四庫全書總目提要/卷107
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卷一Ο七 子部十七
○天文演算法類二
謹案《九章算術》，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝《通言》，周公制禮有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約。張蒼刪補殘闕，校其條目，頗與古術不同云云。今考書內有長安上林之名。上林苑在武帝時，蒼在漢初，何緣預載？知述是書者在西漢中葉後矣。舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏景元四年劉徽注《九章》，然注中所雲晉武庫銅斛，則徽入晉之後又有增損矣。又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》為《算經十書》之首，國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。北宋以來，其術罕傳，自沈括《夢溪筆談》以外，士大夫少留意者，書遂幾於散佚。洎南宋慶元中，鮑澣之始得其本於楊忠輔家，因傳寫以入秘閣，然流傳不廣。至明又亡。故二三百年來，算術之家未有得睹其全者。惟分載於《永樂大典》者依類裒輯，尚九篇具在。考鮑澣之後序，稱唐以來所傳舊圖，至宋已亡。又稱盈不足方程之篇咸闕淳風注文。今校其所言，一一悉合，知即慶元之舊本。蓋顯於唐，晦於宋，亡於明，而幸逢聖代表章之盛，複完於今。其隱其見，若有數默存於其間，非偶然矣。謹排纂成編，並考訂訛異，各附案語於下方。其注中指狀表目，如朱實、青實、黃實之類，皆就圖中所列而言，圖既不存，則其注猝不易曉。今推尋注意，為之補圖，以成完帙。算數莫古於九數，九數莫古於是書。雖新法屢更，愈推愈密，而窮源探本，要百變不離其宗。錄而傳之，固古今算學之弁冕矣。
案《隋書•經籍志》有《孫子算經》二卷，不著其名，亦不著其時代。《唐書•藝文志》稱李淳風注甄鸞《孫子算經》三卷。於孫子上冠以甄鸞，蓋如淳風之注《周髀算經》，因鸞所注更加辨論也。《隋書》論審度引《孫子算術》，蠶所生吐絲為忽，十忽為秒，十秒為毫，十毫為厘，十厘為分，本書乃作十忽為一絲，十絲為一毫。又論嘉量引《孫子算術》，六粟為圭，十圭為秒，十秒為撮，十撮為勺，十勺為合。本書乃作十圭為一撮，十撮為一秒，十秒為一勺。考之夏侯陽《算經》引田曹、倉曹亦如本書，而《隋書》中所引與史傳往往多合。蓋古書傳本不一，校訂之儒各有據證，無妨參差互見也。唐之選舉，算學孫子、五曹共限一歲習肄，於後來諸算術中特為近古，第不知孫子何許人。朱彝尊《曝書亭集•五曹算經跋》雲，相傳其法出於孫武，然孫子別有《算經》，考古者存其說可爾。又有《孫子算經》跋雲，首言度量所起，合乎兵法地生度，度生量，量生數之文。次言乘除之法設為之數，十三篇中所雲廓地、分利、委積、遠輸、貴賤、兵役、分數比之《九章》方田、粟米、差分、商功、均輸、盈不足之目，往往相符，而要在得算多，多自然勝。以是知此編非偽託也云云。合二跋觀之，彝尊之意蓋以為確出於孫武。今考書內設問有雲，長安洛陽相去九百里。又雲，佛書二十九章，章六十三字，則後漢明帝以後人語。孫武春秋末人，安有是語乎？舊本久佚。今從《永樂大典》所載裒集編次，仍為三卷。其甄、李二家之注則不可複考，是則姚廣孝等割裂刊削之過矣。
舊題漢徐嶽撰。北周甄鸞注。嶽，東萊人。《晉書•律曆志》所稱吳中書令闞澤受劉淇《乾象法》於東萊徐嶽者是也。《隋書•經籍志》具列岳及甄鸞所撰《九章算經》、《七曜術算》等目，而獨無此書之名，至《唐•藝文志》始著於錄。書中稱於泰山見劉會稽，博識多文，遍於數術，余因受業時問曰：數有窮乎？會稽曰：吾曾遊天目山中，見有隱者云云。大抵言其傳授之神秘。然案《後漢志》注引袁山松書曰：劉洪，泰山蒙陰人。延熹中以校尉應太史徵，拜郎中。後為會稽東部都尉。徵還未至，領丹陽太守。卒官。是洪官會稽後未嘗家居，不得言於泰山見之。且洪在會稽乃官都尉，其為太守實在丹陽，而注以為官會稽太守，錯互殊甚。又舊本皆題漢徐嶽撰，據《晉書》所載，岳魏黃初中與太史丞韓詡論難日月食五事，則嶽已仕於魏，不得系之於漢。考古尤為疏謬。至天門金虎等語，乃道家詭誕之說，亦為隱僻不經。注所言算式數位，按之正文，多不相蒙。唐代選舉之制，算學《九章》、《五曹》之外，兼習此書。此必當時購求古算，好事者因托為之，而嫁名於嶽耳。然流傳既久，學者或以古本為疑，故仍錄存之，而詳斥其偽，以祛後人之惑焉。
晉劉徽撰，唐李淳風等奉詔注。據劉徽序《九章算術》有雲，徽尋九數有重差之名，凡望極高，測絕深，而兼知其遠者，必用重差輒造重差，並為註解，以究古人之意，綴於勾股之下，度高者重表，測深者累矩，孤離者三望。離而又旁求者四望，據此，則徽之書本名《重差》，初無《海島》之目，亦但附於勾股之下，不別為書。故《隋志•九章算術》增為十卷，下雲劉徽撰，蓋以九章九卷合此而十也。而《隋志》、《唐志》又皆有劉徽《九章重差圖》一卷，蓋其書亦另本單行，故別著於錄，一書兩出，至《唐志》兼列劉向《九章重差》一卷，則徽之《重差》既自為卷，因遂訛劉徽為劉向，而一書三出耳。今詳為考證，定為劉徽之書，至《海島》之名雖古無所見，不過後人因卷首以《海島》之表設問而改斯名，然唐選舉志稱算學生《九章》、《海島》共限習三年，試《九章》三條，《海島》一條，則改題《海島》自唐初已然矣。其書世無傳本，惟散見《永樂大典》中。今裒而輯之，仍為一卷。篇帙無多，而古法具在，固宜與《九章算術》同為表章，以見算數家源流之所自焉。
案《隋書•經籍志》有《九章六曹算經》一卷，而無五曹之目，其六曹篇題亦不傳。《唐書•藝文志》始有甄鸞《五曹算經》五卷，韓延《五曹算經》五卷，李淳風注五曹、孫子等算經二十卷，魯靖新集《五曹時要術》三卷。甄、韓二家，皆注是書者也，其作者則不知為誰。考《漢書•梅福傳》，福上書言，臣聞齊桓之時，有以九九見者。顏師古注雲，九九算術，若今《九章五曹》之輩。蓋算學雖多，不出乘除二者，而乘除不出自一至九，因而九之之數，故舉九九為言，而師古即以其時所有《九章五曹》等書實之，非梅福時有是書也。朱彝尊《曝書亭集》有《五曹算經跋》雲，相傳其法出於孫武，然彝尊第曰相傳，無所引證，益不足據。觀《唐書•選舉志》稱，《孫子》、《五曹》共限一歲，既曰共限，則《五曹》不出《孫子》明矣。姑斷以甄鸞之注，則其書確在北齊前耳。自元、明以來，久無刻本，藏書家傳寫訛舛，殆不可通。今散見《永樂大典》內者，甄鸞、韓延、李淳風之注雖亦散佚，而經文則逐條完善。謹參互考校，俾還舊觀，遂為絕無僅有之善本。考夏侯陽《算經》引田曹、倉曹者二，引金曹者一，而此書皆無其文。然此書首尾完具，胍絡通貫，不似有所亡佚。疑《隋志》之《九章六曹》，其目亦同陽所引田曹、倉曹、金曹等名，乃別為一書，而非此書之文。故不敢據以補入，以溷其真焉。
案《隋•經籍志》有夏侯陽《算經》二卷，《唐•藝文志》列夏侯陽《算經》一卷，而直齋《書錄解題》載元豐京監本乃雲三卷，蓋傳宜互有分合，故卷帙各異，然皆不言陽為何代人。考《唐志》載是書為甄鸞注，則當在甄鸞之前。而此本載陽自序有雲，《五曹》、《孫子》述作滋多，甄鸞、劉徽為之詳釋。書內又稱宋元嘉二年徐受重鑄銅斛，至梁大同元年甄鸞校之，則又似在甄鸞後。其辯度量衡雲，在京諸司及諸州各給稱尺、並五尺度、鬥、升、合等樣，皆銅為之。倉庫令諸量函所在官造，大者五斛，中者三斛，小者一斛，以鐵為緣，勘平印書，然後給用。又《課租庸調章》稱，賦役令論步數，不等章稱雜令由令之屬，亦皆據隋制言之，尤不可解。疑傳其學者又有所竄亂附益，不盡陽之舊義矣。《唐書•選舉志》所列算經十種，此居其一。蓋當時本懸之令甲、肄習考課。今傳本久佚，惟《永樂大典》內有之。然諸條割裂，分附《九章算術》各類之下，幾於治絲而棼，猝不得其端緒。幸尚載原序在目，猶可以尋繹編次，條貫其文。今衰輯排比，仍依元豐監本，厘為三卷。其十有二門，亦從原目。其法務切實用，雖《九章》古法，非官曹民事所必需，亦略而不載。於諸算經中最為簡要，且於古今制度異同尤足考證雲。
北周甄鸞撰，唐李淳風注。鸞精於步算，仕北周為司隸校尉、漢中郡守。嘗釋《周髀》等算經，不聞其有是書。而《隋書•經籍志》有《五經算術》一卷，《五經算術錄遺》一卷，皆不著撰人姓名。《唐•藝文志》則有李淳風注《五經算術》二卷，亦不言其書為誰所撰。今考是書，舉《尚書》、《孝經》、《詩》、《易》、《論語》、《三禮》、《春秋》之待算方明者列之，而推算之術悉加甄鸞案三字於上，則是書當即鸞所撰。又考淳風當貞觀初奉詔與算學博士梁述、助教王真儒等刊定算經，立於學官。《唐•選舉志》暨《百官志》並列《五經算》為算經十書之一，與《周髀》共限一年習肄，及試士各舉一條為問，此書注端悉有臣淳風等謹案字。然則唐時算科之《五經算》即是書矣。是書世無傳本，惟散見於《永樂大典》中，雖割裂失次，尚屬完書。據淳風注，於《尚書》推定閏條自言其解釋之例，則知造端於此。又如《論語》千乘之國，周官蓋弓宇曲並用開方之術，詳於前而略於後。循其義例，以各經之敘推之，其舊第尚可以考見。謹依《唐•藝文志》所載之數，厘為上、下二卷，其中採摭經史，多唐以前舊本。如引司馬彪《志序論》十二律各統一月，當月者各自為宮，今本《後漢志》統訛作終，月訛作日。革木之聲，今志訛作草木。陽下生陰，陰下生陽，始於黃鐘，終於仲呂，今志脫始於黃鐘四字。律為寸，於准為尺，律為分，於准為寸，下文承准寸言不盈者十之所得為分，今志脫律為分於准為寸二句。《禮記義疏》引志脫誤亦然。又兩引上生不得過黃鐘之濁，下生不得及黃鐘之清，申之日，是則上生不得過九寸，下生不得減四寸五分，與蔡邕《月令章句》謂黃鐘少宮管長四寸五分合。且足證中央土律中黃鐘之宮乃黃鐘清律，不得溷同於仲冬月律中黃鐘為最長之濁律。《呂氏春秋》，先制黃鐘之宮，次制十有二筒，亦黃鐘有清律之證。今志作上生不得過黃鐘之清濁，下生不得及黃鐘之數，實因清字訛衍在上，後人改竄其下，揆諸律法，遂不可通。蓋是書不特為算家所不廢，實足以發明經史，核訂疑義，於考證之學尤為有功焉。
原本不題撰人時代。《唐志》載張邱建《算經》一卷，甄鸞注，則當在甄鸞之前。書首邱建自序引及夏侯陽、孫子之術，則當在夏侯陽之後也。《隋志》載此書作二卷。《唐志》一卷，甄鸞注外，別有李淳風注張邱建《算經》三卷。鄭樵《通志•藝文略》，張邱建《算經》二卷，又三卷，李淳風注。《宋•藝文志》、《中興書目》亦俱作三卷，則析為三卷自淳風始。此本乃毛晉汲古閣影抄宋槧，雲得之太倉王氏。首題漢中郡守前司隸甄鸞注經，朝議大夫行太史令上輕車都尉李淳風等奉敕注釋，算學博士劉孝孫撰細草。蓋猶北宋時秘書監趙彥若等校定刊行之本。其中稱術曰者，乃鸞所注。草曰者，孝孫所增。其細字夾註稱臣淳風等謹案者，不過十數處。蓋有疑則釋，非節節為之注也。其書體例皆設為問答，以參校而申明之，凡一百條。簡奧古質，頗類《九章》，與近術不同。而條理精密，實能深究古人之意，故唐代頒之算學，以為顓業。今詳加校勘，其上捲起自乘除之數，至第十二問為勾股測望，十三問為勾股和較，十四問為重勾股顛倒測望，十五問為臥勾股左右進退測望，此四問皆藉圖以明，舊本所無，今特依義補入。自十六問以下皆取差分、和較、均輸參雜為目，間附以方圓冪積。至中卷之第六問，乃入商功，後複及貴賤、差分、倍半、衰分、方田諸術。惟弧矢一問原本不完，未可以他術增補，姑仍其闕。下卷首問失題，又細草下亦脫二十餘字，以有後文可據，謹為補足。其鹿垣倉三條，亦各為之圖，系諸原問之左，俾學者得以考見其端委焉。
唐王孝通撰。其結銜稱通直郎太史丞。其始末未詳。惟《舊唐書•律曆志》「戊寅曆」條下有武德九年校曆人算曆博士臣王孝通題，蓋即其人也。是書一名《緝古算術》，《唐書•藝文志》、《崇文總目》俱稱李淳風注。今案此本卷首實題孝通撰並注，則《唐志》及《總目》為誤。又《宋志》作一卷，《唐志》、鄭樵《藝文略》俱作四卷，王應麟《玉海》謂今亡其三。案《孝通原表》稱二十術，檢勘書內條目相同，並無闕佚，不知應麟何所據而雲然也。書中大旨，以《九章•商功篇》有平地役功受袤之術，其於上寬下狹窄，前高後卑，闕而不論，世人多不達其理。因於平地之餘，續狹斜之法。凡推朔夜半時月之所離者一術，推仰觀台及羨道高廣袤者一術，推築堤授工上下廣及高袤不同者一術，推築龍尾堤者一術，推穿河授工斜正袤上廣及深並漘上廣不同者一術，推四郡輸粟窖上下廣袤餘郡別出入及窖深廣者一術，推亭倉上下方高者一術，推芻薨、圓囤者各一術，推方倉圓窖對待者五術，推勾股邊積互求者六術，共合二十術之數。中間每以人戶道裏，大小遠近，及材物之輕重，工作之時日，乘除進退，參伍以得其法。頗不以深淺為次第，故讀者或不能驟通。而卒篇以後，由源竟委，端緒足尋，洵為思極毫芒，曲盡事理。唐代明算立學，習此書者以三年為限，亦知其術之精妙，非旦夕所克竟其義矣。其書世罕流播，此乃宋元豐七年秘書監趙彥若等校定刊行舊本，常熟毛扆得之章邱李氏，而影抄傳之者。今詳加勘正，其文間有脫闕，不敢妄補。謹撮取其義，別加圖說，附諸本文之左，以便觀覽雲。
宋秦九韶撰。九韶始末未詳。惟據原序自稱其籍曰魯郡。然序題淳祐七年，魯郡已久入於元。九韶蓋署其祖貫，未詳實為何許人也。是書分為九類。一曰大衍，以奇零求總數為九類之綱。二曰天時，以步氣朔晷影及五星伏見。三曰田域，以推方圓冪積。四曰測望，以推高深廣遠。五曰賦役，以均租稅力役。六曰錢穀，以權輕重出入。七曰營建，以度土功。八曰軍旅，以定行陣。九曰市易，以治交易。雖以《九章》為名，而與古《九章》門目迥別，蓋古法設其術，九韶則別其用耳。宋代諸儒，尚虛談而薄實用。數雖聖門六藝之一，亦鄙之不言，即有談數學者，亦不過推衍河洛之奇偶，於人事無關。故樂屢爭而不決，曆亦每變而愈舛，豈非算術不明，惟憑臆斷之故歟？數百年中，惟沈括究心是事，而自《夢溪筆談》以外，未有成書。九韶當宋末造，獨崛起而明絕學。其中如大衍類蓍卦發微，欲以新術改《周易揲蓍》之法，殊乖古義。古曆會稽題數既誤，且為設問以明大衍之理，初不計前後多少之曆過，尤非實據。天時類綴術推星，本非方程法，而術曰方程，複於草中多設一數以合方程行列，更為牽合。所載皆平氣平朔，凡晷影長短，五星遲疾，皆設數加減，不過得其大概，較今之定氣定朔，用三角形推算者，亦為未密。然自秦、漢以來，成法相傳，未有言其立法之意者。惟此書大衍術中所載立天元一法，能舉立法之意而言之。其用雖僅一端，而以零數推總數，足以盡奇偶和較之變，至為精妙。苟得其意而用之，凡諸法所不能得者，皆隨所用而無不通。後元郭守敬用之於弧矢，李冶用之於勾股方圓，歐邏巴新法易其名曰借根方，用之於九章八線，其源實開自九韶，亦可謂有功於算術者矣。至於田域、測望、賦役、錢穀、營建、軍旅、市易七類、皆擴充古法，取事命題，雖條目紛紜，曲折往復，不免瑕瑜互見，而其精確者居多，今即《永樂大典》所載，於其誤者正之，疏者辨之，顛倒者次第之，各加案語於下。庶得失不掩，俾算家有所稽考焉。
元李冶撰。冶字鏡齋，欒城人。金末登進士，入元官翰林學士。事蹟具《元史》本傳。其書以勾股容圓為題，自圓心圓外縱橫取之，得大小十五形，皆無奇零。次列識別雜記數百條，以窮其理。次設問一百七十則，以盡其用。探賾索隱，參伍錯綜，雖習其法者，不能驟解。而其草則多言立天元一。按立天元一法見於宋秦九韶《九章大衍數》中，厥後《授時草》及《四元玉鑒》等書皆屢見之，而此書言之獨詳，其關乎數學者甚大。然自元以來，疇人皆株守立成，習而不察。至明，遂無知其法者。故唐順之與顧應祥書，謂立天元一，漫不省為何語。顧應祥演是書為分類釋術，其自序亦雲立天元一無下手之術，則是書雖存，而其傳已泯矣。明萬曆中，利瑪竇與徐光啟、李之藻等譯為《同文算指》諸書，於古《九章》皆有辨訂，獨於立天元一法闕而不言。徐光啟於《勾股義序》中引此書，又謂欲說其義而未遑。是此書已為利瑪竇所見，而猶未得其解也。迨我國家，醲化翔洽，梯航鱗萃，歐邏巴人始以借根方法進呈，聖祖仁皇帝授蒙養齋諸臣習之。梅瑴成乃悟即古立天元一法，於《赤水遺珍》中詳解之。且載西名阿爾熱巴拉（案：原本作阿爾熱巴達，謹據西洋借根法改正），即華言東來法。知即冶之遺書流入西域，又轉而還入中原也。今用以勘驗西法，一一吻合，瑴成所說，信而有徵。特錄存之，以為演算法之秘鑰。且以見中法西法互相發明，無容設畛域之見焉。
明顧應祥撰。應祥有《人代紀要》，已著錄。李冶《測圓海鏡》所設一百七十問中，皆有草有法。（案：前數十題中甚易者，或無草，後皆有草。）草用立天元一為虛數，合問數推之法，專用問數推之，皆歸於帶縱諸乘方而止。應祥得冶書於唐順之，於立天元一語互相推求，不得其解，遂去其細草，專演算法，改為是書。自謂便於下學。殊不知立天元一之妙，能使諸法不能求者可以得其法；若無其草，即冶已有不能得其法者。而徒沾沾於加減開方之數，可謂循枝葉而失本根者矣。唐順之與應祥書雲，此書形下之數太詳，而形上之義或略，使觀之者尚不免其數可陳而義難知，有與人以鴛鴦枕而不度人以金針之疑。僕意欲明公於緊要處提掇一二作法源頭出來，使後世為數學者識其大者得其義，識其小者得其數，則此書尤更覺精采耳。其不足於應祥者誠是。第作法源頭即立天元一一語，應祥既去之，又將何以為提掇乎？然《九章》之中，惟少廣諸乘方之數為甚繁，故立方帶縱之法，古已不見有和數者。冶所用有至三乘方、四乘方及五乘方者，且兼加減諸乘方廉隅，不為之詳其算式，初學誠有難於取數者。冶雖專為發明立天元一術，得應祥所演諸乘方之式，亦可謂求立天元一法者之一助雲。
元李冶撰。據至元壬午硯堅序，稱冶《測圓海鏡》既已刻梓，其親舊省掾李師徵，複命其弟師珪請冶是編刊行。是成在《測圓海鏡》之後矣。其曰《益古演段》者，蓋當時某氏算書（案：冶序但稱近世有某，是冶已不知作者名氏。）以方圓周徑冪積和較相求，定為諸法，名《益古集》。冶以為其蘊猶匿而未發，因為之移補條目，厘定圖式，演為六十四題，以闡發奧義，故踵其原名。其中有草，有條段，有圖，有義。草即古立天元一法，條段即方田、少廣等法，圖即繪其加減開方之理，義則隨圖解之。蓋《測圓海鏡》以立天元一法為根，此書即設為問答，為初學明是法之意也。所列諸法，文皆淺顯。蓋此法雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學者驟欲通之，茫無門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理猶屬易見。故冶於方圓相求各題，皆以此法步之為草，俾學者得以易入。自序稱今之為算者未必有劉、李之工，而褊心跼見，不肯曉然示人。惟務隱互錯糅，故為溟涬黯黮，惟恐學者得窺其仿佛云云。可以見其著書之旨矣。至其條段、圖、義，觸類雜陳，則又以必習於諸法而後可以通此法，故取以互相發也。其書世無傳本。顧應祥、唐順之等見《測圓海鏡》而不解立天元一法，遂謂秘其機以為奇，則明之中葉，業已散佚。今檢《永樂大典》尚載有全編。特錄存之，俾複見於世，以為算家之圭臬。硯堅序稱三卷，今約略篇頁，厘為三卷，其文則無所增損。惟傳寫訛謬者，各以本法推之，鹹為校正焉。
明顧應祥撰。弧矢之法，始於元郭守敬《授時曆草》。其有弧背求矢草，立天元一為矢云云。反覆求之，至得三乘方積數及廉隅縱數而止，不載開方算式，大抵開諸乘方法尚為當時疇人所習，故不贅言，抑或別為專書，故不復演歟？其弧矢相求，及弧容直闊諸法，皆以勾股法禦之。明唐順之謂為步日躔月離源頭，作弧矢論，以示顧應祥。應祥遂演為是書，名其編曰《弧矢術》。應祥未明立天元一法，故置之不論。惟補其開帶縱三乘方之式，並詳各弧矢相求之法，與測《圓海鏡》、《分類釋術》之作略同，其可資初學之講肄者，亦略相等也。
明李之藻演西人利瑪竇所譯之書也。前編上、下二卷，言筆算定位、加減乘除之式，及約分、通分之法。通編八卷，以西術論《九章》。卷一曰三率准測，即古異乘同除。曰變測，即古同乘異除。曰重測，即古同乘同除。卷二、卷三曰合類差分。曰和較三率，曰洪衰互徵，即古差分，又謂之衰分。卷四曰疊借互徵，即古盈朒。卷五曰雜和較乘，即古方程。卷六曰測量三率，即古勾股。曰開平方，曰奇零開平方，即古少廣。卷七曰積較和開平方。卷八曰帶縱諸變開平方。曰開立方。曰廣諸乘方。曰奇零諸乘方。皆即古少廣。案《九章》乃《周禮》之遺法，其用各殊，為後世言數者所不能易。西法惟開方（即古少廣）勾股各有專術，餘皆以三率禦之。若方田、粟米、差分、商功、均輸五章，本可以三率禦之。至於盈朒以禦隱。雜互見，方程以禦錯糅正負，則三率不可禦矣。蓋中法、西法固各有所長，莫能相掩也。是書欲以西法易《九章》，故較量長短，俱有增補。其論三率比例，視中土所傳方田、粟米、差分諸術實為詳悉。至盈朒、方程二術則皆仍舊法。少廣略而未備，且法與數多出入之處。梅文鼎《方程餘論》曰：《幾何原本》言勾股三角備矣。《同文算指》於盈朒、方程取古人之法以傳之，非利氏之所傳也。又曰：諸書之謬誤，皆沿之而不能察，其必非知之而不用，能言之而不悉，亦可見矣。誠確論也。然中土算書，自元以來，散失尤甚，未有能起而蒐輯之者。利氏獨不憚其煩，積日累月，取諸法而合訂是編，亦可以為算家考古之資矣。
西洋人歐幾裏得撰。利瑪竇譯而徐光啟所筆受也。歐幾裏得未詳何時人。據利瑪竇序雲，中古聞士。其原書十三卷，五百餘題，利瑪竇之師丁氏為之集解，又續補二卷於後，共為十五卷。今止六卷者，徐光啟自序雲，譯受是書，此其最要者，遂刊之。其書每卷有界說，有公論，有設題。界說者，先取所用名目解說之。公論者，舉其不可疑之理。設題則據所欲言之理，次第設之，先其易者，次其難者，由淺而深，由簡而繁，推之至於無以復加而後已。是為一卷。每題有法，有解，有論，有系，法言題用，解述題意，論則發明其所以然之理，系則又有旁通者焉。卷一論三角形，卷二論線，卷三論圓，卷四論圓內外形，卷五、卷六俱論比例。其於三角、方圓、邊、線、面積、體積比例變化相生之義，無不曲折盡顯，纖微畢露。光啟序稱其窮方圓平直之情，盡規矩準繩之用，非虛語也。又案此書為歐邏巴算學專書，且利瑪竇序雲，前作後述，不絕於世，至歐幾裏得而為是書，蓋亦集諸家之成，故自始至終，毫無疵類。加以光啟反復推闡，其文句尤為明顯。以是弁冕西術，不為過矣。
△《禦定數理精蘊》•五十三卷
康熙五十二年聖祖仁皇帝《禦定律曆淵源》之第二部也。上編五卷，曰立綱明體，其別有五。曰數理本源，曰河圖，曰洛書，曰周髀經解，曰幾何原本，曰演算法原本。下編四十卷，曰分條致用，其別亦有五。曰首部，曰線部，曰面部，曰裏部，曰末部。又表八卷，其別有四。曰八線表，曰對數闡微表，曰對數表，曰八線對數表。皆通貫中西之異同，而辨訂古今之長短。如舊傳方程分二色為一法，三色為一法，四色、五色以上為一法，頭緒紛然。所立假如僅可施之本例，而不可移之他處。至於正負加減法，實並分母諸例，率皆謬誤。今則約之為和數、較數、和較兼用、和較加變四例，而和數不分正負，較數任以一色為正，即以相當之一色為負，皆以異名相並，同名相減，實足正舊法之訛誤。又割圓術古以徑一圍三為周徑之率，宋祖沖之用圓容六邊起算，元趙友欽用圓容四邊起算，皆屢求勾股，得徑一者週三一四一五九六二五。泰西法亦同其率。古今周率之密，無逾於此。而舊所傳弧矢諸術，周徑皆用古率，又弧弦弦背互求諸術，立法極為疏舛。今則以六宗三要二簡法求得一象限內弦矢割切正餘八線，立為一表，洵極勾股弧矢之變。又《幾何原本》止於測面，七卷以下，徐光啟、李之藻後無譯之者。《新法算書》，往往有雜引之處，讀者未之能詳。且理分中末線，但有求作之法，而莫知所用。今則求得各等面體及求內容外切各等面體之積，至十二等面及二十等面之體，皆以理分中末線為之比例，足以補測量全義量體諸率之簡略。至末部借根方法，即古立天元一之術，唐宋諸算家鹹用之。至明而失傳，是以顧應祥、唐順之於元李冶《測圓海鏡》一書所立天元一皆茫然不解。今則具明其加減乘除之例，而後根與平方以下諸乘方之多少者鹹得其開法，與古所雲帶縱立方三乘方諸變同歸一揆。且線面體一以貫之，而本法所不能求者，皆可以借根而得，至為精妙。他若對數表以假數、求真數，比例規解以量代算，皆西法之迥異於中法者，鹹為疏通證明，繪圖立表，粲然畢備。實為從古未有之書。雖專門名家，未能窺高深於萬一也。
國朝杜知耕撰。知耕字臨甫，號伯瞿，柘城人。是書取利瑪竇與徐光啟所譯《幾何原本》複加刪削，故名《論約》。光啟於《幾何原本》之首，冠雜議數條，有雲此書有四不必；不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得；欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。知耕乃刊削其文，似乎蹈光啟之所戒。然讀古人書往往各有所會心，當其獨契，不必喻諸人人，並不必印諸著書之人。《幾何原本》十五卷，光啟取其六卷。歐幾裏得以絕世之藝，傳其國遞授之秘法，其果有九卷之冗贅，待光啟去取乎？各取其所欲取而已。知耕之取所欲取，不足異也。梅文鼎算數造微，而所著《幾何摘要》亦有所去取於其間，且稱知耕是書足以相證。則是書之刪繁舉要，必非漫然矣。
國朝杜知耕撰。其書列古方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程、勾股九章，仍取今線、面、體三部之法隸之，載其圖解，並摘其要語以為之注，與方中通所撰《數度衍》用今法以合《九章》者體例相同。而每章設例，必標其凡於章首。每問答有所旁通者，必附其術於條下。所引證之文，必著其所出，蒐輯尤詳。梅文鼎《勿菴曆算書》記曰：近代作者如李長茂之《算海詳說》，亦有發明，然不能具《九章》。惟方位伯《數度衍》，於《九章》之外蒐羅甚富。杜端伯《數學鑰》，圖注《九章》，頗中肯綮，可為算家程式。其說固不誣矣。世有二本，其一為妄人竄亂，殊失本真。此本猶當日初刊。今據以校正，以複知耕之舊雲。
國朝方中通撰。中通字位伯，桐城人。明檢討以智之子也。以智博極群書，兼通算數。中通承其家學，著為是書，有數原律衍、幾何約、珠算、筆算、籌算、尺算諸法。複條列古《九章》名目，引《禦制數理精蘊》，推闡其義。其《幾何約》，本前明徐光啟譯本。其珠算，仿程大位《算法統宗》。筆算、籌算、尺算采《同文算指》及《新法算書》。惟數原律衍未明所自，大抵裒輯諸家之長，而增減潤色，勒為一編者也。其尺算之術，梅文鼎謂其三尺交加取數，故只能用平分一線。其比例規解之本法，惜僅見其弟中履但稱中通得舊法於豫章。而不知其法何如，竟未獲與中通深論。又稱見嘉興陳藎謨《尺算用法》一卷，亦只平分一線，豈中通所據之法，與藎謨同出一源歟？蓋不可考矣。
國朝陳訏撰。訏字言揚，海寧人。由貢生官淳安縣教論。是書成於康熙六十一年壬寅。首載加減乘除之法，雜引諸書。如加法則從《同文算指》，列位自左而右。減法則從梅文鼎《筆算》，列位自上而下，易橫為直。乘法則用程大位《算法統宗》鋪地錦法，畫格為界。除法則用梅文鼎《籌算》，直書列位，至定位則又用西人橫書之式。蓋兼采諸法，故例不畫一。至開帶縱平方，但列較數而不列和數。開帶縱立方，但列帶一縱而不列帶兩縱相同及帶兩縱不同，皆為未備。所論勾股諸法，謂勾股和自乘方與弦積相減，所餘之積，轉減弦積為股弦較，不知以勾股和自乘積與倍弦積相減，所餘為勾股較積，不得為股弦較也。又謂勾股相乘，以勾股較除之，亦得容方。不知既用勾股容方本法，以勾股和除勾積股相乘矣，則用此一勾股相乘之積，而勾股和與勾股較除之，皆得容方，無是理也。又謂勾股相乘之積為容方者四，斜弦內為容方者兩，不知勾股形內以弦為界，止容一方，試以勾三股四之容方積較之，尚不及勾股積四分之一，而股愈長則容方愈小者，更無論矣。又謂勾股弦之長，恆兩倍於容圓之周，不知平圓積以半周除之而得半徑，勾股相乘積以總和除之而得半徑，根既不同，不得牽混為一也。如斯之類，亦多未協。其三角法則全錄梅文鼎《平三角舉要》，略加詮釋。所用八線小表，以餘線可以正弦、正切、正割三線加減得之，故不備列。其半徑止用十萬，亦《測量全義》所載泰西之舊表，無所發明。然演算法精微，猝不易得其門徑。此書由淺入深，循途開示，於初學亦不為無功。觀其名以《引蒙》，宗旨可見。錄存其說，亦足為發軔之津梁也。原本不分卷數，今略以類從，以演算法為一卷，開方為一卷，勾股為一卷，三角為一卷，正餘弦切割表為一卷。
國朝黃百家撰。百家有《體獨私抄》，已著錄。是書言勾股測望，並詳繪矩度之形，與熊三拔《矩度表說》大概相同，而此書專明一義，其說尤詳。考勾股測望，自古有之。其法或用方矩，或立矩表，或用重矩，引繩入表，以測高深廣遠。所不能至者，總以近者小者與遠者大者相准。世傳劉徽《海島算經》，即此法也。及本朝《禦制割圜八線表》出，又儀器製作悉備，始有三角形測量。蓋測量用三角度，低昂甚便，視步算檢表，數密而功省。雖其理與勾股無殊，而徑捷簡易，則不可同日而論矣。然必儀與表兼備，而後其術可施，苟闕其一，即精於是術者無從措手，故勾股之法亦不可廢也。是書雖僅具古法，亦足備測量之資焉。
國朝陳世仁撰。世仁，海寧人。康熙乙未進士。其書以一面尖堆及方底、三角底、六角底、尖堆、各半堆等題，分為十二法，複有抽奇、抽偶諸目。蓋堆垛之法也。按堆垛乃少廣中之一術，與尖錐體、台體相似，而實不同。蓋尖堆體、台體外平而中實，堆垛為眾體所積，面有崚嶒，中多空隙，故二法相較，煩簡頓殊。古《少廣》中僅具以邊數層數求積數法，亦未有解其故者。至以積求邊數層數之法，則未備焉。又其為用甚少，故算家率略而不詳。世仁有見於此，專取堆垛諸形，反覆相求，各立一法。雖圖說未具，不能使學者窺其立法之意，而於《少廣》之遺法，引伸觸類，實於數學有裨，不可以其一隅而少之也。
國朝莊亨陽撰。亨陽字元仲，南靖人。康熙戊戌進士，官至淮徐海道。是編乃其自部曹出董河防，於高深測量之宜，隨事推究，設問答以窮其變，因筆之於書。其後人取其殘稿，裒輯成帙。中間大旨皆遵《禦制數理精蘊》，而參以《幾何原本》、《梅氏全書》，分條採摘；各加剖析，頗稱明顯。末為七政步法，亦本之《新法算書》，而節取其要。其於推步之法，條目賅廣，縷列星羅，無不各有端緒。恭案《禦制數理精蘊》線、面、體三部，凡三十餘卷，《幾何原本》五卷，《梅氏全書》，卷帙亦為浩博，學算者非出自專門，不能驟窺蹊徑。今亨陽撮舉精要，別加薈萃，簡而不漏，括而不支，可為入門之津筏。雖未能大有所發明，而以為初學者啟蒙之資，則殊有裨益矣。
國朝屠文漪撰。文漪字蓴洲，松江人。其書因古《九章》之術，參以今法，與杜知耕所著《數學鑰》體例相似，而互有詳略疏密。知耕詳於方田，文漪則詳於勾股。知耕論少廣備及形體，文漪推少廣則研及廉隅之辨。知耕參以西法，每於設問之下附著其理，文漪則採錄梅文鼎諸書，推闡以盡其用。大致皆綴集今古之法以成書，而取捨各異。合而觀之，亦可以互相發明也。是書有借徵一條，專明借衰疊征之術，為知耕之所未及。考其所載，雖未極精密，然於借數之巧，固已得其大端矣。
──右「天文演算法類」算書之屬，二十五部，二百十卷，皆文淵閣著錄。
（案：數為六藝之一，百度之所取裁也。天下至精之藝，如《律呂推步》，皆由是以窮要眇。而測量之術，尤可取資。故天文無不根算書。算書雖不言天文者，其法亦通於天文。二者恆相出入，蓋流別而源同。今不入小學而次於天文之後，其事大，從所重也。不與天文合為一，其用廣，又不限於一也。）
○天文演算法類存目
不著撰人名氏。晁公武《讀書志》載《甘石星經》一卷，注曰漢甘公石申撰。以日月、五星、三垣、二十八舍恆星圖像次舍，有占訣以候休咎。《隋書•經籍志》，石氏《星簿經贊》一卷，《星經》二卷，甘氏《四七法》一卷。是書卷數雖與《隋志》合，而多舉隋、唐州名，必非秦、漢間書也。所載星象，今亦殘闕不全，不足以備考驗。
陳振孫《書錄解題》曰，《步天歌》一卷，未詳撰人，二十八舍歌也。三垣頌、五星淩犯賦附於後。或曰唐王希明撰，自號丹元子。鄭樵《通志•天文略》則曰隋有丹元子，隱者之流也，不知名氏，作《步天歌》。王希明纂漢、晉志以釋之，《唐書》誤以為王希明。案樵《天文略》全采此歌，故推之甚至。然丹元子為隋人，不見他書，不知樵何所據。使果隋時所作，不應李淳風不知其人，《隋書•經籍志》中竟不著錄，至《唐書》乃稱王希明也。疑以傳疑，闕所不知可矣。其書以紫微、太微、天市分上中下三垣宮，仍以四方之星分屬二十八舍，皆以七字為句，條理詳明，歷代傳為佳本。本朝禦制及欽定《天文儀象》諸書，鹹採錄之，複有專刻官本。考度繪圖，測驗星躔，一一吻合。此本圖度未工，句多增減，所注占語，亦未詳出自誰手，未為善本。又《唐志》、《文獻通考》並稱一卷，而此本乃有七卷，其為後人所竄亂審矣。鄭樵亦稱世有數本，不勝其訛，此或即其一也。
不著撰人名氏。考陳振孫《直齋書錄解題》雲，《青羅立成曆》一卷，司天監朱鳳奏。據其稱貞元十年甲戌入曆，至今乾甯丁巳，則是唐末人。似即此書，然稽其年代，不甚相合，卷數亦多少互異，疑不能明也。其書列一年十二月為定表，用節氣紀太陽太陰宿次。又以年經月緯縱橫立表，各定年數為五星周而復始之期。案日月經天有常度，亦有差分，故月有大小，閏有常期。若一概限以節氣太陽，倘連值十五日之節，尚可遷就，太陰用三十日為定策，則必不能齊。至五星躔度，各有遲速，其周天之數，贏縮不能畫一，拘以定數，亦類刻舟。又日、月、五星謂之七曜，曜者光曜之謂也。月孛、羅、計、紫炁雖有躔次，實無其形。此書立十一曜之名，已為未協。至論月孛一條，乃有披金甲及背上插箭之語，一若親睹其形者，大抵剿襲道家符籙等書，而不知其荒唐已甚也。
宋王普撰。自序謂官曆漏刻，以嶽台為定。九服之地，冬夏至晝夜刻數或與嶽台不同，則二十四氣前後易箭之日亦皆少差。又有蔡知方序，謂刻漏圖邵陽刊本最詳備，建陽林氏複加鐫定，移小分於四刻之前，視昔尤為精密。又有鈕蘭居士序，謂林君衍四刻餘分，均諸眾時之先後，作小漏款識，視王普為尤備。則此書又林氏所重修，非普之舊也。然其法已略具《宋史》中，此雖稍詳，究無大異。普字伯照，裏籍未詳。官左朝散大夫行太常博士。林氏名字俱佚，其朝代亦無可考。
原本題宋鄒淮撰。後有魏了翁跋，稱淮以進士提領造曆所，演算曆書，其所撰載如此云云。考陳振孫《書錄解題》，載《天文考異》二十五卷，昭武布衣鄒淮撰。大抵襲《景祐新書》之舊，淮後入太史局。今此書僅四頁，似從《天文考異》中錄出，而別題此名。又《書錄解題》既稱淮為昭武布衣，而了翁跋又稱為進士，亦相牴牾，殆書賈所偽託也。
舊題管勾天文嶽熙載撰，並集注。而不著其時代。案注中多引《宋史•天文志》，當為元末人。考元太史院有管勾二員，秩從九品。而曆志載郭守敬《會南北日官考》論曆法，有嶽鉉之名，或即其家子孫也。其書皆論推測占驗之術，而以韻語儷之。首天體，次分野，次太陽、太陰，次概舉七政，及於恆星，而以淩抵、鬥食之說附於其末。大都摭拾史傳，不能有所發明。錢曾《讀書敏求記》，載熙載尚有《天文占書類要注》四卷，今未見。
明鮑泰撰。泰，徽州人。是書作於成化中。專言曆法，而於歲實朔策漢已來所定小餘疏密，或增或損之故，茫然不解。徒主四分法，歲三百六十五日三時之整數，分二十四氣。每一氣得十五日二時五刻。參用奇門數五日，滿甲子六十為一候，三候為一氣。不及氣策二時五刻，每歲有一候三時之差。奇門於是設立超神接氣置閏，適二十年而閏二十一候，泰乃名之為一致。四致凡八十年，名之為一序。三序凡二百四十年，名之為一限。三限凡七百二十年，名之為一合。十九合凡萬三千六百八十年，名之為一會。又以舊法十九年七閏月為一章之整數八十章，凡千五百二十年，名之為一乘。三乘凡四千五百六十年，名之為一運。三運一萬三千六百年，為一會。此最疏之數，推步家自漢張衡以後，久棄不用，泰粗涉乎此，遂矜為獨得之秘，紛紛創立名目，衍成是書。因附會邵子冬至子之半、天心無改移二語，以為書名，殊弇陋無足道也。
明戈永齡撰。永齡，宛平人。正德中官欽天監保章正。是書取元代所輯《大統曆》七政交食通軌，循其法而重演之。原本不題卷數，僅分三冊。蓋其細草稿也。考《明史》載《大統曆》即元《授時曆》，當時測驗，舛異已多，得其全書，猶不足用。此本篇帙殘闕，僅存推算數法，益不足據為定準矣。
明韓萬鍾撰。萬鍾，蘄州人。是書成於嘉靖壬辰。采丹元子《步天歌》逐段分釋，並為之圖。以馬氏《通考》所記彗孛客流陵犯之屬分隸各星之下，合三垣二十八宿為三十一條，而五緯附於其後。其自序謂便學者之考索，非有所作。大概與《天元玉曆》相同。蓋當時未睹官本，故又為此裒輯耳。
明邢雲路撰。雲路有《古今律曆考》，已著錄。萬曆三十六年戊申，欽天監推十二月二十一日己卯子正立春，雲路立表推之，謂當在二十日戊寅亥初。由元統《大統曆》輕改郭守敬《授時法》，測驗俱差。遂詳為考證，以成此書。蓋其官蘭州時所作也。陶珽《續說郛》亦載此書，但題曰《立春考證》，刪其戊申二字，已為舛謬。又因雲路字士登，遂誤以邢雲為地名，刪此二字，但題曰路士登撰，益足資笑噱矣。
明林祖述撰。祖述字道卿，鄞縣人。萬曆丙戌進士，官至廣西提學僉事。是編上卷為七曜、二十八宿、十幹、十二支及年歲載祀、朔弦望晦盈虛閏餘諸條，下卷為二十四氣、七十二候及歲時令節諸條，皆雜引經史及先儒論說以詮解之，故曰《釋義》。然多抄撮舊文，於授時要旨殊無當也。
明朱仲福撰。仲福，靈壽人。初，元郭守敬作《授時曆》。明洪武中因其書作《大統曆》，而去其上考下求歲實消長之法。是以嘉靖中以大統、授時二曆相較，考古則氣差三日，推今則時差九刻。何瑭、邢雲路、鄭世子載堉諸人，紛紛攻詰，迄無定論。仲福是書，成於萬曆二十二年，用萬曆九年為曆元，折衷二曆強弱之間，以為活法。然大抵勉強牽就，非能密合天行。且授時所定歲實，其小餘為二千四百二十五分，已為不密。以史所載考之，丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半。又定戊寅冬至在癸卯日夜半後三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半後五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻，辛巳冬至在己未日夜半後六刻。夫一歲小餘二十四刻二十五分，積之四歲，正得九十七刻，無餘無欠，而丁丑至辛巳四年已多半刻。其積算未精，已概可見。仲福步日躔術乃定日平行一度躔周為三百六十五度二十五會，仍是後漢時四分最疏之率。是名為折衷授時、大統二法，實較二法為尤舛矣。
明魏濬撰。濬有《易義古象通》，已著錄。此書首題曰拙存齋筆錄，而子目則曰緯譚，蓋其劄記之一種也。首論太一三式源委，次括元，次太陽鬥建陰陽南北，次干支納卦，次干支內藏，次五行十二變，次六合取義。皆引援質證，斷以己意。中極詆利瑪竇天論為荒唐，末又附記萬曆、天啟時推步之訛，凡十三事。然觀其以朔方交趾北極出地論中國據地之大小，則知度而不知裏。又謂交趾二月初三日日未昏而新月乃在天心，與夫夜觀北極在子分者，則其國當居正中。實非深知曆法者也。
明柯仲炯撰。仲炯始末未詳。是書前有崇禎元年自序，謂宣夜本諸帝堯，即羲和所授。其後失傳，因作此以複其舊。且曆詆丹元子、李淳風、僧一行等之變更古法，其說絕無根據。又分中宮宣夜、南宮宣夜、東宮宣夜、北宮宣夜、西宮宣夜諸名，尤為荒誕。至於每星之下，必引經文以釋之，若河鼓謂之牽牛，證以執牛耳。雞二星，證以春官雞入夜呼旦。亦類皆割裂經傳，以助其無稽之談也。
明趙宧光撰。宧光有《說文長箋》，已著錄。又著有《圖志譜考辨說》六部，此書即六部之一也。其圖曰三儀，謂日月星也。曰須镾，謂四大州也。曰六合平，即以四州之地平鋪而觀之，曰六匌轉，即以四州之地從地球兩面觀之。曰北極出地，從句陳大星與北極五星之間作識以為北辰。曰合朔遠近，謂衡岳和林鐵勒北海諸處時刻不同也。曰春秋晝夜，謂日南日北早晚不一也。惟北極一圖與渾天儀合，餘皆摭拾陳編，參以浮屠之說。其六匌曼則泛論天地之廣，荒誕不經，益無可征驗矣。
明許胥臣撰。胥臣有《禹貢廣覽》，已著錄。是書以天圖為蓋，地圖為載，大意以天文藉圖不藉書，其所錄圖一十有七曰全儀，乃子午、地平、黃赤道所由分也。曰日出日入遠近，乃南海、北海、應天、順天、嶽台、平陽之同異也。曰紫微垣見界諸星。曰黃赤道見界諸星。星二十六宿占度。曰赤道北見界諸星。曰赤道南見界諸星。曰黃道北見界諸星。曰黃道南見界諸星。擬堯典四仲中星，附萬曆四仲中星，其餘則各案垣次為圖，而以《步天歌》分綴於下。末繪地輿全圖，皆案度計宮。然其天圖皆出於湯若望，自有崇禎《新法曆書》，亦無庸複載。其地圖則粗分疆界，多失其實，亦無可采焉。
明董說撰。說有《易發》，已著錄。是編以章蔀紀元、元會運世立論，謂歷數出於卦爻，頗譏漢太初，三統之失。所列恆星過官，年幹入卦二表，以星次遞相排比，至帝堯甲子適值張、心、昴、虛居四仲之中，與堯典中星相合，遂據以為上溯下推之證。然天形轉運，積歲恆差，始自秒分，漸移度數，其遷流之故甚微。算家測驗星躔，隨時修改，尚往往有過疏過密之虞，不能與天行相應。說作是書，不著步算贏縮之法，但以長曆遞推，恐未免刻舟求劍也。
國朝遊藝撰。藝有《天經或問前集》，已著錄。是編復發明天象以廣所未備。首述前人曆法及七政行度，末舉雜氣、雜象、神怪變幻出於常度之外者，一一辨正，衷之以理。雖其說間有可采，而出於臆斷者頗多，未可據為典要，不及其前集之謹嚴也。
國朝揭暄撰。暄字子宣，江西廣昌人。是書一名《寫天新語》。言天地大象，七曜運旋，兼采歐邏巴義，雜以理氣之說。康熙己巳，嘗以草稿寄梅文鼎。文鼎抄其精語為一卷，稱其深明西術，而又別有悟入。又稱其謂七政小輪皆出自然，亦如盤水之運旋，而周遭以行疾而生漩渦，遂成留逆一條，為古今之所未發。今觀其全書，大抵與遊藝《天經或問》相表裏。然藝書切實平正，詞意簡明，暄則持論新奇，頗傷龐雜。其考曆變，考潮汐，辨分野，辨天氣地氣所發育，方以智嘗謂其於易道有所發明。然如論日月東行如槽之滾丸，而月質不變。又謂天堅地虛，舊蛋白蛋黃之喻徒得形似，而喻為餅中有餅。其說殊自相矛盾。至五星有西行之時，日月有盈縮之度，雖設譬多方，似乎言之成理，而揆以實占，多屬矯強，均不足據為典要也。
國朝秦文淵撰。文淵爵裏未詳。書凡八冊。第一冊論天行地體經緯交錯之大象，以及七政交食步算之大端，謂之經天要略，亦稍附勾股、開方、重測諸法。二冊言歲差及各表用法，謂之七政諸表說。三冊以下全取成數，分條臚列，統謂之二百恆年表。考二百恆年表本前明徐光啟等所集，載在《新法曆書》中，文淵不過采掇其法，參以己意，遂據以為推步之譜。蓋其時曆法初變，測驗猶疏，故所見止於如是也。今《禦制曆象考成》，凡《新法曆書》之詳而有據者，俱經引入。其數目驗諸實測有分秒之不合者，俱經定正。文淵此帙，特西法之糟粕，揆以天行，多所違失，固無庸於採錄矣。
國朝梅瑴成重定其祖文鼎之書也。瑴成，宣城人。康熙乙未進士，官至左都禦史。文鼎初作曆算書，各自為部。後魏荔彤屬楊作枚校刊，作枚遂合之為一，名曰《曆算全書》。並附以己說及辨論之語，目為訂補。瑴成謂前書校讎編次不善，而名為全書，亦非實錄，因重加編次，合為六十卷，改題叢書，而附瑴成所作《赤水遺珍》、《操縵卮言》二卷於後。觀其義例，與全書辨證者凡五；一以歲周地度合考作為雜著；一謂火星本法匯為一卷；殊欠理會；一謂五星紀要原名管見，今仍其舊；一以籌算七卷原書單行，今並筆算匯入叢書；一謂曆算並稱，曆法事重，然不明算術則曆書無從而讀，故稱名仍以曆居算前，而序書則以曆居算後，其字句訛舛，亦細加校駁。又序中稱作枚編次不善，故其書不能流傳，此瑴成重刊是書之大略也。雖編次不同於文鼎，書實無損益。且二刻已並行於世，均為著錄，殊嫌重複，故仍錄其先刻者，而此本則附存其目焉。
國朝邵昂霄撰。昂霄字麗寰，餘姚人。拔貢生。乾隆元年薦舉博學鴻詞。其書專論天文算數之術，分十四目。曰天體，曰儀象，曰官度，曰二《日翟》，曰五緯，曰雲氣，曰煇氣，曰經星，曰曆案，曰曆理，曰歷數，曰測景，曰測時，曰定時。皆援引漢、晉以來天官家言及歐邏巴之說，而各以己見附之，於推測之術頗有所得。其量天景尺及漏碗諸法，悉用意自造，亦頗精密。惟祲祥占驗，雜引史志舊文，龐雜無要，是其所短也。
國朝餘熙撰。熙字晉齋，桐城人。是編欽遵《禦制數理精蘊》，由勾股、和較、割園、八線、六宗、三要諸法括為圖說，以便初學之研究。大旨主於明淺易入，非別有新解也。──右「天文演算法類」推步之屬，二十三部，一百二十七卷，內六部無卷數，皆附《存目》。
明程大位撰。大位字汝思，徽州人。珠算之名始見甄鸞《周髀注》，則北齊已有之，然所說與今頗異。梅文鼎謂起於元末明初，不知宋人《三珠戲語》已有算盤珠之說，則是法盛行於宋矣。此書專為珠算而作，其法皆適於民用，故世俗通行。惟拙於屬文，詞多支蔓，未免榛楛勿翦之譏。
國朝陳訏撰。訏有《勾股引蒙》，已著錄。因其中和較之法未備，復述此以舉其概。前有黃宗羲序，頗稱道之。然和較一法，自李冶、顧應祥、唐順之、李之藻等相繼闡譯成書，至今殆無遺蘊，學者苟能遵守成法，觸類而引伸之，自可得其會通。若不溯本原而徒以耳食飾心，自矜創獲，則去之益遠。如是書較求股弦一條，附論謂勾積中除較積所餘，必合股積之半，不知股積可容勾積，勾積必不能容股積，不當強合其半。又和求股弦一條，附論謂勾弦和積必四倍於股積，不知勾弦和積中有股積一，勾積二，勾乘弦積二，亦不能強之為四。其意不過用勾股弦之數參合而得，設遇勾股修廣不齊，則不特於理難通，即於數亦斷不能吻合矣。
國朝李子金撰。子金，柘城人，隱山其號也。與梅文鼎、遊藝、揭暄、王寅旭輩互以算術相高。然核其所著，文鼎論醇而學博，藝理明而詞達，暄與寅旭雖各持所見，亦頗有新意，子金是編，惟采《幾何原本》及《幾何要法》二書，稍參己見，無大發明，不能與諸家抗衡也。
國朝顧長髮撰。長髮字君源，江蘇人。是編因圜周、圜徑古無定率，有高捷者翦紙為積，補湊方圓，得窺梗概，而不得周數。長髮因以為徑一者週三一二五，謂之智術。又謂甄鸞、劉徽、祖沖之、邢雲路、湯若望諸人所定周徑，皆未密合。殊不知圓出於方，方出於矩，傳自《周髀》。古人徑一圍三之術固疏，至劉祖之輩所推已近密，而湯若望之周徑定率乃用內弦外切屢求勾股之法，漸近圓周，合成一線，與《周髀》所傳圜出於方之義暗合。所定徑一週三一四一五九六二五，自六以上，又皆與劉、祖之密率合，是以《禦制數理精蘊》採用之。今長髮以為猶疏，未免強生異議。不足據也。
──右「天文演算法類」算書之屬，四部，二十三卷，內一部無卷數，皆附《存目》。