲为界作丙甲丁圜，两圜相交于丙丁，于丁末自甲至丙、丙至乙各作直线，即甲乙丙为平边三角形。

论曰：以甲为心至圜之界，其甲乙线与甲丙、甲丁线等，以乙为心，则乙甲线与乙丙、乙丁线亦等。何者？凡为圜心，自心至界各线俱等故。〈界说十五。〉既乙丙等于甲乙，即甲丙亦等于乙丙。〈公论一。〉三遍等，如所求。〈凡论有二种，此以是为论者、正论也，下仿此。〉

其用法不必作两圜，但以甲为心乙为界，作近丙一短线，乙为心甲为界亦如之，丙短线交处即得乙。

诸三角形俱推前用法作之。〈详本篇廾二。〉

第二题

一直线，线或内、或外有一点，求以点为界，作直线与元线等。

法曰：有甲点及乙丙线，求以甲为界，作一线与乙丙等。先以丙为心、乙为界 〈乙为心、丙为界亦可作。〉作丙乙圜，〈第三求。〉次观甲点，若在丙乙之外，则自甲至丙作甲丙线，〈第一求。〉如上前图；或甲在丙乙之内，则截取甲至丙一分线，如上后图。两法俱以甲丙线为底，任于上下作甲丁丙平边三角形，〈本篇一。〉次自三角形两腰线引长之，〈第二求。〉其丁丙引至丙乙圜界而止，为丙戊线；其丁甲引之出丙乙圜外稍长，为甲己线。末以丁为心、戊为界作丁戊圜，其甲己线与丁戊圜相交于庚，即甲庚线与乙丙线等。

论日：丁戊、丁庚线同以丁为心、戊庚为界，故等。〈界说十五。〉于丁戊线减丁丙、丁庚线减丁甲，其所减两腰线等，则所存亦等。〈公论三。〉夫丙戊与丙乙同以丙为心、戊乙为界，亦等。〈界说十五。〉即甲庚与丙乙等。〈公论一。〉

若所设甲点即在丙乙线之一界，其法尤易。假如点在丙，即以丙为心作乙戊圜，从丙至戊即所求。

第三题

两直线，一长一短，求于长线减去短线之度

法曰：甲短线，乙丙长线，求于乙丙减甲。先以甲为度，从乙引至别界作乙丁线，〈本篇二。〉次以乙为心、丁为界作圜，〈第三求。〉圜界与乙丙交于戊，即乙戊与等甲之乙丁等。盖乙丁、乙戊同心同圜故。〈界说十五。〉

第四题

两三角形，若相当之两腰线各等，各两腰线间之角等，则两底线必等。而两形亦等，其馀各两角当当者俱等

解曰：甲乙丙、丁戊己两三角形之甲与丁两角等，甲丙与丁己两线、甲乙与丁戊两线各等。题言乙丙与戊己两底线必等，而两三角形亦等，甲乙丙与丁戊己两角、甲丙乙与丁己戊两角俱等。

论曰：如云乙丙与戊己不等，即令将甲角置丁角之上，两角必相合，无大小；甲丙与丁己、甲乙与丁戊亦必相合，无大小。〈公论八。〉此二俱等，而云乙丙与戊己不等，必乙丙底或在戊己之上为庚、或在其下为辛矣。戊己既为直线，而戊庚己又为直线，则两线当别作一形，是两线能相合为形。也辛仿此。〈公论十二。此以非为论者，驳论也下仿此。〉

第五题

三角形若两腰等，则底线两端之两角等，而两腰引出之其底之外两角亦等

解曰：甲乙丙三角形，其甲丙与甲乙两腰等，题言甲丙乙与甲乙丙两角等。又自甲丙线任引至戊、甲乙线任引至丁，其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等。

论曰：试如甲戊线稍长，即从甲戊截取一分与甲丁等，为甲己。〈本篇三。〉次自丙至丁、乙至己各作直线，〈第一求。〉即甲己乙、甲丁丙两三角形必等。何者此两形之甲角同，甲己与甲丁两腰又等，甲乙与甲丙两腰又等，则其底丙丁与乙己必等，而底线两端相当之，各两角亦等矣，〈本篇四。〉又乙丙己与丙乙丁两三角形亦等。何者此两形之丙丁乙与乙己丙两角既等，〈本论。〉而甲己、甲丁两腰各减相等之甲丙、甲乙线，即所存丙己、乙丁两腰又等，〈公论三。〉丙丁与乙己两底又等，〈本论。〉又乙丙同腰，即乙丙丁与丙乙己两角亦等也，则丙之外乙丙己角与乙之外丙乙丁角必等矣。〈本篇四。〉次观甲乙己与甲丙丁两角既等，于甲乙己减丙乙己角、甲丙丁减乙丙丁角，则所存甲丙乙与甲乙丙两角必等。〈公论三。〉

增：从前形知，三边等形，其三角俱等。

第六题

三角形若底线两端之两角等，则两腰亦等。

解曰：甲乙丙三角形，其“甲乙丙”与“甲丙乙”两角等，题言“甲乙”与“甲丙”两腰亦等。

论曰：如云两腰线不等，而一长一短，试辩之。若甲乙为长线，即令比甲丙线截去所长之度，为乙丁线，而乙丁与甲丙等〈本篇三〉。次自丁至丙作直线，则本形成两三角形，其一为甲乙丙、其一为丁乙丙。而甲乙丙全形与丁乙丙分形同也，是全与其分等也〈公论九〉，何者？彼言丁乙丙分形之“乙丁”与甲乙丙全形之“甲丙”两线既等，丁乙丙分形之“乙丙”与甲乙丙全形之“乙丙”又同线，而元设丁乙丙与甲丙乙两角等，则丁乙丙与甲乙丙两形亦等也〈本篇四〉。是全与其分等也，故底线两端之两角等者，两腰必等也。

第七题

一线为底出两腰线，其相遇止有一点，不得别有腰线与元腰线等、而于此点外相遇。

解曰：甲乙线为底，于甲于乙各出一线、至丙点相遇。题言此为一定之处，不得于甲上更出一线与甲丙等、乙上更出一线与乙丙等，而不于丙相遇。

论曰：若言有别相遇于丁者，即问丁当在丙内邪？丙外邪？若言丁在丙内，则有二说，俱不可通。何者？若言丁在甲丙元线之内，则如第一图，丁在甲丙两界之间矣——如此，即甲丁是甲丙之分，而云甲丙与甲丁等也，是全与其分等也〈公论九〉。若言丁在甲丙乙三角顶间，则如第二图，丁在甲丙乙之间矣——即令自丙至丁作丙丁线，而乙丁、丙甲、丁丙又成两三角形；次从乙丁引出至己、从乙丙引出至戊，则乙丁丙形之乙丁、乙丙两腰等者，其底线两端之两角“乙丁丙”、“乙丙丁”宜亦等也，其底之外两角“己丁丙”、“戊丙丁”宜亦等也〈本篇五〉，而甲丁丙形之甲丁、甲丙两腰等者，其底线两端之两角“甲丙丁”、“甲丁丙”宜亦等也〈本篇五〉——夫甲丙丁角本小于戊丙丁角，而为其分；今言甲丁丙与甲丙丁两角等，则甲丁丙亦小于戊丙丁矣，何况己丁丙？又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知，何言底外两角等乎？

若言丁在丙外又有三说，俱不可通。何者？

若言丁在甲丙元线外，是丁甲即在丙甲元线之上，则甲丙与甲丁等矣。即如上第一说驳之。

若言丁在甲丙乙三角顶外，即如上第二说驳之。

若言丁在丙外，而后出二线一在三角形内、一在其外，甲丁线与乙丙线相交，如第五图。即令将丙丁相联作直线，是甲丁丙又成一三角形，而甲丙丁宜与甲丁丙两角等也〈本篇五〉。夫甲丁丙角本小于丙丁乙角，而为其分据，如彼论，则甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣；又丙丁乙亦成一三角形，而丙丁乙宜与丁丙乙两角等也〈本篇五〉。夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而为其分据，如彼论，则丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣。此二说者，岂不自相戾乎？

第八题

两三角形，若相当之两腰各等，两底亦等，则两腰间角必等。

解曰：甲乙丙、丁戊己两三角形，其甲乙与丁戊两腰、甲丙与丁己两腰各等，乙丙与戊己两底亦等，题言甲与丁两角必等。

论曰：试以丁戊己形加于甲乙丙形之上，问丁角在甲角上邪？否邪？若在上，即两角等矣〈公论八〉。或谓不然，乃在于庚。即问庚当在丁戊线之内邪？或在三角顶之内邪？或在三角顶之外邪？皆依前论驳之〈本篇七〉。

系：本题止论甲丁角，若旋转依法论之，即三角皆同可见。凡线等则角必等，不可疑也。

第九题

有直线角，求两平分之。

法曰：乙甲丙角，求两平分之。先于甲乙线任截一分为“甲丁”〈本篇三〉，次于“甲丙”亦截“甲戊”与“甲丁”等；次自“丁”至“戊”作直线；次以“丁戊”为底立平边三角形〈本篇一〉，为丁戊己形；末自“己”至“甲”作直线，即乙甲丙角为两平分。

论曰：丁甲己与戊甲己两三角形之甲丁与甲戊两线等，甲己同是一线，戊己与丁己两底又等〈何言“两底等”？初从戊丁底作此三角平形，此二线为腰各等戊丁故〉，则丁甲己与戊甲己两角必等〈本篇八〉。

用法：如上截取甲丁、甲戊，即以丁为心向乙丙间任作一短界线，次用元度以戊为心亦如之，两界线交处得己〈本篇一〉。

第十题

一有界线，求两平分之。

法曰：甲乙线求两平分，先以甲乙为底、作甲乙丙两边等三角形〈本篇一〉，次以甲丙乙角两平分之〈本篇九〉，得丙丁直线，即分甲乙于丁。

论曰：丙丁乙、丙丁甲两三角形之丙乙、丙甲两腰等，而丙丁同线，甲丙丁与乙丙丁两角又等〈本篇九〉，则甲丁与乙丁两线必等〈本篇四〉。

用法：以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半，向上、向下各作一短界线；次用元度以乙为心亦如之。两界线交处即丙、丁，末作丙丁直线，即分甲乙于戊。

第十一题

一直线任于一点上求作垂线。

法曰：甲乙直线任指一点于丙，求丙上作垂线。先于丙左右任用一度各截一界为丁、为戊〈本篇二〉；次以丁戊为底作两边等角形〈本篇一〉，为丁己戊；末自“己”至“丙”作直线，即己丙为甲乙之垂线。

论曰：丁己丙与戊己丙两角形之己丁、己戊两腰等，而己丙同线，丙丁与丙戊两底又等，即两形必等，丁与戊两角亦等〈本篇五〉，丁己丙与戊己丙两角亦等〈本篇八、九〉，则“丁丙己”与“戊丙己”两角必等矣。等即是直角，直角即是垂线〈界说十：角，此后三角形多称形，省文也〉。

用法：于丙点左右如上截取丁与戊，即以丁为心任用一度、但须长于丙丁线，向丙上方作短界线，次用元度以戊为心亦如之，两界线交处即己。

又用法：于丙左右如上截取丁与戊，即任用一度以丁为心、于丙上下方各作短界线，次用元度以戊为心亦如之，则上交为己、下交为庚，末作己庚直线，视直线交于丙点即得。是用法又为尝巧之法。

増：若甲乙线所欲立垂线之点乃在线末甲界上，甲外无馀线可截，则于甲乙线上任取一点为丙，如前法于丙上立丁丙垂线，次以甲丙丁角两平分之〈本篇九〉为己丙线，次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线〈本篇三〉，次于戊上如前法立垂线与己丙线相遇为庚，末自“庚”至“甲”作直线如所求。

论曰：庚甲丙与庚丙戊两角形之甲丙、戊丙两线既等，庚丙同线，戊丙庚与甲丙庚两角又等，即甲庚、戊庚两线必等〈本篇四〉；而对同边之甲角、戊角亦等〈本篇四〉，戊既直角，则甲亦直角。是甲庚为甲乙之垂线〈界说十〉。

用法：甲点上欲立垂线，先以甲为心向元线上方任抵一界作丙点；次用元度以丙为心作大半圜，圜界与甲乙线相遇为丁；次自丁至丙作直线引长之至戊，为戊丁线，戊丁与圜界相遇为己；末自“己”至“甲”作直线即所求〈此法今未能论，论见第三卷第三十一题〉。

第十二题

有无界直线，线外有一点，求于点上作垂线至直线上。

法曰：甲乙线外有丙点，求从丙作垂线至甲乙。先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁、为戊；次从丁戊各作直线至丙；次两平分丁戊于己〈本篇十〉；末自“丙”至“己”作直线即丙己，为甲乙之垂线。

论曰：丙己丁、丙己戊两角形之丙丁、丙戊两线等，丙己同线，则“丙戊己”与“丙丁己”两角必等〈本篇八〉，而“丁丙己”与“戊丙己”两角又等，则“丙己丁”与“丙己戊”等皆直角〈本篇四〉，而丙己定为垂线矣。

用法：以丙为心向直线两处各作短界线，为甲、为乙；次用元度以甲为心向丙点相望处作短界线，乙为心亦如之，两界线交处为丁；末自丙至丁作直线，则丙戊为垂线。

又用法：于甲乙线上近甲、近乙任取一点为心，以丙为界作一圜界于丙点，及相望处各稍引长之；次于甲乙线上视前心或相望如前图，或进或退如后图，任移一点为心、以丙为界作一圜界，至与前圜交处得丁；末自“丙”至“丁”作直线得戊〈若近界作垂线无可截取，亦用此法〉。

第十三题

一直线至他直线上所作两角，非直角、即等于两直角。

解曰：甲线下至丙丁线遇于乙，其“甲乙丙”与“甲乙丁”作两角。题言此两角当是直角；若非直角，即是一锐、一钝，而并之等于两直角。

论曰：试于乙上作垂线为戊乙〈本篇十一〉令戊乙

　丙与戊乙丁为两直角即甲乙丁甲乙戊两锐角并 　之与戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊两锐角 　又加戊乙丙一直角并此三角定与戊乙丙戊乙丁 　两直角等也〈公论十八〉次于甲乙戊又加戊乙丙并此锐 　直两角定与甲乙丙钝角等也次于甲乙戊戊乙丙 　锐直两角又加甲乙丁锐角并此三角定与甲乙丁 　甲乙丙锐钝两角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三 　角既与两直角等则甲乙丁与甲乙丙两角定与两 　直角等〈公论一〉

第十四题

一直线于线上一点出不同方两直线偕元线每旁作 　两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直 　线

解曰：甲乙线于丙点上左出一线为丙丁

右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角 与两直角等题言丁丙与丙戊是一直线

论曰：如云不然令别作一直线必从丁丙更引出一

　线或离戊而上为丁丙己或离戊而下为丁丙庚也 　若上于戊则甲丙线至丁丙己直线上为甲丙己甲 　丙丁两角此两角宜与两直角等〈本篇十三〉如此即甲丙 戊甲丙丁两角与甲丙己甲丙丁两角亦 等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙 己两角较之果相等乎〈公论三〉夫甲丙己本 　小于甲丙戊而为其分今曰：相等是全与其分等也 　〈公论九〉若下于戊则甲丙线至丁丙庚直线上为甲丙 　庚甲丙丁两角此两角宜与两直角等〈本篇十三〉如此即 　甲丙庚甲丙丁两角与甲丙戊甲丙丁两角亦等矣 　试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙庚较之果相等 　乎〈公论三〉夫甲丙戊实小于甲丙庚而为其分今曰：相 　等是全与其分等也〈公论九〉两者皆非则丁丙戊是一 　直线

第十五题

凡两直线相交作四角每两交角必等

解曰：甲乙与丙丁两线相交于戊题言甲戊丙与丁

戊乙两角甲戊丁与丙戊乙两角各等

论曰：丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙

　两角与两直角等〈本篇十三〉甲戊线至丙丁线上则甲戊 　丙甲戊丁两角与两直角等〈本篇十三〉如此即丁戊乙甲 　戊丁两角亦与甲戊丁甲戊内两角等〈公论十〉试减同 　用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙两角必等〈公论〉 　〈三〉又丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙两角与 　两直角等〈本篇十三〉乙戊线至丙丁线上则丁戊乙丙戊 乙两角与两直角等〈本篇十三〉如此即甲戊丁丁 戊乙两角亦与丁戊乙丙戊乙两角〈公论十〉试 　减同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等 　一系推显两直线相交于中点上作四角与四直角 　等 　二系一点之上两直线相交不论几许线几许角定 　与四直角等〈公论十八〉

増题一直线内出不同方两直线而所作两交角

等即后出两线为一直线

解曰：甲乙线内取丙点出丙丁丙戊两

线而所作甲丙戊丁丙乙两交角等或 甲丙丁戊丙乙两交角等题言戊丙丙丁即一直 　　线

论曰：甲丙戊角既与丁丙乙角等每加一戊丙乙

角即甲丙戊戊丙乙两角必与丁丙乙戊丙乙两 　　角等〈公论二〉而甲丙戊戊丙乙与两直角等〈本篇十三〉则 丁丙乙戊丙乙亦与两直角等是戊丙丙丁为一 直线〈本篇十四〉

第十六题

凡三角形之外角必大于相对之各角

解曰：甲乙丙角形自乙甲线引之至丁

题言外角丁甲丙必大于相对之内角 　甲乙丙甲丙乙

论曰：欲显丁甲丙角大于甲丙乙角试以甲丙线两

平分于戊〈本篇十〉自乙至戊作直线引长之 从戊外截取戊巳与乙戊等〈本篇三〉次自甲 至己作直线即甲戊己戊乙丙两角形之 　戊己与戊乙两线等戊甲与戊丙两线等甲戊己乙 　戊丙两交角又等〈本篇十五〉则甲己与乙丙两底亦等〈本篇〉 　〈四〉两形之各边各角俱等而己甲戊与戊丙乙两角 　亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己 　甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于 　相对之甲丙乙内角乎次显丁甲丙大于甲乙丙试 　自丙甲线引长之至庚次以甲乙线两平分于辛〈本篇〉 　〈十〉自丙至辛作直线引长之从辛外截取辛壬与丙 　辛等〈本篇三〉次自甲至壬作直线依前论推显甲辛壬 　辛丙乙两角形之各边各角俱等则壬甲辛与辛乙 　丙两角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚 　甲乙也庚甲乙又与丁甲丙两交角等〈本篇十五〉则甲乙 　丙内角不小于丁甲丙外角乎其馀乙丙上作外角 　俱大于相对之内角依此推显

第十七题

凡三角形之每两角必小于两直角

解曰：甲乙丙角形题言甲乙丙甲丙乙两

角丙甲乙甲乙丙两角甲丙乙丙甲乙两 角皆小于两直角

论曰：试用两边线丙甲引出至戊丙乙引出至丁即

　甲乙丁外角大于相对之甲丙乙内角矣〈本篇十六〉此两 　率者每加一甲乙丙角则甲乙丁甲乙丙必大于甲 　丙乙甲乙丙矣〈公论四〉夫甲乙丁甲乙丙与两直角等 　也〈本篇十三〉则甲丙乙甲乙丙小于两直角也馀二仿此

第十八题

凡三角形大边对大角小边对小角

解曰：甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙

丙边题言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙 　角

论曰：甲丙边大于甲乙边即于甲丙线上截甲丁与

　甲乙等〈本篇三〉自乙至丁作直线则甲乙丁与甲丁乙 　两角等矣〈本篇五〉夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角 　必大于相对之丁丙乙内角〈本篇十六〉则甲乙丁角亦大 　于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不又 　大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则乙甲丙角 　亦大于甲丙乙角依此推显

第十九题

凡三角形大角对大边小角对小边

解曰：甲乙丙角形乙角大于丙角题言对乙

角之甲丙边必大于对丙角之甲乙边

论曰：如云不然令言或等或小若言甲丙与甲乙等

　则甲丙角宜与甲乙角等矣〈本篇五〉何设乙角大于丙 　角也若言甲丙小于甲乙则甲丙边对甲乙大角宜 　大〈本篇十八〉又何言小也如甲角大于丙角则乙丙边大 　于甲乙边依此推显

第二十题

凡三角形之两边并之必大于一边

解曰：甲乙丙角形题言甲丙甲乙边并之必

大于乙丙边甲丙丙乙并之必大于甲乙甲 　乙乙丙并之必大于甲丙

论曰：试于丙甲边引长之以甲乙为度截取甲丁〈本篇〉

　〈三〉自丁至乙作直线令甲丁甲乙两腰等而甲丁乙 　甲乙丁两角亦等〈本篇五〉即丙乙丁角大于甲乙丁角 　亦大于丙丁乙角矣夫丁丙边对丙乙丁大角也岂 　不大于乙丙边对丙丁乙小角者乎〈本篇十九〉又甲丁甲 　乙两线各加甲丙线等也则甲乙加甲丙者与丙丁 　等矣丙丁既大于乙丙则甲乙甲丙两边并必大于 　乙丙边也馀二仿此

第二十一题

凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其 　内则内形两腰并之必小于相对两腰而后两线所 　作角必大于相对角

解曰：甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一

线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小于甲 乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角

论曰：试用内一线引长之如乙丁引之至戊即乙甲

　戊角形之乙甲甲戊两线并必大于乙戊线也〈本篇二十〉 　此二率者每加一戊丙线则乙甲甲戊戊丙并必大 　于乙戊戊丙并矣〈公论四〉又戊丁丙角形之戊丁戊丙 　线并必大于丁丙线也此二率者每加一丁乙线则 　戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣〈公论四〉夫乙 　甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙岂不更大于丁丙丁 　乙乎〈本篇二十〉又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相对 　之乙甲戊内角〈本篇十六〉即丁戊丙角形之乙丁丙外角 　更大于相对之丁戊丙内角矣而乙丁丙角岂不更 　大于乙甲丙角乎

第二十二题

三直线求作三角形其每两线并大于一线也

法曰：甲乙丙三线其第一第二线并大于

　　　　　第三线〈若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本篇二十〉求 作三角形先任作丁戊线长于三线并次 以甲为度从丁截取丁巳线〈本篇三〉以乙为 度从己截取己庚线以丙为度从庚截取 　庚辛线次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心 　辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末 　以庚巳为底作癸庚癸巳两直线即得己癸庚三角 　形〈用壬亦可作线若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不到丑即是两 或等或小于第三线不成三角形〉 　〈矣〉

论曰：此角形之丁己己癸线皆同圜之半径等〈界说十五〉

　则己癸与甲等庚辛庚癸线亦皆同圜之半径等则 　庚癸与丙等己庚元以乙为度则角形三线与所设 　三线等 用法任以一线为底以底之一界为心第 二线为度向上作短界线次以又一界为 心第三线为度向上作短界线两界线交 处向下作两腰如所求 若设一三角形求别作一形与之等亦用 此法

第二十三题

一直线任于一点上求作一角与所设角等

法曰：甲乙线于丙点求作一角与丁戊己角等先于

戊丁线任取一点为庚于戊巳线任取一 点为辛自庚至辛作直线次依甲乙线作 丙壬癸角形与戊庚辛角形等〈本篇卄二〉即丙 壬丙癸两腰与戊庚戊辛两腰等壬癸底 　与庚辛底又等则丙角与戊角必等〈本篇八〉

第二十四题

两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底 　亦大

解曰：甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁

戊两腰甲丙与丁巳两腰各等若乙甲丙角 大于戊丁己角题言乙丙底必大于戊巳底

论曰：试依丁戊线从丁点作戊丁庚角与乙

甲丙角等〈本篇卄三〉则戊丁庚角大于戊丁己角 而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚线与丁 巳等〈本篇三〉即丁庚丁巳俱与甲丙等又自戊 至庚作直线是甲乙与丁戊甲丙与丁庚腰 线各等乙甲丙与戊丁庚两角亦等而乙丙 与戊庚两底必等也〈本篇四〉次问所作戊庚底 今在戊巳底上邪抑同在一线邪抑在其下 邪若在上即如第二图自己至庚作直线则 丁庚己角形之丁庚丁巳两腰等而丁庚己 与丁己庚两角亦等矣〈本篇五〉夫戊庚己角乃 丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相 等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分则 戊庚己益小于戊巳庚也〈公论九〉则对戊庚己 小角之戊己腰必小于对戊己庚大角之戊 庚腰也〈本篇十九〉若戊巳与戊庚两底同线即如 第四图戊己乃戊庚之分则戊己必小于戊 　庚也〈公论九〉若戊庚在戊巳之下即如第六图自己至 　庚作直线次引丁庚线出于壬引丁巳线出于辛则 　丁庚丁巳两腰等而辛巳庚壬庚己两外角亦等矣 　〈本篇五〉夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己 　亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之 　分则戊庚巳益小于戊己庚也〈公论九〉则对戊庚己小 　角之戊巳腰必小于对戊己庚大角之戊庚腰也〈本篇〉 　〈十九〉是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙〈本篇四〉也

第二十五题

两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角 　亦大

解曰：甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁戊甲丙

与丁巳各两腰等若乙丙底大于戊巳底题 言乙甲丙角大于戊丁巳角

论曰：如云不然令言或小或等若言等则两

　形之两腰各等腰间角又等宜两底亦等〈本篇四〉何设 　乙丙底大也若言乙甲丙角小则对乙甲丙角之乙 　丙线宜亦小〈本篇廿四〉何设乙丙底大也

第二十六题〈二支〉

两三角形有相当之两角等及相当之一边等则馀两 　边必等馀一角亦等其一边不论在两角之内及一 　角之对

先解一边在两角之内者曰：甲乙丙角形之 甲乙丙甲丙乙两角与丁戊己角形之丁戊 巳丁巳戊两角各等在两角内之乙丙边与 　戊巳边又等题言甲乙与丁戊两边甲丙与丁巳两 　边各等而乙甲丙角与戊丁巳角亦等

论曰：如云两边不等而丁戊大于甲乙令于丁戊线

　截取庚戊与甲乙等〈本篇三〉次自庚至己作直线即庚 　戊巳角形之庚戊戊巳两边宜与甲乙乙丙两边等 　矣夫乙角与戊角元等则甲丙与庚巳宜等〈本篇四〉而 　庚巳戊角与甲丙乙角宜亦等也〈本篇四〉既设丁己戊 　与甲丙乙两角等今又言庚己戊与甲丙乙两角等 是庚己戊与丁己戊亦等全与其分等矣〈公论〉 〈九〉以此见两边必等两边既等则馀一角亦 　等 后解相等边不在两角之内而在一角之对 者曰：甲乙丙角形之乙角丙角与丁戊己角 形之戊角丁己戊角各等而对丙之甲乙边 　与对己之丁戊边又等题言甲丙与丁己两边丙乙 　与己戊两边各等而甲角与戊丁己角亦等

论曰：如云两边不等而戊己大于乙丙令于戊己线

　截取戊庚与乙丙等〈本篇三〉次自丁至庚作直线即丁 　戊庚角形之丁戊戊庚两边宜与甲乙乙丙两边等 　矣夫乙角与戊角元等则甲丙与丁庚宜等〈本篇四〉而 　丁庚戊角与甲丙乙角宜亦等也既设丁巳戊与甲 　丙乙两角等今又言丁庚戊与甲丙乙两角等是丁 　庚戊外角与相对之丁巳戊内角等矣〈本篇十六〉可乎以 　此见两边必等两边既等则馀一角亦等

第二十七题

两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直 　线必平行

解曰：甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于

庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲 乙丙丁两线必平行

论曰：如云不然则甲乙丙丁两直线必至相

　遇于壬而庚辛壬成三角形则甲庚辛外角宜大于 　相对之庚辛壬内角矣〈本篇十六〉乃先设相等乎若设乙 　庚辛角与丙辛庚角等亦依此论若言甲乙丙丁两 　直线相遇于癸亦依此论

第二十八题〈二支〉

两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内 　角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行

先解曰：甲乙丙丁两直线加他直线戊己交

于庚于辛其戊庚甲外角与同方相对之庚 辛丙内角等题言甲乙丙丁两线必平行

论曰：乙庚辛角与相对之内角丙辛庚等〈本篇〉

　〈卄七〉戊庚甲与乙庚辛两交角亦等〈本篇十五〉即两直线必 　平行 　后解曰：甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等题言甲 　乙丙丁两线必平行

论曰：甲庚辛丙辛庚两角与两直角等而甲庚戊甲

　庚辛两角亦与两直角等〈本篇十三〉试减同用之甲庚辛 　即所存甲庚戊与丙辛庚等矣既外角与同方相对 　之内角等即甲乙丙丁必平行〈本题〉

第二十九题〈三支〉

两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角 　与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等

先解曰：此反前二题故同前图有甲乙丙丁

二平行线加他直线戊巳交于庚于辛题言 甲庚辛与丁辛庚内相对两角必等

论曰：如云不然而甲庚辛大于丁辛庚则丁辛庚加

　辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣〈公论四〉夫辛庚甲 　辛庚乙元与两直角等〈本篇十三〉据如彼论则丁辛庚辛 　庚乙两角小于两直角而甲乙丙丁两直线向乙丁 　行必相遇也〈公论十一〉可谓平行线乎

次解曰：戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等

论曰：乙庚辛与相对之丙辛庚两内角等〈本题〉则乙庚

　辛交角相等之戊庚甲〈本篇十五〉与丙辛庚必等〈公论一〉 　后解曰：甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等

论曰：戊庚甲与庚辛丙两角既等〈本题〉而每加一甲庚

　辛角则庚辛丙甲庚辛两角与甲庚辛戊庚甲两角 　必等〈公论二〉夫甲庚辛戊庚甲本与两直角等〈本篇十三〉则 　甲庚辛丙辛庚两内角亦与两直角等

第三十题

两直线与他直线平行则元两线亦平行

解曰：此题所指线在同面者不同面线后别有论如

　甲乙丙丁两直线各与他线戊巳平行题言甲乙与 　丙丁亦平行

论曰：试作庚辛直线交加于三直线甲乙于壬戊巳

　于子丙丁于癸其甲乙与戊巳既平 　行即甲壬子与相对之己子壬两内 　角等〈本篇廿九〉丙丁与戊巳既平行即丁 　癸子内角与己子壬外角亦等〈本篇廿九〉 　丁癸子与甲壬子亦为相对之内角亦等〈公论一〉而甲 　乙丙丁为平行线〈本篇廿七〉

第三十一题

一点上求作直线与所设直线平行

法曰：甲点上求作直线与乙丙平行先从甲点

向乙丙线任指一处作直线为甲丁即乙丙线上 成甲丁乙角次于甲点上作一角与甲丁乙等〈本篇〉 　〈廿三〉为戊甲丁从戊甲线引之至己即己戊与乙丙平行

论曰：戊己乙丙两线有甲丁线联之其所作戊甲丁

　与甲丁乙相对之两内角等即平行线〈本篇廿七〉 増从此题生一用法设一角两线求作有法四边 形有角与所设角等两两边线与所设线等

法曰：先作己丁戊角与丙等次截丁戊

线与甲等己丁线与乙等末依丁戊平 行作己庚依己丁平行作庚戊即所求 本题用法于甲点求作直线与乙丙平行 先作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界 次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于 戊己次取戊己圜界为度于庚辛圜界截取庚辛 末自甲至辛作直线各引长之即所求 又用法以甲点为心于乙丙线近乙处任 指一点作短界线为丁次用元度以丁为 心于乙丙上向丙截取一分作短界线为 戊次用元度以戊为心向上与甲平处作短界线 又用元度以甲为心向甲平处作短界线后两界 线交处为己自甲至己作直线各引长之即所求

第三十二题〈二支〉

凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之 　内三角并与两直角等

先解曰：甲乙丙角形试从乙丙边引至丁题言甲丙

丁外角与相对之内两角甲乙并等

论曰：试作戊丙线与甲乙平行〈本篇三一〉令甲丙

为甲乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对 　之甲丙戊角等〈本篇卄九〉又乙丁线与两平行线相遇则 　戊丙丁外角与相对之甲乙丙内角等〈本篇廿九〉既甲丙 　戊与乙甲丙等而戊丙丁与甲乙丙又等则甲丙丁 　外角与内两角甲乙并等矣 　后解曰：甲乙丙三角并与两直角等

论曰：既甲丙丁角与甲乙两角并等更于甲丙丁加

　甲丙乙则甲丙丁甲丙乙两角并与甲乙丙内三角 　并等矣〈公论二〉夫甲丙丁甲丙乙并元与两直角等〈本篇〉 　〈十三〉则甲乙丙内三角并亦与两直角等 増从此推知凡第一形当两直角第二形当四直 角第三形当六直角自此以上至于无穷每命形 　　　　之数倍之为所当直角之数〈凡一线二线不能为形故三边〉 　　　　〈为第一形四边为第二形五边为第三形六边为第四形仿此以至无穷〉又视每 形边数减二边即所存边数是本形之数

论曰：如上四图第一形三边减二边存一边

即是本形一数倍之当两直角〈本题〉第二形四 边减二边存二边即是本形二数倍之当四 直角欲显此理试以第二形作一对角线成两三 角形每形当两直角并之则当四直角矣第三形 五边减二边存三边即是本形三数倍之当 六直角欲显此理试以第三形作两对角线 成三三角形每形当两直角并之亦当六直 角矣其馀依此推显以至无穷

又一法每形视其边数每边当两直角而减

四直角其存者即本形所当直角

论曰：欲显此理试于形中任作一点从此点向各

角俱作直线令每形所分角形之数如其边数每 一分形三角当二直角〈本题〉其近点之处不论 几角皆当四直角〈本篇十五之系〉次减近点诸角即 是减四直角其存者则本形所当直角如上 第四形六边中间任指一点从点向各角分 为六三角形每一分形三角六形共十八角 今于近点处减当四直角之六角所存近边 十二角当八直角馀仿此 　一系凡诸种角形之三角并俱相等〈本题増〉 　二系凡两腰等角形若腰间直角则馀两角每当直 　角之半腰间钝角则馀两角俱小于半直角腰间锐 　角则馀两角俱大于半直角 　三系平边角形每角当直角三分之二 　四系平边角形若从一角向对边作垂线分为两角 　形此分形各有一直角在垂线之下两旁则垂线之 　上两旁角每当直角三分之一其馀两角每当直角 　三分之二 増从三系可分一直角为三平分其法任 于一边立平边角形次分对直角一边为 两平分从此边对角作垂线即所求如上图甲乙 丙直角求三分之先于甲乙线上作甲乙丁平边 　　角形〈本篇一〉次平分甲丁于戊〈本篇九〉末作乙戊直线

第三十三题

两平行相等线之界有两线联之其两线亦平行亦相 　等

解曰：甲乙丙丁两平行相等线有甲丙乙丁

两线联之题言甲丙乙丁亦平行相等线

论曰：试作甲丁对角线为甲乙丙丁之交加

　线即乙甲丁丙丁甲相对两内角等〈本篇卄九〉又甲丁线 　上下两角形之甲乙丙丁两边既等甲丁同边则对 　乙甲丁角之乙丁线与对丙丁甲角之甲丙线亦等 　〈本篇卄九〉而乙丁甲与丙甲丁两角亦等也〈本篇四〉此两角 　者甲丙乙丁之内相对角也两角既等则甲丙乙丁 　两线必平行〈本篇廿七〉

第三十四题

凡平行线方形每相对两边线各等每相对两角各等 　对角线分本形两平分

解曰：甲乙丁丙平行方形〈界说三五〉题言甲乙与

丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与 丙两角乙甲丙与丙丁乙两角各等又言若 　作甲丁对角线即分本形为两平分

论曰：甲乙与丙丁既平行则乙甲丁与丙丁甲相对

　之两内角等〈本篇廿九〉甲丙与乙丁既平行则乙丁甲与 　丙甲丁相对之两内角等〈本篇廿九〉甲乙丁角形之乙甲 　丁乙丁甲两角与甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁两 　角既各等甲丁同边则甲乙与丙丁甲丙与乙丁俱 　等也而丙角与相对之乙角亦等矣〈本篇廿六〉又乙丁甲 　角加丙丁甲角与丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙 　甲丙与丙丁乙相对两角亦等也〈公论二〉又甲乙丁甲 　丁丙两角形之甲乙乙丁两边与丁丙丙甲两边各 　等腰间之乙角与丙角亦等则两角形必等〈本篇四〉而 　甲丁线分本形为两平分

第三十五题

两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等

解曰：甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与

丙丁乙巳两平行方形同丙丁底题言此两 形等等者不谓腰等角等谓所函之地等后 　言形等者多仿此

先论曰：设己在甲戊之内其丙丁戊甲与丙丁乙己

　皆平行方形丙丁同底则甲戊与丙丁巳乙与丙丁 　各相对之两边各等〈本篇三四〉而甲戊与己乙亦等〈公论一〉 　试于甲戊己乙两线各减己戊即甲己与戊乙亦等 　〈公论三〉而甲丙与戊丁元等〈本篇三四〉乙戊丁外角与己甲 　丙内角又等〈本篇廿九〉则乙戊丁与己甲丙两角形必等 　矣〈本篇四〉次于两角形每加一丙丁戊己无法四边形 　则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形等也〈公论二〉

次论曰：设己戊同点依前甲戊与戊乙等乙

戊丁与戊甲丙两角形等〈本篇四〉而每加一戊 丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁乙戊两平行 方形必等〈公论二〉

后论曰：设己点在戊之外而丙己与戊丁两

线交于庚依前甲戊与己乙两线等而每加 一戊己线即戊乙与甲己两线亦等〈公论二〉因 显己甲丙与乙戊丁两角形亦等〈本篇四〉次每 减一己戊庚角形则所存戊庚丙甲与乙己 庚丁两无法四边形亦等〈公论三〉次于两无法 形每加一庚丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁 　乙己两平行方形必等〈公论二〉

第三十六题

两平行线内有两平行方形若底等则形亦等

解曰：甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁

乙两平行方形而丙戊与辛丁两底等题言 两形亦等

论曰：试自丙至庚戊至乙各作直线相联其

　丙戊庚乙各与辛丁等则丙戊与庚乙亦等〈本篇卅四〉庚 　乙与丙戊既平行线则庚丙与乙戊亦平行线〈本篇卅三〉 　而甲丙戊己与庚丙戊乙两平行方形同丙戊底者 　等矣〈本篇三五〉庚辛丁乙与庚丙戊乙两平行方形同庚 　乙底者亦等矣〈本篇三五〉既尔则庚辛丁乙与甲丙戊己 　亦等〈公论一〉

第三十七题

两平行线内有两三角形若同底则两形必等

解曰：甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙

丁两角形同丙丁底题言两形必等

论曰：试自丁至戊作直线与甲丙平行次自

　丁至己作直线与乙丙平行〈本篇三一〉夫甲丙丁戊乙丙 　丁己两平行方形在甲乙丙丁两平行线内同丙丁 底既等〈本篇三五〉则甲丙丁角形为甲丙丁戊方 形之半与乙丙丁角形为乙丙丁己方形之 　　　　半者〈甲丁乙丁两对角线平分两方形见本篇卅四〉亦等〈公论七〉

第三十八题

两平行线内有两三角形若底等则两形必等

解曰：甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊与乙

己丁两角形而丙戊与己丁两底等题言两 形必等

论曰：试自庚至戊辛至丁各作直线与甲丙乙己平

　行〈本篇卅一〉其甲丙戊庚与乙己丁辛两平行方形既等 　〈本篇卅六〉则甲丙戊与乙己丁两角形为两方形之半者 　〈本篇卅四〉亦等〈公论七〉 増凡角形任于一边两平分之向对角作 直线即分本形为两平分

论曰：甲乙丙角形试以乙丙边两平分于丁〈本篇十〉

自丁至甲作直线即甲丁线分本形为两平分何 　　者试于甲角上作直线与乙丙平行〈本篇卅一〉则甲乙 丁甲丁丙两角形在两平行线内两底等两形亦 　　等〈本题〉 二増题凡角形任于一边任作一点求从 点分本形为两平分

法曰：甲乙丙角形从丁点求两平分先自

丁至相对甲角作甲丁直线次平分乙丙线于戊 　　〈本篇十〉作戊己线与甲丁平行〈本篇卅一〉末作己丁直线 即分本形为两平分

论曰：试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在

两平行线内同己戊底者等而每加一己戊丙形 则己丁丙与甲戊丙两角形亦等〈公论二〉夫甲戊丙 为甲乙丙之半〈本题増〉则己丁丙亦甲乙丙之半

第三十九题

两三角形其底同其形等必在两平行线内

解曰：甲乙丙与丁丙乙两角形之乙丙底同其形复

等题言在两平行线内者盖云自甲至丁 作直线必与乙丙平行

论曰：如云不然令从甲别作直线与乙丙

平行〈本篇卅一〉必在甲丁之上或在其下矣设 　在上为甲戊而乙丁线引出至戊即作戊丙直线是 　甲乙丙宜与戊丙乙两角形等矣〈本篇卅七〉夫甲乙丙与 　丁丙乙既等而与戊丙乙复等是全与其分等也〈公论〉 　〈九〉设在甲丁下为甲己即作己丙直线是己丙乙与 　丁丙乙亦等如前驳之

第四十题

两三角形其底等其形等必在两平行线内

解曰：甲乙丙与丁戊己两角形之乙丙与

戊己两底等其形亦等题言在两平行线 内者盖云自甲至丁作直线必与乙己平 　行

论曰：如云不然令从甲别作直线与乙己平行〈本篇卅一〉

　必在甲丁之上或在其下矣设在上为甲庚而戊丁 　线引出至庚即作庚己直线是甲乙丙宜与庚戊己 　两角形等矣〈本篇三八〉夫甲乙丙与丁戊己既等而与庚 　戊己复等是全与其分等也〈公论九〉设在甲丁下为甲 　辛即作辛己直线是辛戊己与丁戊己亦等如前驳之

第四十一题

两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍 　大于三角形

解曰：甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁戊方

形乙丁丙角形同丙丁底题言方形倍大于 角形

论曰：试作甲丁直线分方形为两平分则甲丙丁与

　乙丁丙两角形等矣〈本篇卅七〉夫甲丙丁戊倍大于甲丙 　丁〈本篇卅三〉必倍大于乙丁丙

第四十二题

有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设 　角等

法曰：设甲乙丙角形丁角求作平行方形与

甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平 分如乙丙边平分于戊〈本篇十〉次作丙戊己角 　与丁角等〈本篇廿〉次自甲作直线与乙丙平行〈本篇卅一〉而 　与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为丙 　庚〈本篇卅一〉而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方 　形与甲乙丙角形等

论曰：试自甲至戊作直线其甲戊丙角形与己戊丙

　庚平行方形在两平行线内同底则己戊丙庚倍大 　于甲戊丙矣〈本篇四一〉夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙〈本篇卅八〉 　〈増〉即与己戊丙庚等〈公论六〉

第四十三题

凡方形对角线旁两馀方形自相等

解曰：甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之乙

　壬庚戊与庚己丁辛两馀方形〈界说卅六〉必等

论曰：甲乙丙甲丙丁两角形等〈本篇卅四〉甲戊庚

甲庚辛两角形亦等〈本篇卅四〉而于甲乙丙减甲 戊庚于甲丙丁减甲庚辛则所存乙丙庚戊 与庚丙丁辛两无法四边形亦等矣〈公论三〉又 庚壬丙己角线方形之庚丙己庚丙壬两角 形等〈本篇三四〉而于两无法四边形每减其一则 　所存乙壬庚戊与庚己丁辛两馀方形安得不等〈公论三〉

第四十四题

一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角 　有与所设角等

法曰：设甲线乙角形丙角求于甲线上作

平行方形与乙角形等而有丙角先作丁 戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚 角与丙角等〈本篇四二〉次于庚己线引长之作 己辛线与甲等次作辛壬线与戊己平行 〈本篇三一〉次于丁戊引长之与辛壬线遇于壬 　次自壬至己作对角线引出之又自丁庚引长之与 　对线角遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬 　辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子 　线得丑即己丑子辛平行方形如所求

论曰：此方形之己辛线与甲等而辛己丑角为戊己

　庚之交角〈本篇十五〉则与丙等又本形与戊己庚丁同为 　馀方形等〈本篇四三〉则与乙角形等

第四十五题

有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有 　与所设角等

法曰：设甲乙丙五边形丁角求作平行

方形与五边形等而有丁角先分五边 形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛 平行方形与甲等而有丁角〈本篇四二〉次于 　戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形 　与乙等而有丁角〈本篇四四〉末复引前线作壬癸子丑平 　行方形与丙等而有丁角〈本篇四四〉即此三形并为一平 　行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至 　无穷俱仿此法

论曰：戊己庚与辛庚癸两角等而每加一己庚辛角

　即辛庚癸己庚辛两角定与己庚辛戊己庚两角等 　夫己庚辛戊己庚是两平行线内角与两直角等也 　〈本篇廿九〉则己庚辛辛庚癸亦与两直角等而己庚庚癸 　为一直线也〈本篇十四〉又戊辛庚与戊己庚两对角等而 　辛壬癸与辛庚癸两对角亦等则戊己庚辛庚辛壬 　癸皆平行方形也〈本篇卅四〉壬癸子丑依此推显〈本篇三十〉即 　与戊己癸壬并为一平行方形矣

増题两直线形不等求相减之较几何

法曰：甲与乙两直线形甲大于乙以乙

减甲求较几何先任作丁丙己戊平行 方形与甲等次于丙丁线上依丁角作 丁丙辛庚平行方形与乙等〈本题〉即得辛 庚戊己为相减之较矣何者丁丙己戊之大于丁 丙辛庚较馀一辛庚戊己也则甲大于乙亦辛庚 戊己也

第四十六题

一直线上求立直角方形

法曰：甲乙线上求立直角方形先于甲乙两

界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等 　〈本篇十一〉次作丁丙线相联即甲乙丙丁为直角方形

论曰：甲乙两角俱直角则丁甲丙乙为平行线〈本篇廿八〉

　此两线自相等则丁丙与甲乙亦平行线〈本篇三三〉而甲 　乙丙丁四线俱平行俱相等又甲乙俱直角则相对 　丁丙亦俱直角〈本篇卅四〉而甲乙丙丁定为四直角方形

第四十七题

凡三边直角形对直角边上所作直角方形与馀两边 　上所作两直角方形并等

解曰：甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙边上作

乙丙丁戊直角方形〈本篇四六〉题言此形与 甲乙边上所作甲乙己庚及甲丙边上 所作甲丙辛壬两直角方形并等

论曰：试从甲作甲癸直线与乙戊丙丁

平行〈本篇卅一〉分乙丙边于子次自甲 至丁至戊各作直线末自乙至辛自丙 　至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚 　甲甲丙是一直线〈本篇十四〉依显乙甲甲壬亦一直线又 　丙乙戊与甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即 　甲乙戊与丙乙己两角亦等〈公论二〉依显甲丙丁与乙 　丙辛两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两边与 　丙乙己角形之己乙乙丙两边等甲乙戊与丙乙己 　两角复等则对等角之甲戊与丙己两边亦等而此 　两角形亦等矣〈本篇四〉夫甲乙己庚直角方形倍大于 　同乙己底同在平行线内之丙乙己角形〈本篇四一〉而乙 　戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内 　之甲乙戊角形则甲乙己庚不与乙戊癸子等乎〈公论〉 　〈六〉依显甲丙辛壬直角方形与丙丁癸子直角形等 　则乙戊丁丙一形与甲乙己庚甲丙辛壬两形并等 　矣

一増凡直角方形之对角线上作直角方 形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之 甲丙线上作直角方形倍大于甲乙丙丁形 二増题设不等两直角方形如一以甲为边一以 乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与 元设两形并等

法曰：先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直

角而丙丁线与乙等次作戊丁线相聨末 于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己 　　戊己丁两腰遇于己〈公论十一〉而等〈本篇六〉即己戊己丁 两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙 戊丙丁上所作两直角方形并等

论曰：己丁戊己戊丁两角既皆半于直角则丁己

　　戊为直角〈本篇卅二〉而对直角之丁戊线上所作直角 方形与两腰线上所作两直角方形并等矣〈本题〉己 戊与己丁既等则其上所作两直角方形自相等 矣又丁戊线上所作直角方形与丙丁丙戊线上 所作两直角方形并既等则己戊己丁上两直角 方形并与丙戊丙丁上两直角方形并亦等 三増题多直角方形求并作一直角方形与之等

法曰：如五直角方形以甲乙丙丁戊为

边任等不等求作一直角方形与五形 并等先作己庚辛直角而己庚线与甲 等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己 辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线 旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线旋 作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线题言 己子线上所作直角方形即所求

论曰：己辛上作直角方形与甲乙两形并等〈本题〉己

壬上作直角方形与己辛及丙两形并等馀仿此 推显可至无穷

四増三边直角形以两边求第三边长短 之数

法曰：甲乙丙角形甲为直角先得甲乙甲

丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长 短之数其甲乙甲丙上所作两直角方形并既与 　　乙丙上所作直角方形等〈本题〉则甲乙之羃〈自乘之数曰：羃〉 得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙 之羃亦百百开方得十即乙丙数十也又设先得 甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之数其甲 乙甲丙上两直角方形并既与乙丙上直角方形 等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百 百减三十六得甲丙之羃六十四六十四 开方得八即甲丙八也求甲乙仿此　此 以开方尽实者为例其不尽实者自具筭家分法

第四十八题

凡三角形之一边上所作直角方形与馀边所作两直角方形并等，则对一边之角必直角。

解曰：此反前题，如甲乙丙角形，其甲丙边上所作直角方形与甲乙、乙丙边上所作两直角方形并等。题言甲乙丙角必直角。

论曰：试于乙上作甲乙丁直角，而乙丁与乙丙两线等；次作丁甲线相联，其甲乙丁既直角，则甲丁上直角方形与甲乙、乙丁上两直角方形并等〈本篇四七〉。而甲乙、乙丁上两直角方形并与甲乙、乙丙上两直角方形并又等〈甲乙同乙丁乙丙等故〉，即丁甲上直角方形与甲丙上直角方形必等。夫甲乙丁角形之甲乙、乙丁两腰与甲乙丙角形之甲乙、乙丙两腰既等，而丁甲、甲丙两底又等，则对底线之两角亦等〈本篇八〉。甲乙丁既直角，即甲乙丙亦直角。

　

幾何原本卷一